Эффективное воздействие организованных помех на СРС с ППРЧ (впрочем, как и на СРС с другими видами сигналов) может быть обеспечено при условии, что постановщик помех, используя станцию РТР, успешно осуществляет перехват сигналов с ППРЧ. Под перехватом сигналов в общем случае понимается обнаружение, измерение соответствующих параметров сигналов СРС, например, мощности сигнала, рабочей частоты, ширины спектра, длительности скачка частоты, а также пеленгование (или определение местоположения) СРС . Перечисленные этапы процесса перехвата в существующих станциях РТР, как правило, объединены. В дальнейшем рассматривается только этап обнаружения сигналов с ППРЧ, который иногда именуется перехватом.

При решении задачи обнаружения качестве модели используем сигнал с ППРЧ и двоичной ЧМ, представляющий собой последовательность радиоимпульсов со случайной начальной фазой, частоты которых перестраиваются в соответствии с заданным псевдослучайным кодом в диапазоне . Модель такого сигнала за время -гo скачка частоты длительностью может быть представлена в виде:

где - мощность сигнала; , - число рабочих частот (с учетом ЧМ); - частота модуляции; ; - начальная фаза скачка частоты, ; - единичная функция,

Основными характеристиками и параметрами СРС с ППРЧ являются: мощность передатчика ; время передачи сообщения ; число рабочих частот (число частотных каналов), которые равномерно распределены в диапазоне и выбираются генератором псевдослучайного кода, по крайней мере, один раз на протяжении времени ; - центральная частота передаваемого элемента сигнала; число интервалов (скачков частоты) длительностью за время передачи ; скорость передачи информации в битах ; скорость скачкообразного изменения частоты ; мгновенная полоса частот , определяемая в общем случае длительностью либо бита информации , либо скачка частоты .

При РТР обнаружение сигналов усложняется тем, что структура и ряд характеристик и параметров сигналов СРС, как правило, неизвестны постановщику помех. Это лишает возможности использования в станциях РТР согласованных способов приема сигналов. Поэтому в станциях РТР применяются такие алгоритмы приема и обработки сигналов, которые, с одной стороны, для своей реализации требуют минимальной априорной информации о сигналах СРС, с другой стороны, должны обеспечивать высокую вероятность обнаружения и низкую вероятность ложной тревоги, обусловленную собственными шумами обнаружителя. Шумы обнаружителя представим в виде АБГШ с односторонней спектральной плотностью , значение которой известно. Типовыми значениями вероятностей обнаружения и ложной тревоги при перехвате сигналов СРС являются: .

Проектируя СРС для работы в условиях РЭП, разработчик стремится обеспечить высокую энергетическую скрытность сигналов СРС, или малую вероятность их перехвата станцией РТР в течение заданного интервала времени.

Для эффективного решения поставленной задачи разработчик СРС должен располагать некоторой априорной информацией о возможностях обнаружителя станции РТР. Аналогично, при разработке обнаружителей для станций РТР требуется определенная априорная информация о характеристиках и параметрах сигналов разведываемых СРС. Однако в конфликтной ситуации двух противоборствующих сторон „система радиосвязи - система радиоэлектронного подавления" можно только предполагать о том или ином уровне осведомленности. В для анализа эффективности обнаружителей по перехвату сигналов СРС и, соответственно, для выбора возможных способов обработки сигналов в СРС, повышающих их энергетическую скрытность, достаточно условно рассматриваются пять уровней априорной осведомленности, представленных в табл.8.1. В таблице обозначает вероятность того, что РТР имеет соответствующие априорные сведения о характеристиках и параметрах СРС на -м уровне осведомленности.

Таблица 8.1. Уровни осведомленности о характеристиках и параметрах СРС

Уровни осведомленности РТР	Объем знаний о характеристиках и параметрах СРС радиотехнической разведкой
Наименьший объем данных о характеристиках и параметрах СРС.	РТР ничего не знает о сигналах СРС и лишь имеет предположение о центральной частоте , диапазоне частот , времени начала и конца передачи.
	РТР имеет сведения о центральной частоте , диапазоне частот , времени начала и конца передачи. Однако значения этих характеристик известны с ошибками.
	РТР имеет сведения о центральной частоте , диапазоне частот , времени начала и конца передачи. В станции РТР обеспечивается согласование с сигналом СРС по времени и частоте.
	РТР имеет сведения о центральной частоте , диапазоне частот , времени начала и конца передачи, мгновенной полосе частот передаваемого сигнала . В станции РТР обеспечивается согласование с сигналом СРС по времени и частоте.
Наибольший объем данных о характеристиках и параметрах СРС.	РТР имеет сведения практически о всех характеристиках и параметрах СРС. Однако РТР не известна частотно-временная матрица (ЧВМ) сигнала, т. е. нет сведений о том, какую позицию в ЧВМ будет занимать сигнал при последующем скачке частоты. В станции РТР обеспечивается оптимальное согласование с сигналом СРС по времени и частоте.

Предельным случаем априорной неопределенности относительно структуры перехватываемых сигналов СРС является задача обнаружения стохастических сигналов на фоне АБГШ , когда наблюдаемые реализации имеют вид:

Как следует из анализа схемы, оптимальный алгоритм обнаружения стохастических сигналов достаточно сложен при реализации. Более простым с точки зрения технической реализации является алгоритм энергетического обнаружителя Прайса-Урковица . Энергетические обнаружители получили широкое распространение на практике и эффективно используются в станциях РТР для обнаружения неизвестных сигналов, включая и детерминированные сигналы с ППРЧ.

Существующее структурное разнообразие энергетических обнаружителей можно разделить на два класса :

1. Одноканальные широкополосные обнаружители, параметры которых в той или иной степени согласованы с передаваемым сообщением по ширине полосы частот и по времени передачи сообщения.

2. Многоканальные обнаружители, в которых полоса пропускания и время интегрирования каждого узкополосного канала в той или иной степени согласованы с полосой частот и длительностью частотного элемента (скачка частоты) сигнала с ППРЧ.

Второй класс обнаружителей предполагает использование отдельных каналов для каждой из возможных частот сигнала с ППРЧ. С целью уменьшения числа каналов и простоты реализации применяются различные структурные схемы многоканальных обнаружителей. Основное различие между ними заключается в процедуре принятия решения, позволяющей преобразовать данные об обнаружении отдельных частотных элементов сигнала в решение о передаче сообщения.

Наличие априорной информации о значениях тех или иных параметров сигналов с ППРЧ позволяет обеспечить согласование энергетического обнаружителя с принимаемым сигналом по времени и частоте и получить хорошие рабочие характеристики. Энергетические обнаружители, согласованные с параметрами принимаемого сигнала на 5-м уровне осведомленности, дают наилучшие рабочие характеристики. Такие обнаружители далее называются квазиоптимальными.

Обнаружение радиолокационных сигналов 1 страница

2.1.1. Качественные показатели и критерии оптимального обнаружения сигналов

Первая задача радиолокационного приема - задача обнаружения сигнала. В результате процесса обнаружения должно быть выдано решение о наличии или отсутствии цели в, произвольном разрешаемом объеме зоны обнаружения. средства радиолокации (СРЛ). Решение может быть принято при двух взаимно исключающих условиях:

условие А - «объект есть»,

условие А о - «объекта нет», которые в процессе получения решения неизвестны.

За счет помех и флюктуации полезного сигнала каждому условию могут соответствовать два вида решений:

решение А * - «объект есть»,

решение A* - «объекта нет»,

При обнаружении возможны четыре ситуации совмещения случайных событий «условия» и «решения»:

1) ситуация А *А (правильное обнаружение);

2) ситуация A *A (пропуск цели);

3) ситуация А *А 0 (ложная тревога);

4) ситуация А *А 0 (правильное не обнаружение)

Перечисленным ситуациям соответствуют четыре вероятности совмеще­ния событий: Р(А *А ), Р(A *A ), Р(А *А 0), Р(А *А 0). Каждому ошибочному решению ставится в соответствие некоторая плата - стоимость ошибки . Для безошибочных решений эта стоимость равна

0 . Средняя стоимость (математическое ожидание стоимости) ошибочных решений оп­ределится следующим образом:

Лучшей системой обработки считается та, которая удовлетворяет крите­рию минимума этой стоимости - критерию минимума среднего риска. На прак­тике переходят к условным вероятностям, являющимся качественными показа­телями обнаружения при условиях наличия и отсутствия объекта радиолока­ции.

