Схемотехника. Минимизация логических функций. Минимизации функций методы

для первого – X 3 X 4 ;

для второго – X 1 X 3 ;

для третьего – X 2 X 3 ;

для четвертого – X 1 X 2 X 4 ;

для пятого – X 1 X 2 X 4 ;

Минимальная ДНФ будет выглядеть так:

Сравнивая метод карт Карно с другими методами минимизации функции можно сделать вывод, что первый больше всего подходит для ручного исполнения. Время ручной работы значительно сокращается (за счет наглядного представления склеивающихся импликант). Программная реализация данного метода имеет свои сложности. Так, очень сложно будет реализовать оптимальный выбор правильных прямоугольников, особенно для большого числа аргументов.

1.3.5 Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод может быть использован для любого числа аргументов. Но так как этот метод достаточно громоздок, то применяется только в тех случаях, когда число аргументов не более 5-6.

В методе неопределенных коэффициентов используются законы универсального и нулевого множеств и законы повторения. В начале все коэффициенты неопределенны (отсюда и название метода).

Построим матрицу неопределенных коэффициентов для четырех аргументов. В этом случае мы будем иметь систему из 16-ти уравнений.

Система приведена на следующей странице.

Приравняем все коэффициенты 0 в тех строках, которым соответствует 0 в векторе столбце. Затем приравняем 0 соответствующие коэффициенты в других строках. После этих преобразований система примет следующий вид:

V = 1 VVVVVV = 1 VVV V VV = 1 V = 1 VVV = 1 VVVVVV = 1 VVV = 1 VVVVV = 1 VVV = 1

Теперь в каждой строке необходимо выбрать коэффициент минимального ранга и приравнять его единице, а остальные коэффициенты – 0. После этого вычеркиваем одинаковые строки, оставляя при этом одну из них (те строки, у которых все коэффициенты равны 0, также вычеркиваются).

= 1 = 1 = 1 = 1 = 1

Запишем теперь конъюнкции, соответствующие коэффициентам, равным единицам. Мы получим минимальную ДНФ.

F(X 1 X 2 X 3 X 4) = X 1 X 3 V X 2 X 3 V X 3 X 4 V X 1 X 2 X 4 V X 1 X 2 X 4 .

Итак, мы получили несколькими способами минимальную ДНФ, Во всех случаях она получилась одинаковой, то есть любой из описанных методов может быть использован для минимизации функции. Однако эти методы существенно отличаются друг от друга как по принципу нахождения МДНФ, так и по времени исполнения. Для ручных расчетов очень удобен метод карт Карно. Он нагляден, не требует рутинных операций, а выбрать оптимальное расположение правильных прямоугольников не составляет большого труда. В то время как машинная реализация данного метода осложняется необходимостью нахождения оптимального расположения прямоугольников. Естественно применение других методов (метод Квайна, метод Квайна-Маккласки, метод неопределенных коэффициентов) для ручных расчетов нецелесообразно. Они больше подойдут для машинной реализации, так как содержат большое число повторяющихся простых операций.

Задание 2.

2.1 Схема алгоритма для метода Квайна

1. Начало.

2. Ввести матрицу ДСНФ исходной функции.

3. Проверить на склеиваемость i-ю (i=1,m-1: где m – количество строк в ДСНФ) и j-ую (j=i+1, m) строки. Если строки склеиваются, то перейти к пункту 6, в противном случае перейти к пункту 5.

4. Формировать массив простых импликант, предварительно пометив символом ‘*’ ту переменную, по которой данные строки склеиваются.

5. Перейти к пункту 2.

6. Строку, которая не склеилась ни с одной другой строкой записать в конечный массив.

7. Перейти к пункту 2.

8. Вывод полученной матрицы.

Логическая схема алгоритма в нотации Ляпунова

V H V 1 Z 1 ­ V 2 ¯ V 3 V 4 V K

V H – начало.

V 1 – ввести матрицу ДСНФ исходной функции.

V 2 – формировать массив простых импликант, предварительно пометив символом ‘*’ ту переменную, по которой данные строки склеиваются.

