Квантование. Квантование по уровню

Рис. Квантование сигнала по уровню:

а – с постоянным шагом квантования; б – погрешности квантования; в – квантование с переменным шагом

По оси ординат откладывается величина заранее выбранного шага квантования q и проводятся линии, параллельные оси времени, обозначающие уровни квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования, так как в этот момент абсолютная погрешность квантование ∆ к.у. оказывается наибольшей. Действительно, если значение функции находится в середине между двумя уровнями (точки а, б, в…), то возникает неопределенность, так как функция равноудалена от обоих уровней. Так, например, если значение функции в точке в возникает на бесконечно малую величину, то это новое значение целесообразно отнести к уровню 3. Наоборот, значение функции, несколько меньше значения в точки в, будет заменено уровнем 2. Исходя из сказанного процесс квантования осуществляется следующим образом: интервал квантования делится пополам, и проводится пунктирные горизонтальные линии до их пересечения с квантуемой функцией. Точки пересечения обозначаются буквами (а , b , c , d и т.д.), в них значение функции передается наименее точно, возникает ошибка квантования ∆к.у., равная разности между значением функции λ(t ) и ближайшим уровнем. Так как наименее точно функция передается в точке, находящейся между двумя уровнями квантования и отстоящей от них на половину интервала квантования q /2, то максимальная ошибка квантования по уровню определится как

(2.1)

Здесь + q /2 - максимальная положительная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 2, а - q /2 – максимальная отрицательная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 3. Погрешность квантования представлены на рис. б), на котором на оси времени отложены отрезки уровней квантования, пересекаемые функцией.

Так, функция между точками k и a пересекает уровень 2. Этот уровень отложен на оси t (рис. г.б), и проведен отрезок функции k-a . На участке а-b функция хотя и не пересекает ни один из уровней, но так как она проходит ближе к уровню 1, то отрезок этого уровня откладывается на оси времени. В этом диапазоне от точки а до точки b погрешность отсчитывается от уровня 1 и будет только положительная. На других участках имеет место погрешность и положительная, и отрицательная.

Таким образом, в результате квантования функции (t ), произведенного по определенному правилу, был отобран ряд дискретных значений этой функции в точках а, b, c, d и т.д. Отбором точек и заканчивается собственно процесс квантования. Если же необходимо представить себе полностью форму той функции, которая заменила функцию (t ), поступают следующим образом. Через точки а, b, c, d и т. д. проводят вертикальные отрезки (до их пересечения с уровнями), которые затем соединяются горизонтальными отрезками, образуя ступенчатую квантованную функцию Из рис. г), а) следует, что квантованная ступенчатая функция как бы обходит с двух сторон (выше и ниже) непрерывную функцию это позволяет рассматривать квантование как результат положения на функцию помехи ∆(t), которую называют шумом или помехой квантования.

Как следует из рис. а), число уровней квантования N на единицу больше числа интервала N – 1.

Если сообщение ограничено диапазоном от до , то

.

При имеем

Что касается точности преобразования (квантования), то обычно она задается в виде значения приведенной относительной погрешности (в %), которая по определению равна . При описанном выше методе квантование (рис. б) погрешность не может превышать q /2, т.е. при подсчете нужно учитывать (2-1). Таким образом, считая, что (это достигается соответствующим расположением осей координат) получим

(2-4)

и шаг квантования при заданной погрешности квантования равен

(2-5)

Пример 2-1. Предположим, необходимо провести квантование непрерывной функции, от нуля до 100 В, с точностью . Согласно (2-5) q = 2В. Из (2-3) определяем, что необходим 51 уровень квантования.

Замена действительного значения функции ее ближайшим значением создает погрешность квантования, которая может принять любые величины от – q /2 до + q /2 (рис. б). При достаточно большом числе уровней квантование N распределение погрешности квантования в пределах от – q /2 до + q /2 будет равномерное независимо от закона распределения самой функции . Средне – квадратичное значение погрешности квантования по уровню

т. е. в раз меньше максимальной ошибки.

