Графическое решение злп примеры. Решение задач линейного программирования графическим методом

Важным методом научного анализа статистического материала выступают графические изображения. Первые попытки использования графических методов в экономических исследованиях начались еще в 1780-х годах. Однако более широкого применения графический метод получил позже - в середине XVIII в., Особенно после впервые в истории сделанной статистики докладе представителя Берлинского статистического бюро Швабе "Теория графических изображений" на 8-м Международном статистическом конгрессе (Петербург, 1872 г.). По известному выражению немецкого физика Ф. Ауэрбаха, XX в. ознаменовалось "триумфальной поступью графического метода в науке".

Что же такое график? График - это форма наглядного представления статистических данных о социально-экономические явления и процессы через геометрические образы, рисунки или схематические географические карты и пояснения к ним.

График имеет пять основных элементов общей конструкции: поле, координатную сетку, графические знаки и их размещения в поле графика, масштаб и экспликация (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Основные элементы графика

Каждый из этих элементов имеет свое назначение и выполняет соответствующую роль в построении и интерпретации. Поле графика - это пространство, на котором размещаются геометрические и другие знаки, составляющие графическое изображение.

Графический образ - это совокупность различных символических знаков, с помощью которых отражаются статистические данные. Эти знаки могут изображаться в формах: линий, точек, геометрических, графических, а иногда негеометричних фигур.

Координатная сетка - это прямоугольная система координат, в которой на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат - количественные показатели по масштабу.

Масштаб - условная мера перевода числовой величины статистического явления в графическую и наоборот. Он служит для установки числовых значений явлений, выраженных на графике.

Экспликация графика - словесное объяснение его конкретного содержания, которое обычно включает:

1) заголовок с необходимыми дополнительными пояснениями;

2) точное объяснение сущности, условно предоставляется в данном графике его графическим знакам (геометрическим, изобразительным, фоновым, чисто условным)

3) другие объяснения, примечания и т.

Кроме того, на поле графика можно наносить некоторые дополнительные сведения, например числовые данные, которые сказываются у некоторых графических знаков и повторяют в цифровой форме их точные значения, выраженные графически.

Графики играют особенно важную роль в изучении сложных взаимосвязей социально-экономических явлений и процессов, выявлении тенденций, закономерностей и изменения показателей динамики, а также в текущем анализе. Основными отличиями и преимуществами графического метода по сравнению с другими является: лучшая наглядность; возможность в целом охватить данные изучаемых; возможность выражения некоторых аналитических зависимостей, которые не очень четкие и тяжелые для выявления при других способах представления данных.

С помощью графиков можно осуществлять оперативный контроль за производством, реализацией продукции, выполнением договорных обязательств и поставленных задач. Таким образом, графики назначены:

Для обобщения и анализа данных;

Изображение распределения данных;

Выявление закономерностей развития исследуемых явлений и процессов в динамике;

Отражение взаимосвязей показателей;

Осуществление контроля за производством, выполнением договоров по сбыту продукции и тому подобное.

Есть различные классификации графиков - по форме графических образов, по содержанию, характеру поставленных задач.

По форме графических образов различают следующие типы графиков:

1) точечные;

2) линейные;

3) плоскостные;

4) объемные;

5) художественные (изобразительные, условные).

В точечных графиках объем совокупности выражается или одной точкой, или накоплением точек. Одна точка может означать один случай или несколько (например, один завод, 500 работников).

Линейные графики состоят из одних линий: отрезков прямой, ломаных, ступенчатых, плавных кривых (в основном для передачи динамики совокупности). Часто отрезки прямой заменяют полосками одинаковой ширины, которые выступают также как графические знаки но одним измерением (длиной). В таких случаях графики называют столбиковой, если полоски размещены вертикально, или ленточными, когда полоски лежат горизонтально.