V 3 – строку, которая не склеилась ни с одной другой строкой записать в конечный массив.

V 4 – вывод полученной матрицы.

Z 1 – если строки склеиваются, то перейти к пункту 3, в противном случае перейти к пункту 5.

V K – конец.

Граф-схема алгоритма.

Описание машинных процедур

Procedure Stuck(S1, S2: Diz; IndexS1, IndexS2: byte);

Данная процедура склеивает два, передаваемых ей дизъюнкта. Дизъюнкты задаются в параметрах S1, S2. Индексы IndexS1, IndexS2 определяют индексы этих дизъюнктов в главном рабочем массиве. Алгоритм работы процедуры следующий: сначала ищется количество склеивающихся символов. Если их 0, то они одинаковые, и в конечный массив записывается только один из них. Если 1, то определяется местоположение символа, по которому данные две дизъюнкции склеиваются, и заменяем этот символ на ‘*’. Все полученные результаты заносятся в массив REZ.

Все остальные функции и процедуры программы связаны с действиями над массивами, то есть не имеют непосредственного отношения к данному методу нахождения МДНФ. Поэтому нет смысла их описывать.

2.2 Схема алгоритма для метода Петрика

1. Начало.

2. Ввести матрицу ДСНФ исходной функции и простые импликанты, полученные в методе Квайна.

3. Составить таблицу меток.

4. По таблице меток построить конъюнкцию дизъюнкций, каждая из которых есть совокупность тех импликант, которые в данном столбце имеют метки.

Методы поиска минимумов функций. Поиск максимумов сводится к поиску минимумов путем изменения знака ф-ции. М. ф. м.- раздел вычислительной математики, играющий большую роль в таких приложениях, как выбор оптим. вариантов в задачах планирования, проектирования и операций исследования, управления технологическими процессами, управления движением сложных объектов и т. п. М. ф. м. применяются также для решения систем ур-ний и неравенств при отыскании спектра операторов, при решении краевых задач и т. п.

Наиболее изучены М. ф. м- применительно к ф-циям, определенным во всем -мерном евклидовом простр. Рассмотрим их, не касаясь дискретных и дискретно-непрерывных задач минимизации, а также задач минимизации при наличии ограничений. Последние во многих случаях можно свести к задаче безусловной минимизации (напр., с использованием штрафных ф-ций). Не будем рассматривать методы нахождения минимума, основанные на непосредственном использовании необходимых условий экстремума, т. к. решение получаемых при этом систем нелинейных ур-ний можно рассматривать как задачу минимизации суммы квадратов невязок (или максимума модуля невязок). Возможность применения и сравнительная эффективность различных М. ф. м. во многом определяется классом ф-ций, к которому они применяются. Большинство М. ф. м. дают возможность находить локальный минимум, и лишь априорная информация о свойствах ф-ции (выпуклость, унимодальность) позволяет считать этот минимум глобальным. Методы, гарантирующие поиск глобального минимума с заданной точностью для достаточно общих классов ф-ций, являются весьма трудоемкими. На

практике для нахождения глобального минимума в основном используется сочетание Монте-Карло метода и одного из методов локальной минимизации.

Широкий класс М. ф. м. описывают следующей вычислительной схемой. Пусть минимизируемая ф-ция, определенная в произвольно выбранная начальная точка. Допустим, что имеет непрерывные частные производные до порядка включительно будем рассматривать как производную нулевого порядка). Для получения последовательных приближений к локальному минимуму строится последовательность точек по ф-лам следующего вида:

где обозначает вектор частных производных порядка вычислимые ф-ции своих аргументов. Порядок высших частных производных, вычисляемых для реализации ф-лы (1), наз. порядком метода. Осн. группа применяемых на практике методов имеет ту особенность, что информация, необходимая для вычисления очередного значения выражается через ограниченное к-во параметров, вычисляемых на данном шаге и предыдущих шагах процесса. Метод называют -ступенчатым, если схема алгоритма имеет, начиная с некоторого следующую структуру: на шаге вычисляем параметры где - некоторое натуральное число, и вектор по ф-лам следующего вида:

