Двоичная арифметика деление. Двоичная арифметика. Решение примеров на системы исчислений

Двоичная арифметика

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Двоичная арифметика
Рубрика (тематическая категория)	Информатика

Двоичная система счисления

Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ

Основание Р = 2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Любое число C = C n C n-1 …C 1 C 0 C -1 C -m есть сумма степеней числа Р = 2,

C = C n × 2 n +C n-1 × 2 n-1 +…+C 1 × 2 1 +C 0 × 2 0 +C -1 × 2 -1 +…+C -m × 2 -m

Пример 3.6.

101011,11 2 =1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 +1×2 1 + 1×2 0 +1×2 -1 + 1×2 -2 = 32+8+2+1+0,5+0,25=43,75 10 .

Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8,16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления. Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых шестнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в табл. 2.

Таблица кодов в различных системах счисления

Таблица 2

Десятичная система	Двоичная система	Шестнад-цатеричная система	Десятичная система	Двоичная система	Шестнад-цатеричная система
					А
					B
					C
					D
					E
					F

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления всœе десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Пример 3.7.

Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001 0111 0000 0011.

Преимущество двоичной системы счисления над десятичной с точки зрения ЦВМ состоит в следующем:

• требуются элементы с двумя устойчивыми состояниями;
• существенно упрощаются арифметические операции;
• оборудования требуется в 1,5 раза меньше;
• позволяет применить аппарат математической логики для анализа и синтеза схем.

Недостатки двоичной системы счисления состоят в следующем:

• большая длина записи чисел;
• при вводе и выводе информации требуется перевод в десятичную систему счисления.

Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.

Правила арифметики во всœех позиционных системах счисления одинаковы, ᴛ.ᴇ. сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, делœение - со старших.

При сложении единица переноса складывается с цифрами сосœеднего старшего разряда. При вычитании единица заема старшего разряда дает две единицы в младшем сосœеднем разряде.

Пример 3.8

Умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но т.к. умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения.

Пример 3.9

Двоичная арифметика - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Двоичная арифметика" 2017, 2018.

- Двоичная арифметика

Так как информационные процессы в цифровых системах принимают значения только 0 и 1, то и представления данных осуществляется с помощью двоичных чисел. Сложение и вычитание двоичных чисел, а так же и все остальные арифметические действия выполняются по тем же правилам, что... .

- Двоичная система счисления и двоичная арифметика

В двоичной системе счисления с числами можно производить те же действия, что и в десятичной системе счисления. Сложение выполняется по тому же принципу, что и в десятичной системе счисления: только если в данном разряде образуется сумма, которая в нем не умещается, то...

Арифметические операции над двоичными числами осуществляются с помощью алгоритма под названием «сложение в столбик». Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения (табл. 1.31).

Таблица 1.31. Арифметические операции над двоичными числами

Пр и мер 1.60. Произвести сложение чисел 55,25 и 19,5 в десятичной и в двоичной системах счисления.

Первое слагаемое 55 , 25 1 1 0 1 1 1,0 1

Второе слагаемое 19 , 50 1 0 0 1 1,1 0

Образующийся дополнительный бит называется битом переноса.

Пр и мер 1.61. Произвести сложение чисел 65 и 42 в двоичной системе счисления.

• 65 10 = 01000001 2 .
• 42 10 = 00101010 2 .

Выполним сложение этих чисел:

01000001 Первое слагаемое

00101010 Второе слагаемое 01101011 Результат

Можно убедиться, что (01101011) 2 = (107) 10:

0 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 -2 3 + 0-2 2 + 1 -2" + 1 -2° = = 64 + 32 + 8 + 2+ 1 = 107.

Пр и мер 1.62. Выполнить сложение двоичных чисел X и У. а) Х= 1101; У= 101.

Х+ У =

Результат. 1101 + 101 = 10010. б)Х= 1101; У= 101; 7= 111.

х+у+г= 110 0 1

Примечание. Вычитание чисел в двоичной системе счисления выполняется так же, как и в десятичной. При необходимости занимается единица из следующего старшего разряда, причем занимаемая единица равна двум единицам данного разряда. Заем единицы производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого количественно больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Для выполнения операции вычитания она заменяется сложением, а в качестве второго слагаемого берется инвертированное (противоположное) число. Например, пусть нужно выполнить вычитание: 65 - 42. Заменим его сложением: 65 + (-42).

• познакомить учащихся с двоичной системой счисления, указать ее недостатки и преимущества использования в вычислительной технике;
• развивать логическое мышление; формировать навыки выполнения арифметических действий с двоичными числами;
• прививать интерес к предмету.

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, программа Калькулятор.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие, проверка отсутствующих.