В свою очередь колонке графики делятся на колонке диаграммы: простые и сплошные, из групп столбиков и т.д., а ленточные - на ленточные диаграммы: простые и ступенчатые, компонентнипарни, скользящие, двусторонне направлены (например, "возрастная пирамида" состава населения).

К специальным видам линейных графиков относятся спиральные (для явлений, которые неограниченно развиваются во времени и по нарастающей величине), радиальные диаграммы (для отображения закономерностей периодически повторяющихся явлений, их ритмичности, сезонности).

Плоскостные графики - это графики двух измерений в виде плоскостей разных геометрических форм. В зависимости от этого они могут быть квадратными, круговыми, секторными. Эти графики целесообразно использовать для сравнения явлений, представленных абсолютными и относительными величинами.

Важными особенностями плоскостных графиков является двухмерный "знак Варзара", ленточная или текущая диаграмма и балансовая диаграмма.

Двухмерный "знак Варзара" (по имени его изобретателя русского статистика В.Е. Варзара) - это прямоугольник с основанием а высотой Ь и площадью Sab, который является полезным для графического выражения довольно частых подобных соотношений трех величин a, by S.

Ленточная, или текущая, диаграмма применяется для схематического выражения объема и состава грузопотоков между двумя пунктами в одном и втором направлениях.

Балансовая диаграмма - это двусторонняя ленточная диаграмма, ленты которой разветвляются в две стороны на более узкие полоски, своей шириной выражают соответствующие величины статей доходов и расходов, статей актива и пассива и тому подобное.

Объемные - трехмерные графики, которые используются редко, поскольку они менее выразительные по сравнению с линейными и плоскостными.

Художественные (изобразительные, условные) - графики с условными графическими знаками, которые отражают совокупности или ее отдельные значения в виде фигур людей, контуров животных, схематических рисунков предметов и т.

Большое значение имеет классификация графиков по их содержанию. Учитывая это графики делятся на два класса - диаграммы и статистические карты.

Диаграмма - это графическое выражение объемов и особенностей одной или нескольких совокупностей с помощью количественных графических знаков (геометрических, художественных, фоновых, чисто условных).

Однако диаграмма не дает графического представления о территориальное размещение изображаемых совокупностей или территориальную изменение их признаков. Для этого используются статистические карты, предназначенные для изображения территориального размещения совокупностей или территориальной изменения их признаков. Они делятся на два класса - картограммы и картодиаграммы.

Картограммы - контурные географические карты, на которых с помощью графических знаков представлена количественная территориальная характеристика совокупности.

Картодиаграммы - контурные географические карты, где отдельные районы (области, пункты) территории нанесены одинакового вида диаграммы (одна или несколько), изображающие объем и территориальные особенности однотипных совокупностей в этих районах. Так, например, изображаются потоки грузов, перевозимых пассажиров, население, мигрирует и тому подобное.

Диаграммы и статистические карты выполняют такие важные задачи по исследованию совокупности:

Общее их сравнения;

Изучение структуры;

Изучение динамики;

Изучение взаимосвязей их признаков;

Измерение степени выполнения хозяйственных планов, договорных обязательств в планово-экономической практике.

В свою очередь и диаграммы, и картограммы в зависимости от их назначения делятся на подклассы, группы и формы (табл. 10.27).

При построении графиков следует соблюдать следующие требования:

1) опираться на достоверные числовые данные;

2) графики должны быть значимыми по замыслу и интересными по содержанию;

3) должны быть построенными в соответствии с поставленными задачами и их практического назначения;

4) быть предельно экономными - содержать максимум сведений, идей при минимуме средств их графического выражения, простыми, четкими, понятными;

5) технически хорошо выполненными.

Рассмотрим подробнее основные виды и формы диаграмм и статистических карт, которые чаще всего используются в практике аналитической работы.