Качественными показателями обнаружения при условии наличия объекта являются соответствующие условные вероятности правильного обнаружения

и пропуска цели

Поскольку соответствующие одному и тому же условию решения и взаимоисключающие, то

Качественными показателями обнаружения при условии отсутствия объ­екта являются условные вероятности ложной тревоги

и правильного обнаружения

Используя приведенные соотношения (2) - (5), выражение (1) для сред­ней стоимости ошибки можно представить в следующем виде

или после замены D-1-D и простых преобразований,

При этом критерий оптимизации обнаружения по минимуму среднего риска сводится к весовому критерию

I = D-l 0 F = max. (7)

Последний показывает, что по совокупности требований повышения ус­ловной вероятности правильного обнаружения D и понижения условной веро­ятности ложной тревоги F следует стремиться к увеличению «взвешенной» разности D- l 0 F. Множитель l 0 , называемый весовым множителем, зависит от

соотношения стоимостей ошибок каждого вида и вероятностей наличия или от­сутствия объектов в исследуемом участке пространства. Дать рекомендации по выбору D и F затруднительно. Допустимые значения условных вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги обычно устанавливают из практи­ческих соображений.

Оптимизация обнаружителей может достигаться одновременным умень­шением условных вероятностей ложной тревоги и пропуска цели. В таких об­наружителях оба вида ошибок нежелательны в одной и той же степени. Поэто­му полагают и средний риск приобретет смысл суммарной вероят­ности ошибки (Р ош)

Фиксированном значении вероятности ложной тревоги F. Это является основой критерия Наймана – Пирсона.

Обычно значения априорных вероятностей Р(А 0) и Р(А1) заранее неиз­вестны. Наибольшую информативность, в этом случае, обеспечивает равенство этих вероятностей Р(А 0) = Р(А1) = 0,5. Тогда вероятность суммарной ошибки

.

Условие минимума вероятности ошибочного решения

носит название критерия максимального правдоподобия.

В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана -Пирсона. При этом основными качественными показателями радиолокационно­го обнаружения являются условные вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги F.

2.1.2. Оптимизация обнаружения

Обнаружитель сигнала решает задачу выяснения следующего: содержит принимаемое колебание отраженный сигнал или нет. На вход обнаружителя поступает колебание у, которое при отсутствии сигнала представляет собой шум п, а при наличии сигнала - сумму шума и сигнала (п+х). В общем случае входной сигнал можно записать в такой форме

у = п + Ах,

где неизвестный дискретный параметр А принимает значение 0 или 1. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы по измеренной величине у дать оценку этого параметра А*, оптимальную с точки зрения критерия минимума среднего риска или эквивалентного ему весового критерия.

Полагаем, что величины х, у и п за время наблюдения не меняются. Ожи­даемое значение сигнала х точно известно. Закон распределения случайной ве­личины п также известен (будем полагать его нормальным). На рис. 2.1 изо­бражены графики плотностей вероятности случайной величины у при условиях отсутствия сигнала А=А 0 =0 и его наличия A=A1 =1:

,

.

Индексы «П » и «СП» указывают на наличие одной помехи или наличии сигнала с поме­хой. Кривая РСП (у) сдвинута по отношению к кривой Р П (у) на постоянную величину х.

Рис. 2.1. Условные плотности веро­ятности Р П (у) и РСП (у) и график решающей функции А*(у)

Любое закономерное решение задачи обнаружения может быть описано решающей функцией А* = А*(у), которая в зависимости от реализации у принимает одно из двух значений: 0 или 1. Из графика решающей функции следует, что для y0D и F имеют смысл вероятностей попадания случайной величины у в интервал при условии «сигнал + помеха» или «помеха» и соответствуют заштри­хованным областям на рисунке. Для произвольной решающей функции выражения для D и F можно запи­сать в виде интегралов в бесконечных пределах

Выражение D- l 0 F, соответствующее весовому критерию, может быть представлено следующим образом

(9)

Согласно весовому критерию оптимальной является такая система обна­ружения, которая обеспечивает максимум интеграла (9). Чтобы выполнить это условие, достаточно добиться для каждого у наибольшего значения подынте­грального выражения за счет выбора решающей функции А*(у). Эта функция

принимает только два значения: 0 или 1, так что подынтегральное выражение либо обращается в 0, либо умножается на 1. Поэтому полагаем:

1) А*(у)=1, если подынтегральное выражение положительное;

2) А*(у)=0 в противном случае.

Поскольку плотность вероятности Р П (у) не может принимать отрица­тельных значений, то оптимальное правило решения задачи обнаружения мо­жет быть записано в виде

(11)

Величина называется отношением правдоподобия. Оно характеризует, какую из гипотез следует считать правдоподобной. Отно­шение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом. Решение о наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает по­роговую величину l 0 , в противном случае принимается решение об отсутствии сигнала.

В случае, если помеха описывается центральным гауссовым распределе­нием со стандартным отклонением n 0и дисперсией , отношение правдоподо­бия будет равно

(12)

Зависимость l(y) для х > 0 изображена на рис. 2.2.

При х>0

Величина у 0 называется порогом. При заданном уровне помех условная вероятность ложной тревоги F зависит только от величины у 0:

, (13)

где - интеграл вероятности.

Таким образом, величину порога можно выбирать непосредственно по заданному уровню вероятности ложной тревоги, что соответствует критерию Неймана-Пирсона.

Рис. 2.2. Зависимость отно- Рис. 2.3. Условие плотности веро-
шения правдоподобия от ре- ятности Р п (у), Р С П (у) и график ре­
зультатов наблюдения шающей функции А* опт (у)

Условная вероятность правильного обнаружения определится следую-

щим образом:

(14)

При заданном уровне помех n0 величина D зависит не только от порога у 0 , но и от величины ожидаемого сигнала (рис. 2.4). Зависимость D(x) может быть построена качественно из анализа площади под кривой РСП (у) на рис. 2.3 и количественно в соответствии с выражением (14). Чем выше уровень порога у 0

и меньше условная вероятность ложной тревоги F, тем больше кривая D(x)

сдвигается вправо.

При этом для обеспечения той же вероят­ности D требуется больший уровень полезного сигнала. Кривые, изображенные на рис. 2.4 на­зываются кривыми обнаружения.

Рис. 2.4. Кривые обнаружения

2.1.3. оптимальное обнаружение полностью известного сигнала

Будем полагать, что ожидаемый сигнал x(t, а) полностью известен, т.е. из­вестны его форма, амплитуда, временное положение и т.д. Обнаружитель дол­жен выработать решение о наличии или отсутствии сигнала. На вход обнару­жителя поступает сигнал y(t), который обнаруживается на фоне белого гауссов- ского шума n(t).

Отношение правдоподобия для этого случая может быть представлено в следующем виде

где - фиксируемый при обнаружении параметр или совокупность параметров ожидаемого сигнала;

N0 - спектральная плотность шума; Э( ) - энергия ожидаемого игнала; Z( ) - корреляционный интеграл

.(16)

Отношение правдоподобия является монотонной функцией корреляцион­ного интеграла, который может быть рассчитан по принятой реализации y(t) для любого фиксированного параметра . Сравнение отношения правдоподо­бия с порогом l0 эквивалентно сравнению корреляционного интеграла с соот­ветствующим порогом z0.

.

Таким образом, оптимальный обнаружитель должен вычислять корреля­ционный интеграл (16) и сравнивать его с порогом. Структурная схема про­стейшего обнаружителя сигнала с полностью известными параметрами изобра­жена на рис. 2.5.

Величина корреляционного интеграла сравнивается с порогом z 0 . Уровень порога подбирается так, чтобы вероятность F ложного превышения порога

Рис. 2.5. Простейший корреляционный обнаружитель

была не больше допустимой. Опорное колебание x(t, ) может вырабатываться специальным гетеродином или получаться непосредственно от передатчика пу­тем задержки сигнала на время .