Неравномерное квантование по уровню. Некоторые функции, подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с переменным шагом квантования Так, на рис. г) показана нелинейная зависимость тока I от напряжения U . Если необходимо при измерении получить равномерную шкалу напряжений, то отсчет по току надо вести с переменным шагом q , уменьшая его с ростом амплитуды. Могут быть и другие варианты изменения шага квантования. Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

О восстановлении функции, квантованной по уровню . Квантование по уровню осуществляется для последующего кодирования, т.е. каждый уровень квантованной функции передается кодом.

На приемной стороне кодовая комбинация, поступая на дешифратор, преобразуется в ток или напряжения, которые используются по назначению (отклоняют стрелку прибора, изменяют показания цифровых индикаторов и т.д.). Принятая квантованная функция в своем первоначальном (непрерывном) виде на приеме обычно не восстанавливается, хотя это можно сделать путем линейной или более сложной интерполяции. Простейшая ступенчатая интерполяция функции была осуществлена, когда мы горизонтальными отрезками соединяли вертикальные отрезки, образуя функцию (рис. а).

Квантование по времени (дискретизация)

Если замена непрерывной функции её отдельными значениями производится в определенные моменты времени, то этот процесс называется квантованием по времени , или дискретизацией. На рис. а) показано, что горизонтальная ось времени делится на интервалы, отстоящие друг от друга на один и тот же интервал квантования .

Далее проводят вертикальные линии до пересечения с квантуемой функцией в точках 1, 2, 3, ..., 9 и определяют значения функции, начиная с Это значит, что в интервале Т непрерывная функция будет передаваться не бесконечным рядом значений, а в данном случае всего лишь десятью значениями. Нахождение точек, определяющих значение непрерывной функции в дискретные моменты времени, как и в квантовании по уровню, собственно процесс квантование по времени и заканчивается.

В том случае, если желают восстановить квантованную функцию, осуществляют один из видов интерполяции, например, ступенчатую. При этом проводят из точек 0, 1, 2, ..., 9 горизонтальные линии до пересечения их с вертикальными линиями, т.е. линии 0-1", 1- 2" и т.д. Далее точки 1"-1, 2"-2, 3"-3 и т.д. соединяют и получают ломаную квантованную функцию "(t ).

Очевидно, что чем больше дискретных значений передается за время Т , т.е. чем меньше шаг квантования t , тем с большей точностью будет восстановлена на приеме функция Однако излишне малая величина t увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.

Рис. Квантование сообщения по времени:

а – метод квантования и восстановление функции ступенчатой интерполяцией; б – погрешности квантования; в – восстановление функции линейной интерполяцией

Шаг квантования можно определить из теоремы Котельникова, смысл которого заключается в следующим: любая непрерывная функция, спектр частот которой ограничен частотой F макс, может быть полностью восстановлена по ее дискретным значением, взятым через интервалы времени

Однако имеется ряд ограничений для практичного применения этой теоремы. Так, все сообщения, передаваемые в телемеханике, ограничения во времени. Это обычно видео или радио импульсы длительностью τ, у которых согласно (1-14) и (1-22) спектр бесконечен. Поэтому представляет значительные трудности выбор величины F макс в (2-7) для функции, ограниченных во времени. Так, например, если предавать синусоидальное напряжение с частотой в 50 Гц бесконечно долго во времени, то согласно (2-7) для восстановления его формы его формы на приеме достаточно передать за период лишь два импульса, соответствующих амплитудным значениям: один – положительной полуволне, другой – отрицательной. если же предавать синусоидальное напряжение в конечном отрезке времени, например, то для восстановления формы этого радиоимпульса необходимо уже не два, а значительно больше импульсов, хотя точно указать их число невозможно из – за того, что спектр частот радиоимпульсов бесконечен.