Линейная диаграмма - один из самых распространенных видов графиков, который служит для изображения динамики исследуемых явлений. Для его построения используется прямоугольная система координат. На оси абсцисс откладывают равные отрезки - периоды времени (дни, месяцы, годы и т. П.), А на оси ординат - принят масштаб, характеризующий единицы измерения. На координатном поле наносят точки, равны величине показателя на определенный период. Затем все точки соединяются прямыми линиями, в результате чего получают ломаную линию, которая характеризует изменение изучаемого явления за определенный период времени (табл. 10.28, рис. 10.4).

	Подкласс		Разновидности и графическая форма, чаще всего встречается

Диаграммы	И. Диаграммы общего сравнения совокупностей	1. однородных совокупностей	Колонке, ленточные, художественные
	И. Диаграммы общего сравнения совокупностей	2. Разнородных совокупностей	Колонке, ленточные, плоскостные
	II. Диаграммы структуры	1. Диаграммы распределения численности	Полигон, гистограмма, кумулята, огива, кривая распределения, график Лоренца, корреляционное поле
	II. Диаграммы структуры	2. Диаграммы группам	Диаграммы из столбиков, лент, разделенных на абсолютные или процентные части, секторные, балансовые диаграммы, "возрастная пирамида» и др.
	III. Диаграммы динамики	1. Диаграммы динамики объемов	Колонке, линейные, кумулятивные, спиральные, художественные диаграммы
		2. Диаграммы динамики структуры	Диаграммы из столбиков с процентным делением, по кругам с разделением на сектора и др.
		3. Диаграммы сезонных колебаний	Линейные, столбиковые, радиальные диаграммы
	IV. Диаграммы взаимосвязей признаков	1. Диаграммы конфигурации совокупности	Точечные, фоновые
		2. Диаграммы формы связи	Диаграммы с ломаных или с плавных кривых
		3. Диаграммы степени тесноты связи	Замкнутые контуры корреляционного поля в виде ступенчатых ломаных или эллипсообразных кривых и т.д.
	V. Диаграммы выполнения планов	1. Диаграммы текущего выполнения	Линейные диаграммы, графики Ганта
	V. Диаграммы выполнения планов	2. Диаграммы выполнения от начала периода	Кумуляты, кумулятивные графики Ганта, графики Лоренца
Статистические карты	VI. Картограммы	1. Картограммы размещения единиц совокупности	Точечные картограммы
		2. Картограммы размещения совокупного объема признаки	Точечные картограммы
		3. Картограммы изменения сводных признаков	Точечные, фоновые картограммы
		4. Изолинийни картограммы	Линейные картограммы
		5. Центрограмы	Точечные картограммы

Таблица 10.28. Инвестиции в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

Данные графика свидетельствуют, что объемы инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в фактических ценах росли с 2000 в 2005

Рис. 10.4. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 гг., В фактических ценах, млн грн

Планово-линейные графики строят на специально разработанной сетке, где по горизонтали откладывают единицы времени, а по вертикали размещают объекты исследования. Причем, каждый отрезок по горизонтали соответствует 100% -му выполнению планового задания. Эти отрезки делятся на 5 равных частей, каждая из которых соответствует 20% планового задания.

Степень выполнения плана на графике изображается двумя линиями: тонкой прерывистой - за единицу времени (день, декаду) и сплошной жирной - за отчетный период в целом.

Рассмотрим порядок построения планово-линейного графика на примере.

Пример. Построить линейный график выполнения планового задания бригадой рабочих из строительно-монтажных работ, используя данные табл. 10.29.

Таблица 10.29. Выполнение планового задания бригадой рабочих из строительно-монтажных работ

График выполнения планового задания бригадой строителей по строительно-монтажных работ представлен на рис. 10.5.

Тонкая непрерывный линия первого дня соответствует 90% выполнения плана и занимает четыре с половиной ячейки, а линия второго дня - 80% и занимает четыре клетки, линия третий день протянулась ровно на пять, а четвертого - на пять ячеек (100%) плюс еще дополнительный отрезок ниже, который занимает 20% и т.п.