2.1.4. Оптимальное обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

Обычно сигнал, принимаемый приемником, неизвестен точно. Как пра­вило, его амплитуда, начальная фаза, время запаздывания и другие параметры заранее неизвестны. Возможны два способа приема сигналов с неизвестными параметрами. Первый способ предполагает предварительное измерение всех его неизвестных параметров и последующий прием как полностью известного сигнала. Этот способ требует выделения специального времени на выполнение указанных выше измерений, усложнения аппаратуры и значительной величины отношения сигнал-шум. Этот способ может быть заменен другим, при котором неизвестные параметры сигнала считаются случайными, а его прием ведется без учета конкретных значений параметров путем статистического усреднения принятого колебания.

Методика определения отношения правдоподобия для сигналов со слу­чайными нефиксированными параметрами по принятой реализации y(t) сводит­ся:

1) к вычислению корреляционного интеграла, энергии ожидаемого сигнала и
частного отношения правдоподобия при фиксированных параметрах и ( -
случайный нефиксированный при обнаружении параметр или совокупность па­-
раметров: начальная фаза, амплитуда);

2) к усреднению частного отношения правдоподобия по случайному нефикси­
рованному параметру .

Для указанной выше ситуации частное отношение правдоподобия опре­делится следующим образом:

,(17)

где Z и Э - частные значения корреляционного интеграла и нергии сигнала.

(18)

.(17)

Ведя речь о фазовой структуре сигналов, следует определиться с коге­рентностью. Когерентными называют сигналы с закономерной фазовой струк­турой, однако начальная фаза радиолокационного сигнала обычно является неизвестной случайной величиной. Такой сигнал может быть представлен в ви­де:

Тогда частное значение корреляционного интеграла (18) приводится к виду:

где ,

Для сигнала, содержащего большое число периодов колебаний, частное значение энергии от не зависит .

Учитывая, что все случайные начальные фазы равновозможны, полагаем их распределение равномерным в пределах от 0 до 2 с плотностью вероятности . Определяя математическое ожидание частного отношения прав­доподобия и вводя модифицированную функцию Бесселя первого рода нулево­го порядка , получим

(20)

где Z - модульное значение корреляционного интеграла, определяемое для принятой реализации y(t) с учетом фиксированного параметра а

Таким образом, для сигнала с неизвестной начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреля­ционного интеграла. Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой изображена на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой

Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой имеют тот же вид, что и при точно известном сигнале, но лежат несколько пра­вее, что свидетельствует о проигрыше в отношении сигнал-шум.

Если реализуется прием одиночного сигнала со случайной начальной фа­зой, простейшая схема оптимального обнаружителя имеет вид, изображенный на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Оптимальный приемник для обнаружения сигнала с неизвестной начальной фазой

Согласованный фильтр такой, у которого коэффициент передачи K есть величина, комплексно сопряженная спектру S сигнала. Импульсная переходная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянно­го множителя является зеркальным отражением входного сигнала на оси вре­мени. Такой фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум.

Если принимается последовательность импульсных сигналов со случай­ной начальной фазой, то выбор схемы обнаружителя существенно зависит от взаимосвязи фаз отдельных сигналов. При когерентной пачке импульсных сиг­налов (имеет место функциональная зависимость фазы колебаний от времени) оптимальный приемник может быть реализован в соответствии со структурной схемой, изображенной на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Оптимальный приемник для обнаружения пачки когерентных импульсов одинаковой амплитуды и длительности

Согласованный фильтр в данной схеме является оптимальным для от­дельного импульса пачки. Линия задержки имеет (N-1) отводов (N - число им­пульсов в пачке). Если период следования импульсов Т, то общая задержка в линии равна (N-l)-T. В момент окончания пачки импульсов на выходе сумма­тора имеет место наибольшее значение отношения сигнал-шум, характеризуе­мое суммарной энергией пачки импульсов.

Для некогерентной пачки импульсов (начальные фазы отдельных им­пульсов статистически независимы) оптимальный приемник принимает вид, изображенный на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Оптимальный приемник для обнаружения пачки одинаковых некогерентных импульсов

Приемник включает: фильтр, согласованный с одиночным импульсным сигналом; детектор амплитудный; рециркулятор, используемый для накопления видеоимпульсов; пороговое устройство. Рециркулятор имеет коэффициент пе­редачи меньше единицы, вследствие чего накопление импульсов происходит неоптимальным образом и поэтому схема на рис. 2.9 является квазиоптималь­ной.

В момент окончания пачки импульсов отношение сигнал-шум на выходе рециркулятора имеет максимальное значение. Суммирование импульсных сиг­налов происходит после нелинейного элемента - детектора амплитудного, ко­торый ухудшает отношение сигнал-шум на выходе по сравнению с этим отно­шением до детектора. Вследствие этого, результирующее отношение сигнал-шум некогерентной пачки импульсов оказывается меньшим, чем у когерентной.

2.1.5. Оптимальное обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

Часто случайной бывает не только начальная фаза, но и амплитуда, что приводит к дальнейшему ухудшению характеристик обнаружения по сравне­нию с полностью известным сигналом. Для этого случая сигнал может быть за­писан следующим образом:

Для такого сигнала частное отношение правдоподобия при фиксированном В будет равно

где Z(b) = BZ, Э(B) = В 2 Э; Э и Z - энергия и модульное значение корреляци­онного интеграла, рассчитанные по ожидаемому сигналу, соответствую-

щему В =1.

При этом величина Э выбирается равной средней энергии

.

Задаваясь релеевским распределением амплитуд

окончательно получим:

(23)

Для сигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреля­ционного интеграла Z( ), как и в случае, когда неизвестна только начальная фа­за. Совпадение алгоритмов обнаружения позволяет использовать в обоих слу­чаях одинаковые схемы обработки.

Особенность характеристик обнаружения в рассматриваемом случае со­стоит в том, что с ростом отношения сигнал-шум вероятность обнаружения возрастает сначала быстро, а после достижения значений D = 0,5 - 0,6 это уве­личение замедляется, а затем становится очень медленным. Это объясняется тем, что при действии таких сигналов изменяются лишь параметры распреде­ления Релея величины Z в оптимальном обнаружителе.

На рисунке 2.10 изображены кривые обнаружения для различных сигна­лов.

Рис. 2.10. Кривые обнаружения для сигналов: с полностью извест­ными параметрами (штрих-пунктир), со случайной начальной фазой (пунктир), со случайными амплитудой и начальной фазой (сплош­ные линии)

Приведенные выше схемы являются оптимальными лишь тогда, когда положение ожидаемого сигнала на оси времени известно. Ответ о наличии сиг­нала с неизвестным временем запаздывания может быть дан, если установить факт его наличия или отсутствия для различных значений времени запаздыва­ния. Приходим, таким образом, к необходимости многоканальных корреляци­онных схем, что является недостатком при реализации алгоритмов обнаруже­ния в радиолокации.

Для одноканальной обработки радиолокационной информации могут быть применены фильтровые и корреляционно-фильтровые системы.

2.1.6. Принципы фильтровой и корреляционно-фильтровой обработки сигналов

Считая вначале параметры сигнала известными полностью, потребуем,
чтобы элемент схемы оптимального приема вычислял корреляционный инте­
грал для произвольного времени запаздывания ожидаемого сигнала .(24)

Тогда корреляционный интеграл будет

,(25)

откуда видно, что схема вычисления корреляционного интеграла должна осу­ществлять операцию интегральной свертки. Для реализации математической операции (25) можно использовать фильтр, который будем называть оптималь­ным или согласованным фильтром.

Одной из основных характеристик произвольного линейного фильтра яв­ляется его импульсная характеристика, которая описывает реакцию системы на входное воздействие в виде единичного импульса, поданного в момент времени t=0. Импульсная характеристика оптимального фильтра описывается следую­щим выражением:

,

В результате изучения данной главы студенты будут:

знать

• основные положение статистической модели обнаружения сигнала;
• основные методические процедуры оценки чувствительности в теории обнаружения сигнала;

уметь

• строить рабочую характеристику приемника в линейных и нормальных координатах;
• оценивать чувствительность и определять положение критерия принятия решения на основе рабочей характеристики приемника;
• правильно выбирать меру чувствительности в зависимости от соотношения дисперсии сигнала и шума;

владеть

• базовым теоретически аппаратом теории обнаружения сигнала;
• методами оценки процесса принятия решения, разработанными в теории обнаружения сигнала, и способами обработки данных, полученных на их основе.