1. Постановка целей урока

– Сколько будет:

1000110 2 + 1010101 2 ; 100011110111 2 /101101 2;

1110001110 2 – 11010 2 ; 101101 2 * 100011 2

После предложенных ответов учащихся, комментирую и объясняю, что сегодня на уроке мы научимся правильно выполнять арифметические действия в двоичной системе счисления.

2. Человек не ведет счет в двоичной системе, т.к. она для него не удобна. А кто или что использует ее для счета и почему?

II. Изложение нового материала

Двоичная система счисления

Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления.

– Чему равно основание двоичной системы счисления? (q = 2)

– Какой вид имеет развёрнутая форма записи двоичного числа? (А 2 =а n-1 *2 n-1 + …a 0*2 0 + a -1 *2 -1 +…a -m *2 -m , где а i равно 1 или 0.)

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих учёных. П.С.Лаплас писал о своём отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Г.Ф.Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает всё из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа ». Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита состоящего всего из двух символов.

Двоичная арифметика.

Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.

Все позиционные системы «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:

• справедливы одни и те же законы арифметики: коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный;
• справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
• правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Сложение.

Таблица сложения двоичных чисел проста.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Вычитание.

0 – 0 = 0
0 – 1 = 11
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведённой таблицей вычитания с учетом возможных заёмов из старших разрядов.

Умножение.

Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания.

III. Закрепление изученного

Решите задачи.

Выполните сложение:

1001001 + 10101 (ответ 1011110);
101101 + 1101101 (ответ 10011010)
11000,11 + 11010,11 (ответ 110011,1)

Выполните вычитание:

10001000 – 1110011 (ответ 10101)
1101100 – 10110110 (ответ – 1001010)
110101,101 – 1001,111 (101011,11)

Выполните умножение:

100001*111,11 (ответ : 11111111,11)
10011*1111,01 (ответ : 100100001,11)

Выполните деление:

1000000 / 1110 (ответ :100)
11101001000/111100 (ответ : 11111)

IV. Итоги урока

Оценивание работу учащихся, назвать отличившихся на уроке.

V. Домашнее задание

Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления, а так же таблицы сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления.

Выполните действия:

1. 110010 + 111,01;
2. 11110000111 – 110110001;
3. 10101,101 * 111;
4. 10101110/101.

Составьте таблицы сложения и умножения в троичной и пятеричной системе счисления.

Предыдущих главах я рассказал о том, что такое цифровая техника и как устроена вычислительная система на основе микроконтроллера. Я упразднил большое число деталей и надеюсь, что это помогло тебе ухватить главные идеи позади цифровой техники и сейчас ты можешь хоть и поверхностно, но осознанно представить принципы работы цифровых устройств и микроконтроллера в частности.

Всё это время я говорил о том, что цифровые машины стали возможны благодаря простой идее о том, что любую информацию можно представить в виде последовательности из «0» и «1», т. е. закодировать её двоичным числом. При этом я умышленно умолчал о том, как «0» и «1» представляются внутри цифрового устройства. Для понимания основных идей информации было достаточно.

Но если задаться вопросом что такое на самом деле «0» и «1» в цифровом устройстве, то очевидный ответ будет звучать так:«электричество»! Да, «истина» и «ложь» в электронных устройствах кодируются с помощью напряжения (если ты забыл что это такое, то можешь просто воспринимать его как давление воды в трубе. Аналогия хоть и не точная, но зато понятная). На самом деле мы можем что угодно принять за «истину» или «ложь». Просто выбрать два разных значения и одно из них считать за «истину», а второе за «ложь».

Например, возьмём монету, «орла» будем считать за «1», а решку - за «0». Такая простая идея позволяет строить вычислительные машины из чего угодно. Можно даже построить механический компьютер. Правда он будет жутко медленный, очень дорогой и невероятно огромный, т. е. абсолютно бесполезное устройство.

Но вернёмся к электрическому представлению «0» и «1». Инженеры решили этот вопрос в лоб и просто приняли 0 вольт за «0», а за «1» напряжение большее ~2.5 вольт. Были придуманы простейшие схемы (логические элементы), сначала на электронных лампах и реле, а потом на транзисторах, которые умеют распознавать эти уровни напряжения и выполнять логические функции: И, НЕ, ИЛИ, И-НЕ и т. д. На основе этих схем были построены более сложные элементы: триггеры, счетчики, сумматоры, шифраторы и дешифраторы, мультиплексоры и демультиплексоры, регистры, - из которых в дальнейшем были созданы ещё более сложные устройства такие как АЛУ, ячейки памяти и многие другие необходимые блоки современных цифровых устройств.