практически теореме Котельникова можно принять со следующей поправкой:

(2-8)

где η – коэффициент, зависящий от точности воспроизведения функции и способа интерполяции: при линейной η л = 0,75/и при ступенчатой η ст = (3-5)η л (δ – относительная погрешность в %)

Существует и другой подход определения шага квантования, исходящий из задаваемой величины погрешности. для примера на рис. б) начерчены в виде фигур, близких к треугольникам, величины абсолютных погрешностей, возникающих при квантовании; эти фигуры подобны токовым же на рис. а). на рис. б) показано, что заданная величина абсолютной погрешности ∆ 3 на одном участке нарастания функции λ(t ) достигается за период ∆t , на другом за ∆t 2 , а на некоторых она оказывается меньше заданной (например, на участке 1` - 2`). Это зависит от скорости нарастания функции λ=dλ/dt . Очевидно, следует выбрать такой шаг квантования, который соответствует максимальной скорости нарастания функции . Так, из рис. а) следует, что если бы на участке кривой 5-6 имелся всплеск функции (пунктир), то выбранный шаг квантования t оказался бы излишне большим и этот всплеск не был бы восстановлен (следовало бы взять шаг ).

Величина абсолютной погрешности показана на рис. б). Здесь, как и в квантовании по уровню, при расчетах следует учитывать или , или , т.е. в среднем /2. Это значит, что = 100/2. Подставляя отсюда значение в (2-9), а значение из (2-11), получаем

Формула выведена с учетом восстановления функции при помощи ступенчатой интерполяции.

Пример 2-2. Найти ∆t при квантовании синусоидального напряжения частоты F = 50 Гц. Погрешности при восстановлении δ = 1% . Согласно (2-7) ∆t = 1/2*50*10 -3 =10мм, т.е. в идеальном случае каждую полуволну синусоиды можно передавать лишь одним значением [период τ= 1/(50*10 -3)=20мм]. η л.и. =0,75/ 0,75/ = 7,5, то для ступенчатой интерполяции η ст =25 и ∆t ст = 1/25*2*50*10 -3 =0,4 мсек.. Так же результат получается и из (2-11). Таким образом, при заданной точности восстановления, каждый полупериод синусоиды следует предавать одним значением, а примерно 25 при ступенчатой интерполяции и 7,5 при линейной.

Восстановить квантованную по времени функцию на приемной стороне можно при помощи ступенчатой или линейной интерполяции или используя метод Котельникова. Чаще всего применяется ступенчатая интерполяция, и наиболее редко используется фильтрация по Котельникову. Ступенчатая интерполяция на рис. а) выполняется с помощью запоминающих устройств, сохраняющих значения до появления следующего значения

Погрешность от ступенчатой интерполяции изображена на рис. б). Причем под погрешностью интерполяции понимается разность между мгновенными значениями восстановленного и исходного символов, взятых в одни и те же моменты времени. Максимальная погрешность возникает в точках 1", 2", ..., 9". Погрешность равна нулю в точках 1, 2, 3, ..., 9. В общем случае задаются среднеквадратичные значения этой погрешности:

где n – число замеров.

При восстановлении квантованной функции по Котельникову нужно знать все дискретные точки, как предыдущие, так и последующие, или во всяком случае для практической реализации должно быть известно несколько точек до и после интервала, в котором происходит интерполяция. Знание последующих точек возможно, лишь в системах, допускающих запаздывание в передаче информации. Большинство телемеханических систем работает в реальном масштабе времени и не допускает запаздывания. В таких системах приходится использовать ступенчатую интерполяцию, так как для линейной, нужно знать наперед хотя бы одну точку, что опять требует запаздывания. Действительно, если, например, известно значение функции в момент t 4 (рис. а), т. 4), то при ступенчатой интерполяции нам заранее известно, что через ∆t значение функции будет тем же (т. 5`). Каким оно будет при линейной интерполяции через интервал ∆t , неизвестно: то ли значение возрастает (т. 5), то ли уменьшится (т. 5 2).