Статистическая модель обнаружения сигнала

Как уже упоминалось выше, подход, предполагающий рассматривать ощущение как процесс принятия решения, был предложен Таннером и Светсом в 1954 г. В деталях он был разработан в работе Грина и Светса, опубликованной в 1966 г. Данный подход основан на применении принципов статистической теории принятия решения и аналогии процесса ощущения с работой электронных систем целевого обнаружения, используемых в оборонных системах.

Для рассматриваемого подхода, получившего название теории обнаружения сигнала (ТОС), центральным понятием является сенсорный шум. Этим термином обозначается любая спонтанная активность самих сенсорных систем независимо от модальности перерабатываемой информации. Такая активность может быть вызвана неспецифическим раздражением рецепторов, колебаниями внимания наблюдателя, изменением его мотивации или функционального состояния его организма и другими подобными факторами. Кроме того, шумом обозначают любую внешнюю сенсорную активность, мешающую уверенному опознанию сигнала. Таким образом, процесс обнаружения сигнала в рассматриваемой теории понимается как процесс выделения сигнала из шума, на фоне которого он воспринимается.

Если различия между шумом как таковым и сигналом на фоне шума оказываются крайне незначительными, процесс обнаружения сигнала может оказаться сложным и сопровождаться ошибками, связанными с пропусками самого сигнала или ложными тревогами по поводу шума. В последнем случае наблюдатель может ошибочно принять шумовые эффекты за сигнальные.

Дело в том, что, согласно предположению теории, шумовые эффекты оказываются нестабильными и подвержены мгновенными флуктуациям. Если в какой-то момент шум оказывается выраженным в значительной степени, он принимается наблюдателем за сигнал. Напротив, при незначительной выраженности шума сигнал на его фоне может ошибочно приниматься за шум.

Можно задать некоторую функцию, которая будет описывать плотность распределения шума. Обозначим ее как f N (X). Сигнал на фоне шума также можно описать с помощью функции плотности распределения - f s / N (X). Понятно, что такая функция будет сдвинута по оси абсцисс относительно функции распределения шума на некоторую величину (рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Тогда выбор ответа в ситуации выделения сигнала из шума будет определяться оценкой отношения правдоподобия β, показывающего, во сколько раз более правдоподобно, что данная сенсорная активность X вызвана сигналом на фоне шума, а не только шумом:

Задача наблюдателя, таким образом, сводится к принятию решения на основе полученной оценки. Проблема, однако, состоит в том, что само по себе значение отношения правдоподобия еще не определяет необходимости выбора какого-либо варианта ответа, а лишь определяет то, в какой мере наблюдатель рискует совершить ошибки первого или второго рода.

Ошибкой первого рода в теории статистического решения, или α-ошибкой, называют ситуацию, когда исследователь обнаруживает статистические закономерности (например, различия между двумя выборками) в ситуации, когда на самом деле таких закономерностей не существует. В теории обнаружения сигнала Грина и Светса такая ошибка называется ложной тревогой.

Ошибка второго рода, или β-ошибка, заключается в том, что исследователь не замечает имеющихся различий между двумя рядами данных. В рассматриваемой теории такая ошибка получила название пропуска, или промаха. Собственно, вся теория построена на том, как наблюдатель осуществляет выбор между риском совершить эти две ошибки. Понятно, что, уменьшая опасность совершить один тип ошибки, наблюдатель неминуемо увеличивает риск ошибки другого рода.

Таким образом, принимая решение, наблюдатель на самом деле выбирает между двумя возможностями: возможностью не заметить сигнал на фоне шума - пропуском сигнала, и возможностью принять шум за сигнал на его фоне - ложной тревогой. Результатом правильного выбора становятся попадания и правильные отрицания.

Этот выбор всегда осуществляется на основе оценки ряда дополнительных факторов. В качестве таких факторов, влияющих на процесс принятия решения, могут выступать знания испытуемого о ситуации эксперимента или, по крайней мере, его догадки по этому поводу. Такие знания принято называть предварительной информацией, хотя такая информация не обязательно сообщается испытуемому до эксперимента в явном виде.

Скажем, если испытуемый знает, что сигнал появляется только в половине проб, он, очевидно, будет стремиться балансировать положительные и отрицательные ответы, тогда как в ситуации исключительно редкого появления сигнала ответы "да" будут встречаться также крайне редко. Следовательно, величина отношения правдоподобия р, на основе которой необходимо принять решение, будет варьировать в зависимости от того, насколько вероятным для испытуемого может показаться сам факт появления сигнала.

Также ответы испытуемого могут зависеть от того, какая информация о правильности или неправильности его ответов оказывается доступной испытуемому. Эта информация называется обратной связью. Если в серии проб испытуемый стабильно получает от экспериментатора сигналы, свидетельствующие о неверности его решения, это скорее всего заставит испытуемого пересмотреть свою стратегию выбора ответа.

Выбор ответа испытуемого также зависит и от того, какой из двух вариантов ответа, "да" или "пет", может в силу тех или иных обстоятельств казаться ему более ценным и значимым. Скажем, в ожидании важного телефонного звонка мы с большей вероятностью будем склонны к совершению ложных тревог - ошибочному доставанию телефона из сумки или кармана, особенно если условия обнаружения сигнала будут затруднены внешним шумом (например, если мы находимся в метро или едем в автомобиле с большой скоростью). В экспериментальной ситуации ценность ответов испытуемого задается с помощью специальной системы штрафов и поощрений, которая получила название платежной матрицы.

Величина отношения правдоподобия β, относительно которой принимается решение и которая определяется совокупностью рассмотренных нами факторов, получила название критерия принятия решения. Предполагается, что как только величина сенсорной активности превышает это пороговое значение, испытуемый всегда выбирает положительный ответ. Напротив, если уровень сенсорной активности оказывается меньше заданного критерия, всегда следует ответ "нет". Оптимальный уровень отношения правдоподобия, на основе которого устанавливается такой критерий, может быть выражен следующим соотношением:

где V(H) и V(CR) представляет собой соответственно ценность попаданий и правильных отрицаний, а С(0) и C(FA) - стоимость пропусков и ложных тревог.

Цифровые методы обнаружения импульсных сигналов

При использовании цифрового накопителя, выходное напряжение детектора квантуется по амплитуде на заданное число дискретных уровней. Одновременно производится дискретизация напряжения по времени с шагом, равным интервалу корреляции квантуемого напряжения.

В случае приема некогерентной пачки импульсов наиболее простым является двухуровневое или бинарное квантование. Т.е. на выходе устройства квантования выдается импульс стандартной амплитуды и длительности при превышении порога огибающей и нуль, если этот порог не превышен.

импульсный сигнал фильтрация квантование

Стандартному импульсу присваивается символ 1 или 0.

Схема приемника при квантовании сигнала отличается от схемы аналогового приемника наличием квантователя, а так же тем, что аналоговый накопитель (видеоинтегратор) заменен цифровым:

В случае двухуровнего квантования такой приемник называют бинарным интегратором .

При бинарном квантовании могут быть использованы, кроме рассмотренных ранее, и другие методы обнаружения сигнала, при которых, например, регистрируются определенные серии бинарно-квантовых напряжений, более вероятных при наличии сигнала, чем при его отсутствии. Примером является метод совпадений, при котором решение о наличии сигнала выдается в том случае, если в результате бинарного квантования получена серия подряд следующих единиц, число которых не меньше заданного.

Схема выглядит следующим образом:

Устройство обнаружения бинарно-квантованных сигналов таким методом включает в себя схему совпадений на входах и устройство памяти (например, ЛЗ). Время задержки сигналов каждой линии равно периоду следования. Схема совпадения выдает импульсное наличие сигнала, когда на все входы поступает 1. Достоинством метода совпадения является то, что при его использовании необходимая емкость памяти меньше, чем при методе бинарного интегрирования.

Классы зондирующих сигналов

а) Сигналы простые: - одиночный импульс, пачка радиоимпульсов.

б) Сложные сигнал: - это сигналы с внутриимпульсной модуляцией, пачка сложных импульсов (АЧМ, ФКМ).

Методы формирования, корреляционные свойства - самостоятельно по конспекту или Дымова А.И. «Радиотехнические системы.» стр. 90-108.