(начальные параметры вычисляются с помощью спец. процедур). В широко распространенных методах спуска оператор конкретизируется в следующей форме:

где вещественное число, которое наз. шаговым множителем, вектор определяет направление спуска. Среди методов спуска выделяются методы монотонного спуска или релаксационные методы. Метод релаксационным, если при к Бели непрерывно дифференцируема, то релаксационность метода (3) обеспечивается, когда направление спуска образует острый угол с направлением градиента и достаточно мал. Обшая теория релаксационных процессов развита наиболее полно для случая выпуклых ф-ций. В качестве осн. параметров, характеризующих процесс, рассматриваются углы релаксации между и направлением градиента), а также множители релаксации определяемые равенством

где градиент ф-ции (для квадратичного функционала при наискорейшем спуске). Обозначим через приведенный коэфф. релаксации. Необходимое и достаточное условие сходимости релаксационного процесса для сильно выпуклой ф-ции :

Среди релаксационных методов наиболее известны градиентные методы. Рассмотрим более подробно одноступенчатые методы градиентного типа. Общая схема их следующая:

В рамках этой схемы можно выделить такие модификации:

а) градиентный спуск с постоянным шагом: единичная матрица;

б) наискорейший градиентный спуск: , где определяется из условия минимума

в) метод Ньютона-Рафсона: , где - гессиан в точке

г) промежуточные схемы: . К числу наиболее распространенных двухступенчатых градиентных методов можно отнести методы сопряженных градиентов; примером двухступенчатой схемы является метод сопряженных градиентов Флетчера - Ривза:

Методы a) и б) при достаточно общих условиях (первый - при достаточно малом а) сходятся к локальному минимуму со скоростью геом. прогрессии. Метод в) при достаточно общих условиях сходится из достаточно малой окрестности минимума с квадратичной скоростью. Промежуточная схема г) более гибкая и позволяет при определенной регулировке последовательностей также получить квадратическую скорость сходимости при более слабых требованиях на начальное приближение.

Недостатком методов в), г) является необходимость вычисления гессиана. От этого недостатка избавлены методы сопряженных градиентов и так называемые алгоритмы с изменяемой метрикой, обладающие свойствами ускоренной сходимости для достаточно гладких ф-ций в окрестности минимума. Схемы алгоритмов с изменяемой метрикой по своему характеру являются комбинацией схемы сопряженных градиентов и метода Ньютона - Рафсона. Одновременно с движением по схеме типа сопряженных градиентов происходит итеративная аппроксимация матрицы, обратной гессиану в точке минимума. После каждых п шагов процесса происходит шаг по методу Ньютона-Рафсона, где вместо выступает ее аппроксимация.

Если градиент разрывен, перечисленные выше методы не применимы. Поэтому большое значение имеют методы минимизации выпуклых (не обязательно дифференцируемых) ф-ций; эти методы можно условно разбить на 2 группы: 1) методы градиентного типа и 2) методы «секущих плоскостей». К 1-й группе относятся различные модификации обобщенных градиентов метода, а также схемы с ускоренной сходимостью, основанные на растяжении простр. в направлении градиента или разности двух последовательных градиентов. К методам 2-й группы относится, напр., метод Келли. Пусть ЗП - выпуклое (ограниченное) мн-во, на котором определена последовательность точек, в которых вычисляется обобщенный градиент . Тогда находится как решение задачи: найти

Метод Келли сходится по функционалу при любом начальном . Из распространенных методов минимизации следует отметить, в частности, метод оврагов для минимизации ф-ций с сильно вытянутыми гиперповерхностями уровня; методы покоординатного поискас изменяемой системой координат; методы случайного поиска; комбинированные методы быстрого спуска и случайного поиска, когда направление убывания ф-ции находится методом Монте-Карло; методы дифференциального спуска, стохастической аппроксимации методы и др. В задачах оптим. регулирования большое значение имеют методы поиска нулевого порядка. В основе алгоритмов минимизации для этого случая обычно лежит идея линейной или квадратичной аппроксимации минимизируемой ф-ции или разностной аппроксимации соответствующих частных производных. Для поиска экстремума глобального предложен ряд методов. Осн. из них: метод Монте-Карло, комбинация метода Монте-Карло определения начальной точки с одним из алгоритмов локального поиска, методы, основанные на построении нижней огибающей данной ф-ции, методы последовательного отсечения подмн-в, методы построения траекторий, всюду плотно покрывающих область определения ф-ции, и минимизации вдоль этих траекторий.