Изображение уровня выполнения плана нарастающим итогом требует некоторых дополнительных расчетов. Так, за первый день сплошная жирная линия будет такой длины, как и тонкая непрерывный - 90% и займет четыре с половиной клетки. Далее следует сделать следующие расчеты: за два дня фактически выполнено 513 м 2 (225 + 288). Из этой суммы 250 м 2 относят в счет выполнения плана за первый день. Тогда в счет второго дня останется 263 м 2, что согласно плану в этот день составляет 91% (263 288).

Согласно жирная линия занимает пять ячеек первого дня и 91% второго. За три дня фактически было выполнено 923 м 2 (225 + 288 + 410). В счет выполнения плана первых двух дней записывается 610 м 2, а в счет третьего дня - 313 м 2, что согласно плану на этот день составляет 76% (313: 410). Жирная линия займет по 5 ячеек первого и второго дней и 76% третьему. Аналогично проводятся все дальнейшие расчеты. Степень выполнения плана за каждый день на жирной линии сказывается точками.

Колонке диаграммы - очень распространенный вид графиков в одном измерении благодаря их наглядности и простоте. Статистические данные в них изображаются в виде прямоугольников одинаковой ширины, расположенных вертикально по горизонтальной прямой (рис. 10.6).

Высота столбиков должна соответствовать величине изображенных явлений. Если же столбики размещают горизонтально, то такой график называется ленточным (рис. 10.7).

Колонке и ленточные диаграммы позволяют сравнивать величины разного значения, характеризовать одно и то же явление в динамике; характеризовать совокупность.

Секторные диаграммы (или круговые) - диаграммы, предназначенные для отображения структуры исследуемых явлений и процессов. Они изображаются в виде круга, разделенного на сектора, величины которых соответствуют размерам изображаемых явлений (рис. 10.8).

Как свидетельствуют данные графика (рис. 10.8), основным источником финансирования лизинговых операций в Украине выступают банковские кредиты (80,9%), затем - собственные средства (16,1%). Заемные средства юридических лиц составляют лишь 3,6%.

Рис. 10.6. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

Рис. 10.7. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

В современных условиях развития информационно-компьютерных систем появилась возможность строить графики с помощью пакетов компьютерных программ, в том числе электронных таблиц EXCEL, "Statistica-6" и др. Они удобны в использовании и значительно упрощают эту работу.

Рис. 10.8. Структура источников финансирования лизинговых операций в Украине на начало 2005 p.,%

Пример 6.1.

Решение:

Задача линейного программирования задана в стандартной форме и имеет два проектных параметра, следовательно

Воз-можно ее решение геометрическим методом.

1 этап: ( ОДР ).

Рассмотрим первое ограничение, заменим знак неравенства знаком равенства и выразим переменную х2 через х1 :

Аналогично определяем точки для остальных ограничений системы и строим по ним прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 1). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.

2 этап: .

Определим полуплоскости – решения каждого из неравенств.

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений задачи. Возьмем какую-либо точку (контрольную точку), не принадлежащую соответствующей данному неравенству прямой, например, точку (0; 0). Подставим ее в рассматриваемое неравенство:

При подстановке координат контрольной точки неравенство остается справедливым. Следовательно, множество точек, принадлежащих данной прямой (т.к. неравенство не строгое), а также расположенных ниже ее, будут являться решениями рассматриваемого неравенства (пометим на графике (рис. 1) найденную полуплоскость двумя стрелками направленными вниз рядом с прямой I ) .

Аналогично определяем решения других неравенств и соответственно помечаем их графике. В результате график примет следующий вид:

3 этап: .

Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) при пересечении образуют многоугольник ABCDEO , который и является ОДР рассматриваемой задачи.