Особенности применения простых и сложных сигналов

Из анализа соотношения можно сделать заключение, что подход к выбору формы сигнала тривиально прост. Если предпочтение отдается дальности - уменьшают длительность импульса, тем самым расширяя его спектр. Если скорости - сужают спектр, увеличивая длительность сигнала. На самом деле, при сигналах более сложной формы, у тела неопределенности, проявляются новые свойства, которые при определенных разумных ограничениях, позволяют получить дополнительный выигрыш без нарушения общего принципа неопределенности.

Обычно от цели принимается не один, а несколько импульсов. Рассмотрим сигнал в виде пачки импульсов колокольной формы длительностью и периодом повторения. Огибающая амплитуды - тоже колокольной формы.

В этих условиях функция корреляции по времени - сигнал на выходе оптимального приемника, так же будет иметь вид импульсов того же периода, а функция корреляции по частоте - спектр на выходе оптимального приемника, приобретает вид дискретных полос, разделенных интервалами. Тело неопределенности имеет вид:

Тело неопределенности будет состоять из ряда пиков. Суммарный объем тела неопределенности, так же как и суммарная площадь его сечения, сохраняется равной 1. Пунктиром на рисунке показано тело неопределенности и сечение для единичного импульса.

Эффективная длительность сигнала возросла, а эффективная ширина спектра осталась неизменной: , следовательно: .

Однако совместная разрешающая способность не изменилась, покажем это:

Введем понятия частотной и временной протяженности.

Частотная протяженность - это ширина дискретного спектра, из которого выброшены пустые участки. Соответственно временная протяженность равна длительности сигнала, за исключением пустых участков. Из рисунка видно, что число дискретных полос спектра, разделенных интервалом в пределах, составляет: .

Поскольку ширина одной полосы равна, то частотная протяженность сигнала равна суммарной ширине всех полос:

При длительности одного импульса временная протяженность сигнала равняется примерной длительности всех импульсов: .

Таким образом, математически соотношение неопределенности в радиолокации для составного сигнала: , и формулируется так: произведение временной и частотной протяженности сигнала равна единице.

Разбиение тела неопределенности на дискретные участки приводит к новому явлению - неоднозначности ответа, которая является частью понятия разрешающей способности. Так сигналы двух целей, разделенные интервалом однозначности (или целым числом), не будут различаться, т.к. попадают в дискретные области неоднозначности.

Для исключения неоднозначности отсчета дальности, период следования импульсов выбирают из условия: или, где: - дальность действия РЛС.

При этом условии расстояние между любыми двумя целями в зоне обзора будет меньше, и интервал между этими сигналами меньше интервала однозначности.

Аналогично решается вопрос с неоднозначностью скорости. Различие состоит только в том, что у одной цели доплеровский сдвиг может быть положительным, а у другой - отрицательным. Поэтому интервал однозначности по частоте составляет, и однозначно измеряемая доплеровская частота:

При этих ограничениях по дальности и скорости, полный объем тела неопределенности, за исключением его центрального пика, не играет никакой роли.

Поэтому, совместная разрешающая способность определяется объемом только центрального пика, который значительно меньше 1. Из этого следует, что при одновременном измерении дальности и скорости, сигнал в виде последовательности импульсов более предпочтителен, чем одиночный импульс.

Однако, на практике условие выполняется лишь для целей, движущихся с малыми скоростями, поэтому для больших скоростей неоднозначность сохраняется. Дополнительное измерение скорости по доплеровскому сдвигу частоты можно устранить неоднозначность измерения скорости. Однако, разрешающая способность по дальности и скорости остается неизменной.

Для повышения однозначно измеряемой доплеровской частоты при заданном периоде следования, применяют пакетно-импульсный метод работы.

В каждом периоде излучают не одиночные импульсы, а импульсные пакеты с высокой частотой следования импульсов внутри пакета. Тогда интервал однозначности по скорости существенно возрастает, т.к. . При этом повышается разрешающая способность по скорости, но снижается по дальности. Поэтому, пакетно-импульсный режим работы используется в доплеровских измерителях путевой скорости, где единственной целью является земная поверхность и разрешающая способность по дальности не играет роли.

Для наглядности изложения введем основные понятия и характеристики оптимального обнаружения, иллюстрируя их на простейшем примере. Предположим, что на интервале наблюдения (обработки) может присутствовать или отсутствовать полезный сигнал, характеризуемый постоянным значенизм (рис. 4.1, а). В качестве обнаруживаемого сигнала можно было бы принять отрезок синусоиды с постоянной амплитудой, однако это не изменит существа рассматриваемой ниже процедуры обнаружения.

Достоверному обнаружению сигнала мешает наличие шума (рис. 4.1, б), в смеси с которым наблюдается сигнал (когда он присутствует). Следовательно, по реализациям, содержащим смесь сигнала с шумом (рис. 4.1, в) или только шум, необходимо установить факт присутствия сигнала.

Таким образом, процедура обнаружения сводится к обработке реализаций случайной функции

В каждой из этих реализаций возможно наличие или отсутствие обнаруживаемого сигнала.

Будем обозначать случайные функции и случайные величины большими (заглавными) буквами а набор их возможных значений, а следовательно, и аргументы (независимые переменные) соответствующих законов распределения - малыми буквами, например

Достаточно полной статистической характеристикой случайной функции является ее многомерная плотность

распределения. Она вводится следующим образом. Рассматриваются значения случайной функции в дискретные моменты времени что означает замену случайной функции случайной последовательностью. На всей совокупности возможных реализаций значения случайной функции в моменты времени представляют собой последовательность случайных величин Такую последовательность иногда называют многомерной случайной величиной или случайным вектором.

Совместная плотность распределения этих случайных величин где на практике принимается за статистическую характеристику случайной функции Такая многомерная плотность распределения зависит от наличия или отсутствия сигнала. В этом смысле она является условной, что отмечено введением в аргумент плотности распределения символа

Степень детализации случайного процесса, которая имеет место при описании его -мерной плотностью распределения, будет тем выше, чем больше значение

Совокупность значений утв случайных величин полученная из каждой конкретной реализации (рис. 4.1, г), называется выборкой. В ряде случаев саму совокупность случайных величин называют обобщенной выборкой.

Использование многомерных распределений для обнаружения позволяет получить обозримые результаты и технически реализуемые обнаружители лишь при определенных ограничениях, которым должна удовлетворять обрабатываемая случайная последовательность. В большинстве случаев эти ограничения не обременительны для практических приложений. Одним из таких ограничений может явиться требование нормальности случайных величин Другое, часто используемое ограничение, состоит в том, что рассматриваемые случайные величины принимаются независимыми. Независимость может быть обеспечена надлежащим выбором моментов отсчета

В дальнейшем будем полагать, что такая независимость имеет место. Тогда при наличии сигнала

а при отсутствии сигнала

Следовательно, многомерные плотности распределения достаточно просто выражаются через одномерные.

В статистической радиотехнике, которая использует аппарат математической статистики, выводы о наличии сигнала и его параметрах делаются на основе принятых реализаций и соответствующих им выборок. Хотя эти реализации и содержат всю информацию об интересующих нас явлениях, получить такую информацию непосредственно из реализации или выборкичасто не представляется возможным. Они должны подвергнуться обработке (анализу). Важным элементом этого анализа является получение некоторых усредненных характеристик выборки. Весьма продуктивной и в ряде случаев оптимальной будет обработка выборки на

основе использования функции правдоподобия и отношения правдоподобия.

В математической статистике функция правдоподобия формируется из многомерной плотности распределения (4.4.2) случайных величин путем замены в ней независимых переменных значениями выборки утв, полученными в результате приема каждой конкретной реализации.

В задачах обнаружения функции правдоподобия при наличии и отсутствии сигнала будут равны соответственно

Обычно в литературе не делают различий в обозначениях аргументов функций распределения (4.4.2), (4.4.3) и числовых данных каждой конкретной выборки (4.4.4), (4.4.5), что нередко приводит к недоразумениям. Поэтому в дальнейшем выборочные данные, представляющие набор случайных чисел и функций от них, которые также являются случайными числами на совокупности выборок, будут снабжаться индексом (выборка).

Величина функции правдоподобия для каждой конкретной выборки характеризует, какое из двух событий или является более правдоподобным. При построении процедур обнаружения сигналов на основе рассмотренных выше статистических характеристик выборочных данных бывает удобнее сравнивать между собой не величины а их отношение

называемое отношением правдоподобия, с порогом Отношение правдоподобия также является случайной величиной на совокупности выборок.