Для решения спец. классов многоэкстремальных задач используются методы программирования динамического.

В наст, время создаются оптим. алгоритмы минимизации ф-ций разных классов. Пусть класс ф-ций, определенных в кубе , и имеющих в частные производные до s-го порядка, удовлетворяющие условию Липшица с константой L. Любой алгоритм минимизации из , использующий информацию о значениях f и ее производных до порядка включительно не более чем в N точках эквивалентен (в смысле результата) некоторому алгоритму А получения последовательности итераций (1) для и аппроксимации искомого значения при помощи итоговой операции

где - некоторая вычислимая ф-ция. Введем следующие обозначения:

Алгоритм, для которого достигается оптимальным. Условия означают соответственно асимптотическую оптимальность и оптимальность по порядку алгоритма Можно показать, что

причем выбор , влияет лишь на константу в указанной оценке. В частном случае и имеем:

где миним. сеть в .

Другой подход к построению оптим. алгоритмов минимизации связан с обобщением идей последовательных статистических решений. Алгоритм минимизации рассматривается как управляемая последовательность опытов, каждый из которых дает тот или иной исход. На совокупности исходов определяется априорная вероятностная мера. После получения конкретного исхода очередного опыта происходит перераспределение вероятностей по ф-ле Байеса и выбирается следующий опыт или принимается окончательное решение. Алгоритмы отличаются друг от друга правилом, по которому выбирается следующий опыт, правилами остановки и выбора окончательного решения. Качество решения определяется ф-цией потерь, которая усредняется в соответствии с полученным на данном этапе вероятностным распределением. В этих терминах ставится задача выбора оптим. алгоритма как построения последовательного байесовского правила поиска решений. Такая постановка интересна тем, что в ее рамках можно учитывать статистические свойства класса решаемых задач, сопоставлять «средние» потери, связанныз с погрешностью решения, с затратами, связанными с уточнением решения. Лит.: Любич Ю. И., Майстровский Г. Д. Общая теория релаксационных процессов для выпуклых функционалов. «Успехи математических наук», 1970, т. 25, в. 1; Михалевич В. С. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. «Кибернетика», 1965, N5 1-2; Иванов В. В. Об оптимальных алгоритмах минимизации функций некоторых классов. «Кибернетика», 1972, № 4; Уайлд Д. Дк. Методы поиска экстремума. Пер. с англ. М., 1967.

В. В. Иванов, В. С. Михалевич, Н. 3. Шор.

При проектировании цифровых автоматов широко используются методы минимизации булевых функций, позволяющие получать экономичные схемы. Общая задача минимизации булевых функций может быть сформулирована следующим образом: найти аналитическое выражение заданной булевой функции в форме, содержащей минимально возможное число букв.

В основе методов минимизации лежит операция склеивания (алгоритм объединения соседний двоичных чисел):

где А - элементарная конъюнкция.

В выражении слагаемые являются соседними двоичными числами, которые отличаются друг от друга только одним разрядом. При выполнении операции склеивания над двумя соседними числами из набора исключается одна переменная, которая отличает одно число от другого, над четырьмя попарно соседними числами - две переменные, над восемью - три переменные и т.д.

Минимальной дизъюнктивной нормальной формой (МДНФ) булевой функции называется ДНФ, содержащая наименьшее число букв (по отношению ко всем другим ДНФ, представляющим заданную булеву функцию).

Минимизировать функции, то есть находить наиболее простое выражение для исходной функции можно различными методами. Все они практически различаются лишь на первом этапе - этапе получения сокращенной ДНФ. Следует отметить, что, к сожалению, поиск МДНФ всегда связан с некоторым перебором решений. Рассмотрим некоторые из них.