Иногда восстановление функции, квантованной по времени, с шагом, подсчитанным по теореме Котельникова, производится при помощи фильтра НЧ, который выделяет постоянную составляющую и низкочастотные составляющие, соответствующие спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности из–за того, что амплитудно–частотная характеристика реального фильтра отличается от характеристики идеального фильтра. Восстановление при помощи фильтра имеет смысл, если спектр передаваемой функции достаточно сосредоточен в области нуля по оси частот. Зачастую квантование по времени используется для осуществления амплитудно – импульсной модуляции.

Как говорилось в гл. 1, квантование - это дискретизация сигналов по уровню. Необходимость такой дискретизации вызвана тем, что для осуществления обработки сигнала цифровым фильтром каждое его значение должно быть описано числом, количество разрядов которого конечно. Иными словами, квантование равноценно округлению значений сигнала с точностью до еднницы последнего разряда.

Рис. 2.10. Характеристика квантования

Рис. 2.11. Квантование с логарифмической характеристикой

Квантование сигналов можно описать графически с помощью характеристики квантования (рис. 2.10), где по оси абсцисс отложены значения непрерывного сигнала, а по оси ординат - значения квантованного сигнала. Величину шага квантования А выбирают, исходя из необходимой точности передачи сигнала. Квантование с постоянным шагом называют равномерным. Равномерное квантование сигналов является наиболее простым и распространенным.

Однако равномерное квантование в отдельных случаях оказывается неудобным. Например, если передаваемый сигнал может принимать очень большие и очень маленькие значения, то при постоянной величине интервала квантования относительная точность передачи малых значений сигнала оказывается значительно хуже, чем больших значений. В этих случаях иногда применяют нелинейное,

например логарифмическое квантование (рис. 2.11), когда шаг квантования пропорционален логарифму входного напряжения. При квантовании малых значений сигнала шаг квантования оказывается малым, а точность передачи сигнала - достаточно высокой. При больших значениях входного сигнала интервал квантования увеличивается. Таким образом, использование логарифмического квантования позволяет получить высокую точность передачи сигнала при не слишком большом числе квантованных уровней сигнала.

Дискретизация – переход от непрерывного сигнала к близкому (в определенном смысле) дискретному сигналу, описываемому разрывной функцией времени. Пример дискретного сигнала – последовательность коротких импульсов с изменяющейся амплитудой (последняя выступает в данном случае в качестве информативного параметра).

Обработка и передача дискретной информации имеет ряд преимуществ по сравнению с информацией, заданной в непрерывном виде. Дискретные сигналы в меньшей степени подвержены искажениям в процессе передачи и хранения, они легко преобразуются в двоичный цифровой код и обрабатываются с помощью цифровых вычислительных устройств.

Процесс дискретизации состоит обычно из двух этапов: дискретизации по времени и дискретизации (квантования) по уровню.

Дискретизация аналогового сигнала по времени – процесс формирования выборки аналогового сигнала в моменты времени, кратные периоду дискретизирующей последовательности ∆t.

Дискретизирующая последовательность – периодическая последовательность отсчетов времени, задающая сетку дискретного времени.

Период дискретизации ∆t – интервал времени между двумя последовательными отсчетами аналогового сигнала (шаг дискретизации по времени).

При выборе частоты дискретизации по времени можно воспользоваться теоремой В.А. Котельникова.

Теорема отсчетов (теорема Котельникова) – теорема, определяющая выбор периода дискретизации ∆t аналогового сигнала в соответствии с его спектральной характеристикой.

Согласно теореме, всякий непрерывный сигнал, имеющий ограниченный частотный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга на интервалы времени ∆t = l/(2F max), где F max – максимальная частота в спектре сигнала. Иначе, дискретизация по времени не связана с потерей информации, если частота дискретизации f дискр = 1/∆t в два раза выше указанной верхней частоты сигнала F max.