По соображениям, которые станут ясными из дальнейшего, предпочитают сравнивать с порогом не само значение а его натуральный логарифм, т. е.

где Поскольку логарифмическая функция неубывающая, а - неотрицательная величина, оказываются эквивалентными процедуры сравнения с порогом с порогом С.

Процесс обнаружения сводится к следующему. Для каждой реализации вычисляется логарифм отношения правдоподобия и сравнивается с порогом С. Если оказывается, что то принимается решение о наличии сигнала в данной реализации, а при сигнал считается отсутствующим.

При сравнительно малых отношениях сигнал/шум, а также вследствие случайности принимаемых реализаций логарифм отношения правдоподобия является случайной величиной и возможно выполнение неравенства при отсутствии сигнала. В этом случае обнаружитель примет ошибочное решение о наличии сигнала. Ошибки такого рода называются ложными тревогами. И наоборот, если при наличии сигнала, то выдается ошибочное решение, называемое пропуском сигнала.

При низком пороге пропуски сигнала будут практически отсутствовать, но сильно поднимется процент ложных тревог. Завышение порога увеличит число пропусков сигнала при уменьшении ложных тревог. Интуитивно чувствуется, что существует оптимальное значение порога. Такое значение действительно имеется, причем оно зависит от ряда условий, и в частности от критерия, положенного в основу построения оптимального обнаружителя. Выбор того или иного критерия оптимальности системы, в том числе и для систем обнаружения сигналов, является в значительной степени субъективным актом, т. е. критерий не выводится из теории, а назначается волевым приемом, исходя из особенностей функционирования конкретной оптимизируемой системы. Разумность и ценность принятого критерия качества работы системы проверяется на практике.

Так, установлено, что для оптимизации обнаружителей радиолокационных станций целесообразно использовать критерий Неймана - Пирсона, а для систем связи более подходит критерий идеального наблюдателя. При использовании критерия Неймана - Пирсона задается уровень ложных тревог и требуется, чтобы вероятность обнаружения при этом была бы максимальной. Критерий идеального наблюдателя требует, чтобы суммарная ошибка, вызванная

как ложными тревогами, так и пропуском сигнала, была минимальной.

После того, как критерий принят, определяется оптимальное значение порога С на основании требований данного критерия и устанавливается структура оптимального обнаружителя.

Логарифм отношения правдоподобия определяемый формулой (4.4.7), представляет собой выборочное значение некоторой случайной величины Вид плотности распределения этой случайной величины зависит от того, присутствует в данной реализации сигнал или его нет.

Обозначим через плотность распределения V при наличии сигнала в реализации, а через при его отсутствии. В соответствии с принятыми ранее определениями, вероятность ложной тревоги выражается формулой:

а вероятность пропуска сигнала -

Полученным результатам можно дать наглядное геометрическое представление (рис. 4.2). Здесь изображены плотности распределения случайной величины V (логарифма отношения правдоподобия) соответственно при отсутствии и наличии сигнала. Вероятность ложной тревоги представляет собой площадь под кривой справа от порогового значения С (луч а вероятность пропуска сигнала площадь под кривой слева от него (луч

Очевидно, что вероятность правильного обнаружения будет равна

Эта вероятность определяется как площадь под кривой справа от порога С.

Как следует из приведенного рисунка, с увеличением порогового уровня уменьшается вероятность ложной тревоги, но одновременно уменьшается и вероятность правильного обнаружения. При снижении порога картина будет обратной.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться и непосредственно совместными плотностями распределений последовательности случайных величин порождающих анализируемые выборки утв. Такая возможность обусловлена правилами обнаружения, сформулированными ранее. Пространство всех возможных выборок (пространство существования случайного вектора разбивается на две непересекающиеся области Попадание данной конкретной выборки в область эквивалентно тому, что случайная величина V примет значение попадающее на луч оси (рис. 4.2). Если выборка попадает в область то будет находиться на луче Отсюда следует, что

т. е. при таком подходе к определению требуется вычисление -кратных интегралов, поэтому на практике чаще пользуются выражениями (4.4.8) и (4.4.9).

Проведенный анализ показывает, что путем вычисления отношения правдонодобия удалось преобразовать -мерное (а в пределе бесконечномерное) пространство выборок (пространство наблюдений) в одномерное. Подобные преобразования широко применяются в математической статистике и составляют суть анализа опытных данных для получения из них определенных выводов.

Если преобразование осуществляется так, что не происходит потери информации, содержащейся в исходной

выборке, то оно называется достаточным, а полученная в результате его случайная величина - достаточной статистикой. Отношение правдоподобия является достаточной статистикой.

Оптимальность критерия Неймана - Пирсона состоит в том, что при его использовании оперируют с достаточными статистиками (отношением правдоподобия), и выявляется лишь при сравнении с другими процедурами обработки, не приводящими к достаточным статистикам. Такое сравнение показывает, что при заданном уровне ложных тревог процедура Неймана - Пирсона дает наибольшую вероятность правильного обнаружения. Пороговое значение при использовании критерия Неймана-Пирсона находится в результате решения уравнения

в котором заданы вид плотности распределения и величина допустимой вероятности ложной тревоги

Для определения порогового уровня Сии при использовании критерия идеального наблюдателя необходимо вычислить вероятность полной ошибки

где априорные (т. е. задаваемые до начала анализа реализации) вероятности отсутствия и наличия сигнала соответственно.

Для нахождения порога который обеспечивает минимум необходимо производную по С от правой части выражения (4.4.14) приравнять нулю. В результате получается уравнение

Решая это уравнение относительно порога, находят значение соответствующее критерию идеального наблюдателя.

С принципиальной точки зрения критерий идеального наблюдателя кажется более содержательным в сравнении с критерием Неймана - Пирсона, так как в нем учитывается

прошлый опыт, отраженный в величинах априорных вероятностей Однако на практике бывает очень трудно найти ситуации, в которых можно заранее и достаточно обоснованно указать величины поэтому часто их берут равными Тогда уравнение для определения будет иметь вид:

Этот частный случай критерия идеального наблюдателя иногда называют критерием максимального правдоподобия.

Условие (4.4.16) означает, что порог должен соответствовать точке пересечения кривых на рис. 4.2, поэтому ложные тревоги и пропуски сигнала будут наблюдаться с равными вероятностями. При использовании критерия Неймана - Пирсона порог обычно устанавливается так, чтобы вероятность ложных тревог была существенно меньше вероятности пропуска сигнала. В этом основное различие рассмотренных критериев.

Общим для этих критериев является то, что процедуры обнаружения при использовании каждого из них строятся на основе вычисления отношения правдоподобия. Это обстоятельство обусловлено тем, что они входят в качестве подклассов в более общий так называемый байесовский критерий или, как его еще именуют, критерий минимума среднего риска.

Байесовское обнаружение, разработанное в теории статистических решений, состоит в том, что помимо выборки и априорных вероятностей задаются еще определенные потери или ущерб, которые вызываются ложными тревогами и пропуском сигнала. По этим данным вычисляется средний риск, связанный с принятием решения о наличии или отсутствии сигнала. Пороговое значение С выбирается так, чтобы средний риск был минимален. Если потери, обусловленные ложными тревогами и пропуском сигнала, принять одинаковыми, то байесовский критерий переходит в критерий идеального наблюдателя.

Поскольку задать обоснованные величины потерь для реальных ситуаций очень трудно, практическая ценность байесовского критерия невелика. Однако он позволяет в теоретическом плане более четко обосновать оптимальность всех процедур обнаружения, построенных на основе вычисления отношения правдоподобия.

Для построения структурных схем обнаружителей, использующих приведенные выше критерии, и получения данных о качестве работы этих обнаружителей необходимо задаться конкретным видом плотностей распределения последовательности случайных величин из которых формируется выборка .

При переходе к непрерывному процессу обработки многомерные условные плотности распределения преобразуются (там, где это возможно) в функционалы соответственно, а логарифм отношения правдоподобия записывается в виде

Если сигнал обнаруживается в белом шуме, имеющем спектральную плотность то вычисления по формуле (4.4.17) дают

Здесь энергия сигнала, выделяемая за время В задачах обнаружения известного сигнала считается заданной. Величина полученная от каждой реализации, сравнивается с порогом

для критерия Неймана - Пирсона и

для критерия идеального наблюдателя. Здесь отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности шума; а аргумент интеграла вероятности, вычисленный для заданного значения вероятности ложной тревоги.