Рис. 1. Область допустимых решений задачи

4 этап:
Вектор-градиент показывает направление максимизации целевой функции . Определим его координаты: координаты начальной его точки (точки приложения) – (0; 0), координаты второй точки:

Построим данный вектор на графике (рис. 2).

5 этап: .

Рассмотрим целевую функцию данной задачи:

Зададим ей какое-либо значение, к примеру, . Выразим переменную х2 через х1 :

Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:

Построим прямую соответствующую целевой функции (рис. 2).

Рис. 2. Построение целевой функции F(X) и вектора-градиента С

6 этап: определение максимума целевой функ-ции .

Перемещая прямую F (X ) параллельно са-мой себе по направлению вектора-градиента, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 3), такой точкой является точка С – точка пересечения прямых I и II .

Рис. 3. Определение точки максимума целевой функции F(X)

Определим координаты точки С, с этой целью, решим сле-дующую систему линейных уравнений:

Подставим найденные координаты в целевую функцию и найдем ее оптимальное (максимальное) значение:

Ответ: при заданных ограничениях макси-мальное значение целевой функции F (Х )=24, которое достигается в точке С, координаты которой х1 =6, х2 =4.

Пример 6.2. Решить задачу линейного про- граммирования геометрическим методом:

Решение:

Этапы 1-3 аналогичны соответствующим этапам предыдущей задачи.
4 этап: построение вектора-градиента.
Построение вектора-градиента осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче. Построим данный вектор на графике (рис. 4). Отметим также на данном графике стрелкой направление, обратное вектору-градиенту, – направление минимизации целевой функцииF (X ).

5 этап: построение прямой целевой функ-ции .

Построение прямой целевой функции F (X ) осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче (результат построения приведен на рис. 4).

Рис. 4. Построение целевой функции F(x) и вектора-градиента С

6 этап: определение оптимума целевой функ-ции .

Перемещая прямую F (x ) параллельно са-мой себе в направлении, обратном вектору-градиенту, опреде-ляем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5), та- кой точкой является точка О с координатами (0; 0).

Рис. 5. Определение точки минимума целевой функции

Подставляя координаты точки минимума в целевую функ-цию, определяем ее оптимальное (минимальное) значение, которое равно 0.
Ответ: при заданных ограничениях минимальное значение целевой функции F (Х )=0, которое достигается в точке О (0; 0).

Пример 6.3. Решить следующую задачу ли-нейного программирования геометрическим методом:

Решение:

Рассматриваемая задача линейного программирования задана в канонической форме, выделим в качестве базисных переменные x 1 и x 2 .

Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана- Гаусса базисные переменныеx 1 и x 2 .

Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со вто-рой:
.

Умножим вторую строку на :

Сложим вторую с первой строкой:

В результате система ограничений примет следующий вид:

Выразим базисные переменные через свободные:

Выразим целевую функцию также через свободные перемен-ные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:

Запишем полученную задачу линейного программирования:

Так как переменные x 1 и x 2 неотрицательные, то полученную систему ограничений можно записать в следующем виде:

Тогда исходную задачу можно записать в виде следующей эк- вивалентной ей стандартной задаче линейного программирования:

Данная задача имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим мето-дом.

1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений ( ОДР ).

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного програм-мирования (для удобства пронумеруем неравенства):

Построим прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 6). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схе-ме.

2 этап: определение решения каждого из нера-венств системы ограничений .

С помощью контрольных точек определим полуплоскости – решения каждого из неравенств, и пометим их на графике (рис. 6) с помощью стрелок.

3 этап: определение ОДР задачи линейного про- граммирования .

Найденные полуплоскости (т.е. решения каждого из неравенств системы ограничений) не имеют общего пересечения (так решения неравенства I противоречат в целом остальным неравенствам системы ограничений), следовательно, система ограничений не совместна и задача линейного программирования в силу этого не имеет решения.