Согласно теореме Котельникова, нет необходимости передавать бесконечное множество всех значений непрерывного сигнала x (t ), достаточно передавать лишь те его значения (рис. 3.52), которые отстоят друг от друга на расстоянии ∆t = l/(2Fmax ). Для восстановления сигнала x (t ) на вход идеального фильтра низких частот, имеющего полосу пропускания частот от 0 до F msx, необходимо подать последовательность узких импульсов с амплитудой, соответствующей дискретным отсчетам сигнала x (t i) в моменты времени t i = i ∆t .

Рис. 3.52. Дискретные отсчеты сигнала

Поскольку теорема отсчетов (теорема Котельникова) сформулирована для сигнала с ограниченным спектром, а реальные сигналы имеют неограниченную спектральную плотность, то при расчетах ∆t =1/(2F max) используют приближенное значение F max (например, активную ширину спектра, определенную по амплитудному критерию, по критерию 90%-ного содержания энергии или средней мощности сигнала). Кроме того, и идеальный фильтр низких частот, необходимый для восстановления сигнала в соответствии с теоремой, является физически нереализуемым, так как предъявляемые к нему требования (идеально прямоугольная форма амплитудно-частотной характеристики, отсутствие фазового сдвига в рассматриваемой полосе частот от 0 до F max) оказываются противоречивыми и могут выполняться лишь с определенной погрешностью. Учитывая сказанное, частоту дискретизации по времени обычно принимают в 1,5–2,5 раза больше значения, рассчитанного по теореме Котельникова.

Существуют и другие способы выбора частоты дискретизации сигнала (с учетом времени корреляции передаваемого сообщения, значения наибольшего или среднеквадратичного отклонения процесса). Так, в соответствии с критерием Н.А. Железнова, который выполняется для случайных сигналов, имеющих конечную длительность Т с и неограниченный частотный спектр, рекомендуется принимать шаг дискретизации ∆t , равный максимальному интервалу корреляции сигнала φ0. Предполагается, что параметр φ0, характеризует такой промежуток времени, в пределах которого отдельные значения случайного процесса можно считать статистически зависимыми (коррелированными), причем φ0Т с. Таким образом, исходный непрерывный сигнал заменяется совокупностью N =Т с/φ0 некоррелированных отсчетов (импульсов), следующих с частотой f дискр=1/∆t = φ0. При этом восстановление сигнала x (t ) осуществляется с помощью линейного прогнозирующего фильтра со среднеквадратической ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля в промежутке времени, равном интервалу корреляции φ0.

Более полно учитывая свойства реальных сигналов (конечная длительность, неограниченность спектра), критерий Железнова тем не менее исходит из допущения о равенстве нулю корреляционной функции сигнала К х(φ) вне интервала [-φ0; φ0], что на практике выполняется с определенной погрешностью.

В тех случаях, когда имеется более подробная информация о законе изменения сигнала, выбор частоты дискретизации можно осуществлять исходя из допустимой погрешности аппроксимации функции x (t ) на каждом из интервалов дискретизации. На рис. 3.53 дан пример кусочно-линейной аппроксимации, когда соседние отсчеты функции x (t ), взятые в дискретные моменты времени t i и t i+1, соединяются отрезками прямых.

Рис. 3.53. Кусочно-линейная аппроксимация

Рассмотренные способы равномерной дискретизации (при ∆t =const) иногда могут приводить к получению избыточных отсчетов, не оказывающих существенного влияния на процесс восстановления исходного сообщения. Например, если функция x (t ) мало изменяется на некотором, достаточно протяженном интервале времени Т о, то соответствующие дискретные отсчеты сигнала практически не отличаются друг от друга и, следовательно, нет необходимости использовать все указанные отсчеты для хранения или передачи информации по линии связи. Сокращение избыточной информации возможно на основе способов адаптивной (неравномерной) дискретизации, обеспечивающих выбор интервала ∆t между соседними отсчетами с учетом фактического изменения характеристик сигнала (в частности скорости его изменения).

Дискретизация сигнала по уровню – процесс отображения бесконечного множества значений аналогового сигнала на некоторое конечное множество (определяемое числом уровней квантования).