На основании (4.4.18) получается структурная схема оптимального обнаружителя, показанная на рис. 4.3.

Основные операции, выполняемые в обнаружителе подобного типа, сводятся к следующим. Принимаемая смесь сигнала с шумом или один шум умножаются в устройстве

с коэффициентом передачи на копию сигнала которая должна храниться в приемнике. Коэффициент передачи умножителя введен лишь для согласования размерностей и величина его не имеет принципиального значения. Поэтому часто его полагают равным единице. С выхода умножителя напряжение подается на интегратор, где оно интегрируется в течение времени и далее через звено с коэффициентом передачи поступает на пороговое устройство Множитель введен для нормировки, а коэффициент так же, как и коэффициент согласует размерность тракта обработки сигнала.

В момент окончания интегрирования на выходе звена образуется сигнал

который сравнивается в пороговом устройстве с напряжением для вынесения решения о наличии или отсутствии сигнала в принятой реализации. После этого интегратор устанавливается на нуль и цикл обнаружения начинается вновь. Коэффициент

Величины пороговых напряжений ипин и для критериев идеального наблюдателя и Неймана - Пирсона получаются из (4.4.18) - (4.4.20) и равны

Напряжение на выходе интегратора, отсчитываемое в момент времени представляет собой выборочное значение некоторой случайной величины распределенной по нормальному закону. Его математическое ожидание Май и дисперсия при отсутствии сигнала равны соответственно

при наличии сигнала

Вычисление вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения осуществляется по формулам:

При расчетах по формулам (4.4.26) и (4.4.27) пороговый уровень определяется соотношениями (4.4.22) и (4.4.23) в зависимости от принятого критерия обнаружения.

Для облегчения расчетов по формулам (4.4.22), (4.4.23) (4.4.26) и (4.4.27) разработаны таблицы и графики .

Схема на рис. 4.3 отображает оптимальный обнаружитель корреляционного типа или, как его еще называют, корреляционный приемник. Можно показать, что эта схема эквивалентна по качественным показателям обнаружения схеме с согласованным фильтром (рис. 4.4). Согласованный фильтр задается весовой функцией или комплексной частотной характеристикой причем с точностью до постоянного множителя является зеркальным отображением сигнала относительно прямой Ключ замыкается в момент окончания сигнала.

Выбор схемы обнаружителя в форме корреляционного приемника или согласованного фильтра диктуется лишь удобствами конструирования.

Практически разработанные системы обнаружения часто еще далеки по своим свойствам от рассмотренных выше оптимальных обнаружителей. Это объясняется рядом причин, которые условно можно разбить на две группы.

Первую группу составляют те, которые вызваны изменением условий, принимаемых при синтезе оптимального обнаружителя, относительно обнаруживаемых сигналов и помех, в силу следующих обстоятельств: помеховое воздействие не может быть сведено к белому шуму; в месте приема не известна фаза принимаемого колебания; производится прием флуктуирующего сигнала; не известно положение принимаемого сигнала на оси времени и т. д.

Вторая группа вызвана отказом от применения тех элементов оптимальной схемы, которые сложны в технических реализациях.

Ухудшения предельных показателей, вызванных перечисленными причинами, принято характеризовать потерями чувствительности обнаружителя.

Небелый гауссов шум будем характеризовать нулевым средним значением и корреляционной функцией Такой шум называют также коррелированным или «окрашенным». Для получения алгоритма работы оптимального обнаружителя сигнала, принимаемого в смеси с коррелированным шумом, необходимо выполнить те же операции, что и в случае белого шума, т. е. вычислить логарифм отношения правдоподобия и сравнить его с порогом, величина которого зависит от принятого критерия. Отличие от обнаружения сигнала в белом шуме состоит лишь в больших трудностях, возникающих при вычислении отношения правдоподобия. Эти трудности связаны с тем, что при «окрашенном» шуме обобщенная выборка представляет собой систему коррелированных случайных величин совместная плотность распределения которых уже не может быть представлена в виде произведения плотностей распределения каждой из этих величин.

Наиболее известными являются два подхода к вычислению отношения правдоподобия, которым соответствуют две формы структурной схемы оптимального обнаружителя. Первый метод состоит в том, что отношение правдоподобия вычисляется непосредственно на основе многомерных

плотностей распределения коррелированных случайных величин при наличии и отсутствии сигнала .

При втором подходе случайную функцию раскладывают на интервале в ортогональный ряд, который обычно называют рядом Корунена - Лоэва. Удобство такого разложения состоит в том, что коэффициенты этого ряда образуют систему некоррелированных случайных величин, а если анализируемые процессы нормальны, то эти коэффициенты еще и статистически независимы. Поэтому в отношении их применима рассмотренная ранее методика построения оптимальных обнаружителей сигнала в белом шуме. Получение независимых отсчетов для коррелированного нормального процесса называют иногда отбеливанием «окрашенного» шума .

Рассмотрим основные результаты, которые дают два упомянутых подхода к синтезу оптимальных обнаружителей. Наибольшая сложность, возникающая при вычислении многомерной плотности распределения статистически зависимых случайных величин, состоит в нахождении матрицы обратной по отношению к корреляционной матрице При непрерывной обработке принимаемых реализаций обращение матриц сводится к решению интегрального уравнения

где непрерывный аналог обратной корреляционной матрицы. По аналогии с обратной матрицей функцию называют иногда обратнокорреляционной функцией.

Основные трудности в решении уравнения (4.4.28) вызывают конечные пределы интегрирования. Если уравнение (4.4.28) решено и определена то логарифм отношения правдоподобия запишется в виде

Если шум белый, т. е. то из (4.4.28) находим Подставляя это значение обратнокорреляционной функции в (4.4.29), получаем выведенное ранее отношение (4.4.18).

Для удобства построения структурной схемы обнаружителя введем функцию определив ее как

Если принять, что функция выполняет роль некоторого обобщенного опорного сигнала, то можно усмотреть аналогию в выражениях (4.4.18) и (4.4.31) и построить-структурную схему обнаружителя в виде, представленном на рис. 4.5. Здесь напряжение умножается на принимаемую реализацию а результат умножения интегрируется в течение интервала времени

Напряжение сформированное на выходе интегратора в момент времени

сравнивается в пороговом устройстве с пороговым уровнем который определяется формулами (4.4.22), (4.4.23), если в них положить

Показателями достоверности работы обнаружителя по-прежнему являются вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения, которые вычисляются по формулам (4.4.26) и (4.4.27). Соотношение (4.4.33) показывает, что достоверность обнаружения теперь зависит от формы сигнала. Напомним, что при обнаружении сигнала в белом шуме величина определялась лишь энергией сигнала и спектральной плотностью шумов, а форма сигнала на нее не влияла.

Функция может быть вычислена непосредственно по корреляционной функции шумов без перехода к обратнокорреляционной функции Для этого выражение (4.4.28) следует умножить справа и слева на «с проинтегрировать полученное соотношение от до и заменить переменную интегрирования

Возможно также построение оптимального обнаружителя сигнала в коррелированном шуме по схеме с согласованным фильтром. Весовая функция такого фильтра вычисляется по виду обобщенного сигнала определяемого выражением (4.4.34). Поэтому в любом случае для построения оптимального обнаружителя необходимо решать интегральное уравнение (4.4.34).

В работе показано, что если интегрирование производится в бесконечных пределах или же когда спектральная плотность помехи описывается дробно-рациональной функцией частоты то решение уравнения (4.4.34) получается в замкнутой форме.

Структура согласованного фильтра при коррелированном шуме такова, что этот фильтр ослабляет в большей степени те спектральные составляющие принимаемой реализации, частоты которых соответствуют частотам наибольшей интенсивности в спектре шума.

Процесс оптимального обнаружения сигнала в коррелированном шуме, основанный на переходе к статистически независимым выборочным значениям, в случае непрерывной обработки реализации сводится к введению в схему обнаружителей так называемого отбеливающего фильтра. Структурная схема подобного обнаружителя представлена на рис. 4.6. Реализация на выходе отбеливающего фильтра

Представляет собой смесь преобразованного сигнала и белого шума.