Рис. 6. Фрагмент MathCAD-документа:

построение области допустимых решений задачи

Ответ: рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

Если после подстановки координат контрольной точки в неравенство его смысл нарушается, то решением данного неравенства является полуплоскость не содержащая данную точку (т.е. расположенная по другую сторону прямой).

Направление, обратное вектору-градиенту, соответствует направлению минимизации целевой функции.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда в ЗЛП включены ровно две переменные:

Каждое из неравенств (a)-(b) системы ограничений задачи (3.8) геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми , Х 1 =0 и Х 2 =0. Каждая из граничных прямых делит плоскость х 1 Ох 2 на две полуплоскости. Все решения исходного неравенства лежат в одной из образованных полуплоскостей (все точки полуплоскости) и, следовательно, при подстановке координат любой ее точки в соответствующее неравенство обращает его в верное тождество. С учетом этого и определяется та полуплоскость, в которой лежат решения неравенства, т.е. путем выбора любой точки из какой-либо полуплоскости и подстановки ее координат в соответствующее неравенство. Если неравенство выполняется для данной точки, то оно выполняется и для любой другой точки из этой же полуплоскости. В противном случае решения неравенства лежат в другой полуплоскости.

В том случае, если система неравенств (a)-(b) совместна, то область её решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то область допустимых решений задачи (3.8) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений (введённый ранее термин “многогранник решений” обычно употребляется, если n 3). Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Таким образом, исходная ЗЛП состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное (минимальное) значение.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нём целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины строят линию уровня L: c 1 x 1 +c 2 x 2 =h (где h – некоторая постоянная), перпендикулярную вектору-градиенту и проходящую через многоугольник решений, и передвигают её параллельно вдоль вектора-градиента до тех пор, пока она не пройдёт через последнюю её общую точку пересечения с многоугольником решений (при построении вектора-градиента откладывают точку (с 1 ; с 2) в плоскости х 1 Ох 2 и проводят к ней из начала координат направленный отрезок). Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Суммируя все выше изложенное, приведем алгоритм графического метода решения ЗЛП.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП

1. Построить многоугольник решений, задаваемый системой ограничений исходной ЗЛП.

2. Если построенный многоугольник решений – пустое множество, то исходная ЗЛП решений не имеет. В противном случае построить вектор-градиент и провести произвольную линию уровня L, перемещая которую при решении задачи на максимум в направлении вектора (или в обратном направлении для задачи на минимум) определить крайнюю точку многоугольника решений, где и достигается максимум (минимум) целевой функции задачи.

3. Вычислить координаты найденной оптимальной точки , решив систему уравнений двух граничных прямых, пересекающихся в ней.

4. Подстановкой найденного оптимального решения в целевую функцию задачи вычислить оптимальное ее значение, т.е.: .

При графическом построении множества допустимых решений ЗЛП (многоугольника решений) возможны следующие ситуации.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения задач линейного программирования симплексным методом путем перехода к КЗЛП и СЗЛП . При этом задача на минимум целевой функции сводятся к задаче на поиск максимума через преобразование целевой функции F*(X) = -F(X) . Также имеется возможность составить двойственную задачу .

Решение происходит в три этапа:

Переход к КЗЛП. Любая ЗЛП вида ax ≤ b , ax ≥ b , ax = b (F(X) → extr) сводится к виду ax = b , F(X) → max ;
Переход к СЗЛП. КЗЛП вида ax = b сводится к виду ax ≤ b , F(X) → max ;
Решение симплексным методом;

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .

Переход от задачи минимизации целевой функции к задаче максимизации

Задача минимизации целевой функции F(X) легко может быть сведена к задаче максимизации функции F*(X) при тех же ограничениях путем введения функции: F*(X) = -F(X) . Обе задачи имеют одно и то же решение X*, и при этом min(F(X)) = -max(F*(X)) .
Проиллюстрируем этот факт графически:

F(x) → min

F(x) → max

Для оптимизации функции цели используем следующие понятия и методы.
Опорный план – план с определёнными через свободные базисными переменными.
Базисный план – опорный план с нулевыми базисными переменными.
Оптимальный план – базисный план, удовлетворяющий оптимальной функции цели (ФЦ).