Отличительной особенностью дискретизации по уровню является замена непрерывной шкалы уровней сигнала x (t ) дискретной шкалой х i (i = 1, 2, ..., m ), в которой различные значения сигнала отличаются между собой не менее чем на некоторое фиксированное (или выбираемое в процессе квантования) значение ∆t , называемое шагом квантования.

Шаг квантования – величина, равная интервалу между двумя соседними уровнями кванто-вания (определена только для случая равномерного квантования).

Необходимость квантования вызвана тем, что цифровые вычислительные устройства могут оперировать только с числами, имеющими конечное число разрядов. Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. При равномерном квантовании (∆x =const) число разрешенных дискретных уровней х составляет

m = (x max – x min)/∆x ,

где x max и x min – соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала.

Ошибка квантования – величина, определяемая как ξ(х ) = х – х дi, где х – кодируемая дискретная величина, х дi– дискретизированный сигнал.

Шум квантования – случайная функция времени, определяемая как зависимость ошибки квантования от времени.

Чем меньше значение ∆х , тем меньше получаемая ошибка. Если в результате квантования любое из значений сигнала x (t ), попавшее в интервал (х дi - ∆х /2; х дi + х дi х /2), округляется до х д, то возникающая при этом ошибка ξ(х ) не превышает половины шага квантования, т.е. mах|ξ(х )|=0,5∆х . На практике шаг квантования ∆х выбирают исходя из уровня помех, в той или иной форме присутствующих при измерении, передаче и обработке реальных сигналов.

Если функция x (t ) заранее неизвестна, а шаг квантования ∆х достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала (х max – х min), то принято считать ошибку квантования ξ(х ) случайной величиной, подчиняющейся равномерному закону распределения. Тогда, как показано на рис. 3.54, плотность вероятности f 1(ξ) для случайной величины ξ, принимает значение 1/(∆х ) внутри интервала (-∆х /2; +∆х /2) и равна нулю вне этого интервала.

Рис. 3.54. Равномерный закон распределения ошибки квантования

При ∆x =const относительная погрешность квантования ∆х =ξ(х )/х существенно зависит от текущего значения сигнала x (t ). В связи с этим при необходимости обработки и передачи сигналов, изменяющихся в широком диапазоне, нередко используется неравномерное (нелинейное) квантование, когда шаг ∆х принимается малым для сигналов низкого уровня и увеличивается с ростом соответствующих значений сигнала (например ∆х выбирают пропорционально логарифму значения |x (t )|). Выбор шага ∆х i =х дi – х дi-1 осуществляется еще и с учетом плотности распределения случайного сигнала (для более вероятных значений сигнала шаг квантования выбирают меньшим, для менее вероятных – большим). Таким образом удается обеспечить высокую точность преобразования при ограниченном (не слишком большом) числе разрешенных дискретных уровней сигнала x (t ).

Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называют кодированием информации, а множество различных кодовых комбинаций, получаемых при данном правиле кодирования, – кодом. Важной характеристикой кода является основание (или значность) кода, т.е. число возможных значений, которые могут принимать элементы кодовой комбинации. Пусть требуется передать сигнал, уровень которого изменяется от 0 до 10 В. Если шаг квантования данных составляет 10 мВ, то каждый отсчет сигнала можно рассматривать как одно из 1000 возможных сообщений. Для передачи этой информации можно предложить различные способы:

– каждому сообщению поставить в соответствие определенный уровень напряжения, при этом основание кода m = 1000, а длина кодовой комбинации (слова) принимает минимальное значение n =1;

– можно воспользоваться двоичным (бинарным) представлением амплитуды сигнала с m = 2, но тогда потребуется комбинация длины n = 10 (210=1024, так что некоторые комбинации здесь не использованы).

Квантование (англ. quantization) - в информатике разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует также векторное квантование - разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Простейшим видом квантования является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования.