Для сохранения необходимых соотношений между преобразованной реализацией и опорным сигналом на обоих входах умножителя в тракт последнего также вводится аналогичный фильтр. Остальная часть схемы полностью соответствует схеме оптимального обнаружителя сигнала в белом шуме.

Для нахождения параметров отбеливающего фильтра положим, что на его вход подано лишь шумовое воздействие с нулевым средним значением и корреляционной функцией Весовая функция фильтра должна быть такова, чтобы шум на его выходе имел корреляционную функцию, равную т. е.

Таким образом, для нахождения структуры отбеливающего фильтра необходимо решить интегральное уравнение (4.4.35). Это решение зависит исключительно от вида корреляционной функции входного шума. Если длительность обрабатываемой реализации больше времени памяти фильтра, то допустимо расширение пределов интегрирования до бесконечности. В этом случае при стационарном шумовом воздействии уравнение (4.4.35) легко решается с помощью преобразования Фурье

Отсюда находим выражение для комплексного коэффициента передачи фильтра через одностороннюю спектральную плотность коррелированного шума на его входе и спектральную плотность белого шума на его выходе.

Рассмотренная ранее задача, в которой при приеме были точно известны амплитуда и начальная фаза обнаруживаемого сигнала, на практике не встречается и принятое условие является удобной математической абстрацией, служащей для получения предельных значений достоверности обнаружения. Реальные условия приема радиосигналов намного сложнее. Первое приближение к таким условиям соответствует случаю, когда в точке приема точно известны частота полезного сигнала и его положение на оси времени с точностью до периода высокочастотных колебаний, а неизвестными являются начальная фаза и амплитуда.

Применительно к радиолокационным задачам подобная ситуация характеризует обнаружение отраженного от цели сигнала при неизменном и заранее известном расстоянии между целью и точкой приема. Предполагается также, что частота передатчика РЛС абсолютно стабнльна или влияние нестабильности исключается путем запоминания частоты излучаемого сигнала до момента прихода отраженного импульса.

Если какой-либо параметр сигнала точно неизвестен, а заданы лишь его статистические характеристики, то теория оптимальных методов приема рекомендует для этого случая два различных подхода. Согласно первому неизвестный параметр должен быть измерен, т. е. получена его оптимальная оценка, и в схему обнаружителя вводится сигнал, который вместо неизвестного параметра содержит оценку этого параметра. Такая рекомендация приводит к получению достаточно сложных схем с одновременным обнаружением и измерением (23, 164, 98]. Однако если влияние неизвестных параметров на достоверность обнаружения невелико, такое усложнение нецелесообразно. В этом случае предпочтителен другой подход, в соответствии с которым необходимо усреднить отношение правдоподобия по неизвестным параметрам и тем самым исключить их из структуры оптимального обнаружителя. Этот подход основан на не совсем точной концепции, состоящей в том, что неизвестные

Следующим этапом приближения к реальным условиям работы обнаружителя является принятие допущения о неизвестной несущей частоте сигнала и неизвестном положении его на оси времени. Частота сигнала бывает неизвестна в силу нестабильности частоты передатчика, а также из-за наличия допплеровского смещения частоты, вызванного взаимным перемещением пунктов передачи и приема. Отсутствие данных о расстоянии между радиолокационной станцией и целью, а также между двумя корреспондентами в системе связи приводит к тому, что становится неизвестным положение сигнала на оси времени.

В теоретическом плане задача сводится к так называемому сложному или многоальтернативному обнаружению. Оптимальный обнаружитель в этом случае строится в виде многоканальной схемы. Возможный диапазон задержек сигнала разбивается на интервалы, каждый из которых соответствует одному элементу разрешения цели по дальности. Для каждого такого интервала строится оптимальный обнаружитель. Отметим, что в таком многоканальном обнаружителе осуществляется процедура обнаружения и измерения, так как появление сигнала в том или ином канале позволяет установить по номеру канала временную задержку сигнала, а следовательно, и дальность до цели. Аналогично строится и многоканальная схема с частотным разделением каналов, если неизвестна частота сигнала.

Теория оптимального обнаружения сигналов, основанная на анализе отношений правдоподобия, предполагает известными распределения вероятностей принимаемых реализаций. Вид закона распределения вероятностей определяет структуру обнаружителя, а знание параметров этого закона позволяет рассчитать величину порога, необходимую для получения требуемой достоверности обнаружения.

В математической статистике методы, в которых для получения статистических выводов необходимо знание законов распределения анализируемых процессов, называют параметрическими. Несмотря на широкое применение параметрических методов в статистической радиотехнике, их использование может натолкнуться на трудности принципиального

характера, что наблюдается, например, при недостатке статистических данных в описании процессов на входе радиотехнического устройства или при изменении таких данных во времени непредсказуемым образом. Простейшей, но весьма характерной ситуацией подобного рода является возрастание интенсивности шумов на выходе приемника, вызванное либо увеличением коэффициента его усиления, либо действием широкополосных шумовых помех. Если параметры обнаружителя оставить неизменными, то это приведет к повышению вероятности ложной тревоги.

Для стабилизации уровня ложной тревоги в рассмотренные выше обнаружители параметрического типа вводят дополнительный канал приема, в котором осуществляется оценка интенсивности шумов. В радиолокационных устройствах такой канал может быть выполнен дополнительным стробированием приемника на дистанции (временном интервале), где заведомо отсутствует сигнал цели. Измеренное значение интенсивности шумов используется либо для изменения порога, либо для нормировки шумов. Некоторые алгоритмы стабилизации ложных тревог путем изменения порога приведены в 182, 179]. Теоретическое обоснование нормирования шумов в оптимальном обнаружителе с неизвестной их интенсивностью дает правило, называемое -тестом Стьюдента 112]. Приближенно это правило реализуется в системах автоматической регулировки усиления приемника по шумам (ШАРУ).

Основной недостаток рассмотренных схем стабилизации ложных тревог состоит в том, что получаемая в таких схемах оценка интенсивности шумов отличается от ее истинного значения на величину ошибки измерения, к которой очень чувствительны обнаружители параметрического типа. Например, в показано, что ошибка измерения среднего уровня шумов, составляющая 10%, вызывает изменение вероятности ложной тревоги приблизительно на порядок. Отмеченная особенность, а также чувствительность подобных обнаружителей к изменению вида закона распределения помех послужили причиной разработки обнаружителей непараметрического типа, для построения которых требуются очень ограниченные сведения о распределениях анализируемых реализаций.

Непараметрическая теория решений позволяет получать алгоритмы (на основе которых делаются статистические выводы), инвариантные к форме закона распределения.

Однако в практическом приложении этой теории применительно к обнаружению сигналов вопрос так широко не ставится. Обычно под непараметрическим обнаружением понимают алгоритм, который обеспечивает независимость от формы закона распределения какой-либо характеристики качества обнаружения. Такой характеристикой чаще всего бывает уровень ложных тревог. Следовательно, в непараметрических обнаружителях обеспечивается стабилизация ложных тревог при изменении условий приема. Это свойство приобретается ценой потери оптимальности. Однако показатели качества подобных обнаружителей могут быть сделаны достаточно близкими к оптимальным .

Простейшим обнаружителем непараметрического типа является знаковый обнаружитель . Этот обнаружитель строится на основе следующих предположений относительно статистических свойств принятых реализаций. Если сигнал отсутствует и реализация утв состоит лишь из шумовых компонент, то принимается, что случайные величины

Одной из разновидностей знакового обнаружителя является так называемый фазовый автокоррелятор , функциональная схема которого представлена на рис. 4.7. Широкополосный и узкополосный фильтры (ШФ и УФ)

настроены на частоту сигнала. Полоса пропускания узкополосного фильтра согласована с длительностью сигнала т. е. Для соотношения полос фильтров ШФ и УФ выполняется следующее условие:

Напряжение с выходов фильтров подаются на ограничители и далее на каскад совпадений (КС), формирующий импульсы нормированной амцлитуды, длительность которых пропорциональна времени совпадения положительных полярностей напряжений, поступающих с ограничителей. Далее следует интегратор и пороговое устройство (ПУ). Обнаружение сигнала производится по превышению напряжения на выходе интегратора порогового уровня иа. В статье рассмотрен усовершенствованный вариант знакового обнаружителя.