Ведущий (разрешающий) элемент – коэффициент свободной неизвестной, которая становится базисной, а сам коэффициент преобразуется в единицу.
Направляющая строка – строка ведущего элемента, в которой расположена с единичным коэффициентом базисная неизвестная, исключаемая при преобразовании (строка с минимальным предельным коэффициентом, см. далее).
Направляющий столбец – столбец ведущего элемента, свободная неизвестная которого переводится в базисную (столбец с максимальной выгодой, см. далее).

Переменные x 1 , …, x m , входящие с единичными коэффициентами только в одно уравнение системы, с нулевыми - в остальные, называются базисными или зависимыми . В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. Переход осуществляется с помощью метода Гаусса-Жордана . Основная идея этого метода состоит в сведении системы m уравнений с n неизвестными к каноническому виду при помощи элементарных операций над строками.
Остальные n-m переменных (x m +1 ,…, x n) называются небазисными или независимыми переменными .

Базисное решение называется допустимым базисным решением , если значения входящих в него базисных переменных x j ≥0, что эквивалентно условию неотрицательности b j ≥0.
Допустимое базисное решение является угловой точкой допустимого множества S задачи линейного программирования и называется иногда опорным планом .
Если среди неотрицательных чисел b j есть равные нулю, то допустимое базисное решение называется вырожденным (вырожденной угловой точкой) и соответствующая задача линейного программирования называется вырожденной .

Пример №1 . Свести задачу линейного программирования к стандартной ЗЛП.
F(X) = x 1 + 2x 2 - 2x 3 → min при ограничениях:
4x 1 + 3x 2 - x 3 ≤10
- 2x 2 + 5x 3 ≥3
x 1 + 2x 3 =9
Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:
1. Поменять знак у целевой функции. Сведем задачу F(X) → min к задаче F(X) → max. Для этого умножаем F(X) на (-1). В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 ; во втором неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x 5 со знаком минус.
4x 1 + 3x 2 -1x 3 + 1x 4 + 0x 5 = 10
0x 1 -2x 2 + 5x 3 + 0x 4 -1x 5 = 3
1x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 9
F(X) = - x 1 - 2x 2 + 2x 3
Переход к СЗЛП .
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

4	3	-1	1	0	10
0	-2	5	0	-1	3
1	0	2	0	0	9

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x 4 .
2. В качестве базовой переменной выбираем x 2 .
Разрешающий элемент РЭ=-2. Строка, соответствующая переменной x 2 , получена в результате деления всех элементов строки x 2 на разрешающий элемент РЭ=-2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x 2 записываем нули. Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

4-(0 3):-2	3-(-2 3):-2	-1-(5 3):-2	1-(0 3):-2	0-(-1 3):-2	10-(3 3):-2
0: -2	-2: -2	5: -2	0: -2	-1: -2	3: -2
1-(0 0):-2	0-(-2 0):-2	2-(5 0):-2	0-(0 0):-2	0-(-1 0):-2	9-(3 0):-2

Получаем новую матрицу:

4	0	6 1 / 2	1	-1 1 / 2	14 1 / 2
0	1	-2 1 / 2	0	1 / 2	-1 1 / 2
1	0	2	0	0	9

3. В качестве базовой переменной выбираем x 3 .
Разрешающий элемент РЭ=2. Строка, соответствующая переменной x 3 , получена в результате деления всех элементов строки x 3 на разрешающий элемент РЭ=2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x 3 записываем нули. Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