Проще говоря, квантование – это округление дискретных значений сигнала до ближайших целых чисел из набора фиксированных уровней, на которые разбивается весь диапазон изменения сигнала, число этих уровней конечно и они называются уровнями квантования.

Не следует путать квантование с дискретизацией (и, соответственно, шаг квантования с частотой дискретизации). При дискретизации изменяющаяся во времени величина (сигнал) замеряется с заданной частотой (частотой дискретизации), таким образом, дискретизация разбивает сигнал по временной составляющей. Квантование же приводит сигнал к заданным значениям, то есть, разбивает сигнал по уровню. Сигнал, к которому применены дискретизация и квантование, называется цифровым.

Квантование часто используется при обработке сигналов, в том числе при сжатии звука и изображений.

При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал соответствует аналоговому. В случае равномерного квантования глубину дискретизации называют также динамическим диапазоном и измеряют в децибелах (1 бит ≈ 6 дБ).

Шаг квантования определяется разрядностью АЦП.

Виды квантования.

Равномерное (линейное) квантование - разбиение диапазона значений на отрезки равной длины. Его можно представлять как деление исходного значения на постоянную величину (шаг квантования) и взятие целой части от частного, характеристика квантования в этом случае носит линейный характер (рис. 1 а)):

Рисунок 1. Характеристики квантования: а) линейная; б) нелинейная

Нелинейное квантование – квантование с переменным шагом. Оно позволяет обеспечить достаточно большой динамический диапазон при снижении разрядности АЦП. При этом характеристика квантования имеет вид кривой, близкой к логарифмической. При квантовании малых сигналов шаг квантования оказывается малым, а точность передачи сигнала – достаточно высокой. При больших значениях сигнала шаг квантования увеличивается, что приводит к возрастанию ошибки. Но так как сигнал в этом случае имеет достаточно большой вес, шум квантования может быть эффективно замаскирован.

Преобразователи с нелинейной характеристикой квантования обеспечивают уменьшение разрядности и, как следствие, уменьшение скорости цифрового потока, но они могут являться источником нежелательных искажений. Слабые сигналы в присутствии сигнала с большой амплитудой из-за большой ошибки квантования могут подавляться на верхнем поддиапазоне.

Квантование по уровню - представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от Umin до Umax делится на 2n интервалов. Величина получившегося интервала (шага квантования):

Каждому интервалу присваивается n - разрядный двоичный код - номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.

Число уровней квантования n и число двоичных разрядов АЦП определяют динамический диапазон преобразования. Динамический диапазон (в дБ) от числа разрядов АЦП или ЦАП определяется выражением:

где n – число двоичных разрядов.

г) Фазовый признак. Отличит. признаком является фаза импульса, q Ф £ ¥ (q Ф реал. » 2¸3)

д) Частотный признак. q Ч ³ 2 (q Ч реал. » 2¸3)

9. Сообщение и их виды

Величины, характеризующие тот или иной контролируемый процесс как правило имеют случайный характер, т.е. не м.б. известными. Если случайная величина может принимать конечное число значений, то ее наз. дискретной по множеству. Если же случайная величина может принимать бесконечное число своих значений, то ее называют непрерывной по множеству. В общем случае получаемое сообщение представляет собой функцию времени. По виду получающейся функции все сообщения можно классифицировать следующим образом:

1. Непр. по множеству и времени (просто непрерывные). В этом случае ф-я х(t), характеризующая передаваемые сообщения, имеет непрерывное множество значений и изменияется непрерывно во времени. Такого рода сообщения характерны для телеизмерений.

2. Непр. по времени и дискретные по множеству. В этом случае ф-я x(t) может принимать только вполне определенные заранее заданные значения и может изменять их в произвольный мом. вр.

3. Непр. по мн-ву и дискретные по времени. В этом случае ф-я x(t) может приниметь любые зн-я из области сущ-я, но только в фиксир. мом. вр.

4. Дискретный по мн-ву и времени. Ф-я может принимать только фиксир. зн-я в фиксир. мом. вр.