Соглашение, когда 0В обозначает «0», а ~2.5В обозначает «1» принято называть положительной логикой. Если же принято наоборот (0В = «1», а 2.5В = «0»), то такое соглашение называют отрицательной логикой. Какой вариант использовать -- выбор разработчика. К тому же сейчас существует множество схем, которые работают и с другими напряжениями. В целом они делятся на два больших семейства: ТТЛ (TTL) и КМОП (CMOS). Существуют также более современные семейства LVTTL, LVCMOS. Не буду сейчас на них подробно останавливаться.

Системы счисления

Система счисления - это практически тоже самое, что алфавит для записи слов, только он служит для записи чисел. Двоичный алфавит состоит из цифр «0» и «1», а десятичный из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9. Восьмиричный из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. С помощью такого «численного алфавита» мы записываем все возможные числа. При этом все современные активно использующиеся системы счисления таковы, что для записи любого числа достаточно только тех цифр, что есть в выбранной системе счисления. При этом количество разных цифр в системе счисления называется её «основанием». Двоичная система имеет основание 2, десятичная -- 10, восьмиричная -- 8, шестандцатиричная -- 16, шестидесятиричная -- 60 и т.д.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционных число выражается с помощью набора символов, порядок которых не играет никакой роли. К одной из самых известных непозиционных систем относится римская система записи чисел: XXVIII. Согласись, что записывать римскими цифрами большие числа очень трудно. А производить вычисления ещё не удобней.

В позиционных же наоборот порядок следования цифр играет важную роль, так как он определяет значение числа. Положение каждой цифры называется позицией, каждая позиция имеет свой вес. Число в любой системе счисления можно записать с помощью простой формулы:

D = d p-1 b p-1 + d p-2 b p-2 + ... + d 1 b 1 + d 0 b 0 .d -1 b -1 + d -2 b -2 + ... + d -n b -n

С помощью этой формулы можно записать как целое число, так и число дробное. p -- число знаков слева от точки, а n -- после запятой, а b -- это основание системы. Для примера запишем число 22.15:

22.15 = d 2-1 b 2-1 + d 2-2 b 2-2 .d -1 b -1 +d -2 b -2 = 2 1 10 1 + 2 0 10 0 .1 -1 10 -1 +5 -2 10 -2

Одной из древнейших из дошедших до нас позиционых систем счисления является шестидесятиричная. И осталась она нам от Вавилона. Отголоски применения такой системы до сих пор можно встретить при определении времени и углов. В этой системе каждый следующий разряд был на 60 больше предыдущего.

Позиционные системы таковы, что если в результате сложения, полученное число превышает «основание», то мы добавляем новый разряд слева: 5+7 = 12, 11+99 = 110 и т.д. Эти правила сложения тебе известны со времен начальной школы. И они успешно применяются как десятичным, так и к двоичным числам.

Глубже в вопросы систем счисления можно вникнуть по материалам, к примеру, википедии или книг на эту тему. Наша же цель -- это собрать воедино картину мира электроники. Теперь, когда магия систем счисления и представления двоичных чисел в цифровых устройствах развеялась я могу наконец-то перейти к двоичной арифметике и рассказать о ней чуть больше. В частности мы затронем способы представления двоичных чисел в цифровых устройствах, а также затронем типичные арифметические операции, которые применяются для операций с двоичными числами.

Арифметика нулей и единиц

Выполнять арифметические операции достаточно легко, так как у нас всего две цифры и несколько правил:

1 + 0 = 01 0 + 0 = 00 1 + 1 = 10 (+ 1 разряд переноса) = 10 1 * 1 = 01 1 - 1 = 00

При выполнении операций следует всегда учитывать разрядность числа. Если мы складываем двоичные числа на бумаге, то она не играет никакой роли, а вот в реальных устройствах важна. Так как размер, т. е. разрядность чисел, с которыми может работать устройство задаётся на этапе проектирования. Покажу на примере - сложим два числа:

Как видно сумма двух 8-разрядных чисел не всегда равна 8 разрядам. В этом примере мы получили 9! Ниже я показал, что произойдёт, если сложить два 8-разрядных числа в устройстве, которое умеет работать только с 8-разрядными числами, если забыть про перенос в старший разряд.

Мы потеряли самый старший разряд (9-й), который в результате сложения должен был быть равен «1»! Таким образом, реальное цифровое устройство всегда должно уметь учитывать перенос из младшего разряда в старший, иначе некоторые операции сложения всегда будут давать неверный результат.

Кстати, если представить, что число "11111111" -- это максимальное значение некоторого восьми разрядного счетчитка, то добавив к нему единицу мы получим переполнение счетчика и он обнулится.