4-(1 6 1 / 2):2	0-(0 6 1 / 2):2	6 1 / 2 -(2 6 1 / 2):2	1-(0 6 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(0 6 1 / 2):2	14 1 / 2 -(9 6 1 / 2):2
0-(1 -2 1 / 2):2	1-(0 -2 1 / 2):2	-2 1 / 2 -(2 -2 1 / 2):2	0-(0 -2 1 / 2):2	1 / 2 -(0 -2 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(9 -2 1 / 2):2
1: 2	0: 2	2: 2	0: 2	0: 2	9: 2

Получаем новую матрицу:

3 / 4	0	0	1	-1 1 / 2	-14 3 / 4
1 1 / 4	1	0	0	1 / 2	9 3 / 4
1 / 2	0	1	0	0	4 1 / 2

Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,2,3).
Соответствующие уравнения имеют вид:
3 / 4 x 1 + x 4 - 1 1 / 2 x 5 = -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + x 2 + 1 / 2 x 5 = 9 3 / 4
1 / 2 x 1 + x 3 = 4 1 / 2
Выразим базисные переменные через остальные:
x 4 = - 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4
x 2 = - 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4
x 3 = - 1 / 2 x 1 +4 1 / 2
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = - x 1 - 2(- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4) + 2(- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2)
или

Система неравенств:
- 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4 ≥ 0
- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4 ≥ 0
- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 5 ≤ -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + 1 / 2 x 5 ≤ 9 3 / 4
1 / 2 x 1 ≤ 4 1 / 2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 5 -10 1 / 2 → max
Упростим систему.
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 2 ≤ -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + 1 / 2 x 2 ≤ 9 3 / 4
1 / 2 x 1 ≤ 4 1 / 2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 2 -10 1 / 2 → max

Пример №2 . Найдите сначала графическим методом, а затем симплекс-методом решение задачи
F(X) = x 1 + x 2 - x 3 + x 5 +15 → max (min) при ограничениях:
-3x 1 + x 2 + x 3 =3
4x 1 + 2x 2 - x 4 =12
2x 1 - x 2 + x 5 =2
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0

Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:

Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а п х, + + a j2 х 2 = b n i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х { = 0, х 2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.

Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.

Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х { + Зх 2 12.

Во-первых, построим прямую 2х, + Зх 2 = 12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Во-вторых, определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х { = х 2 = 0 в неравенство 2х, + Зх 2 12. Получим 2 0 + 3 0

Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи линейного программирования.

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений (ОДР) или областью определения.

Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (Xj > 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c [ x l + с 2 х 2 = f(x 0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Рис. 2.2.2.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону - только убывает.

Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:

1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х 0 (0; 0): V = (с, с 2).
3. Линия уровня CjXj + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, - передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(x v х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*, х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(x p jc 2).

Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(x р х 2) не существует.

Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x { , х 2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.

Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1

Вид ОДР	Вид оптимального решения
Ограниченная	Единственное решение
Ограниченная	Бесконечное множество решений
Неограниченная	ЦФ не ограничена снизу
	ЦФ не ограничена сверху
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений

Пример 2.2.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат; на мужской - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человекодней трудозатрат.

Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 ден. ед., а от мужского - 20 ден. ед. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Экономико-математическая модель задачи

Переменные : х, - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов.

Целевая функция :

Ограничения :

Первое ограничение (по шерсти) имеет вид х { + 3,5х 2 х { + 3,5х 2 = 350 проходит через точки (350; 0) и (0; 100). Второе ограничение (по лавсану) имеет вид 2х { + 0,5х 2 2х х + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение (по труду) имеет вид х у +х 2 150. Прямая х { + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150). Четвертое ограничение (по количеству мужских костюмов) имеет вид х 2 > 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60.

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

На рис. 2.2.3 затенена область допустимых решений (ОДР). Для определения направления движения к оптимуму построим вектор- градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10; 20) с началом координат. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору V. Так, на рис. 2.2.3 изображен вектор (30; 60).

Затем построим линию уровня 10xj + 20х 2 = а. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а , получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.