10. Квантование сигналов, назначение и виды

Передача информации в информационных управляющих системах может осуществляться, как с помощью непрерывных, так и дискретных сигналов.

Использование дискретных сигналов в некоторых случаях оказывается более предпочтительным, так как дискретные сигналы меньше подвержены искажениям при передаче, эти искажения легче обнаруживаются. А самое главное дискретные сигналы более удобны для использования и обработки цифровыми устройствами информационных систем.

С другой стороны большинство первичных сигналов, снимаемых с датчиков, являются непрерывными, в связи с этим возникает проблема эффективного преобразования непрерывных сигналов в дискретных и наоборот.

Процесс процедуры преобразования непрерывной физической величины в дискретную, называется квантованием.

виды квантования :

1) Квантование по уровню , при этом непрерывная функция, описывающая первичный сигнал заменяется ее отдельными значениями, отстоящим друг от друга на некоторый конечный интервал (уровень). Соответственно, мгновенные значения функции заменяются ее ближайшими дискретными значениями, называемыми уровнями квантования, интервал между двумя соседними значениями уровнями, называется шагом квантования. Шаг квантования может быть как постоянным (равномерное квантование), либо переменным (неравномерным квантованием). Точность преобразования непрерывного дискретного сигнала зависит от величины шага квантования. Эта точность оценивается расхождением между истинным значением функции и квантованным. Величина этого расхождения называется ошибкой (шум квантования).

При передаче сигнала по каналу связи на этот сигнал могут воздействовать те или иные помехи, искажающие этот первичный сигнал. Если при этом известно максимальное значение этой помехи , то можно выбрать шаг квантования и вторично проквантовать сигнал на приемной стороне, то можно очистить принятый сигнал от влияния помех, поскольку .

Таким образом, повторное квантование позволяет восстановить искаженный помехой сигнал. Однако надо иметь в виду, что при этом ошибка квантования сохраняется. Положительным моментом при этом является то, что ошибка квантования заранее известна. Таким образом, удается избежать накопления помех и качество передачи сигналов возрастает.

2) Квантование по времени (дискретизация). В этом случае непрерывная функция заменяется ее отдельными значениями времени в фиксированные моменты времени. Отчеты значений первичного сигнала производятся через некоторый промежуток , этот интервал называется шагом квантования. Чем меньше выбран интервал , тем больше точка на приемной стороне сможет быть восстановлена передаваемая функция. С другой стороны, при смешанном мелком шаге дискретизация снижается скорость передачи данных, также повышается требования к полосе пропускания канала связи.

, , , .

При смешанном крупном шаге квантования существенно уменьшается точность воспроизведения функции на приеме.

3) Квантование по уровню и времени . В ряде случаев, оказывается, целесообразно использовать смешанный вид квантования по уровню. В этом случае сигнал предварительно квантуется по уровню, а отчеты получившегося квантования сообщения производят через заданный промежуток времени. При этом:

11. Дискретизация сигналов и требования к ним.

Теорема Котельникова м ее практическое значение

Для использования преимуществ цифровых устройств в системах передачи и обработки информации возникает необходимость в преобразовании непрерывных сигналов в дискретные. С этой целью наиболее часто используется методы дискретизации, т.е. квантование по времени, при постоянном шаге дискретизации. Методы равномерной дискретизации получили наиболее широкое применение, поскольку неравномерная дискретизация является крайне неудобной и мало пригодной для технических целей. Поскольку не позволяет осуществлять синхронизацию отдельных устройств СПД и затрудняет процесс восстановления сигнала по приемной стороне.

В случае использования равномерной дискретизации возникает вопрос о выборе оптимального (предельного) шага дискретизации.

В 1933 г. академиком Котельниковом была доказана теорема, играющая важную роль в теории информации.

Теоремы: любая непрерывная функция , частный спектр, который ограничивается сверху некоторым значением частоты , может быть полностью и без ошибочно восстановлена по ее дискретным значениям (отчеты), взятым через интервал времени.

(*)