Минимизация сложных логических выражений с помощью матрицы Карно

Дли реализации алгоритма объединения необходимо из всей совокупности обязательных конституентов в совершенной дизъюнктивной нормальной форме функции алгебры логики отыскать соседние. Для отыскания соседних конституентов используются матрицы Карно, решетка соседних чисел, таблицы соседних конституентов.

Матрицы Карно целесообразно использовать для минимизации ФАЛ на наборах из 2,3,4,5 и 6 переменных. Номера столбцов в матрицах Карно образуют младшие разряды, а номера строк - старшие разряды наборов. Номера клеток составляются из номеров строк и столбцов и соответствуют наборам переменных.

Рассмотрим матрицу Карно для функции алгебры логики на наборах из 4-х переменных (табл. 1).

Таблица 1. Матрица Карно

Столбцы и строки в этой матрице обозначены двоичными соседними числами: 00-0I-II-I0. Поэтому номера смежных по горизонтали и вертикали клеток, а также крайних в строках и столбцах клеток являются соседними числами, например:

клетки с номерами и;

клетки с номерами;

клетки с номерами;

клетки с номерами.

Для минимизации функции алгебры логики, заданной в совершенной дизъюнктивной нормальной форме, с помощью матрицы Карно необходимо: подготовить матрицу Карно, вписав в клетки, соответствующие обязательным конституентам, единицы, объединить клетки с единицами в «подкубы», записать минимизированную функции алгебры логики в дизъюнктивной нормальной форме.

В «подкубы» объединяются:

• - две клетки с номерами, являющимися соседними числами, при этом исключается одна переменная;
• - четыре клетки (строка, столбец, квадрат, угловые клетки), при этом исключается две переменные;
• - восемь клеток (две соседних или крайних строки (столбца)), при этом исключается три переменные.

Для обеспечения исключения возможно большего количества переменных размеры «подкубов» должны быть как можно больше, а число их как можно меньше. С этой целью можно одну и ту же клетку с единицей использовать несколько раз, включая в различные «подкубы». Число слагаемых в минимизированной функции алгебры логики равно числу подкубов и клеток с единицами, не объединенных в подкубы.

Пусть необходимо минимизировать следующую функцию алгебры логики:

Матрица Карно, заполненная в соответствии с этой формулой, может быть представлена в виде таблицы 2:

Таблица 2. Матрица Карно

В этой матрице можно выделить два двухклеточных подкуба. В результате минимизации будет получена следующая функция алгебры логики:

Метод Квайна

Для получения минимальной формы логической функции необходимо в совершенной дизъюнктивной нормальной форме функции (СДНФ) произвести все возможные склеивания и поглощения так, что в результате будет получена сокращенная дизъюнктивная нормальная форма функции. (ДНФ).Сокращенная ДНФ в общем случае может содержать лишние простые импликанты, которые необходимо выявить на втором этапе минимизации.

На первом этапе выполняется переход от функции, заданной в форме ДНФ, к сокращенной ДНФ. Суть метода заключается в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений, что приводит к сокращенной ДНФ. Метод применим к совершенной ДНФ. Из соотношения поглощения следует, что произвольное элементарное произведение поглощается любой его частью. Для доказательства достаточно показать, что произвольная простая импликанта р = xi1 xi2 ... xin может быть получена. В самом деле, применяя к р операцию развертывания (обратную операции склеивания):

по всем недостающим переменным x ik , ..., xim исходной функции f, получаем совокупность S конституент единицы. При склеивании всех конституент из S получим импликанту р. Последнее очевидно, поскольку операция склеивания обратна операции развертывания. Множество S конституент обязательно присутствует в совершенной ДНФ функции f поскольку р - ее импликанта.

В результате выполнения склеивания получается конъюнкция n-1 ранга, а конъюнкции остаются в исходном выражении и участвуют в сравнении с другими членами СДНФ. Таким образом, удается снизить ранг термов.

Склеивание и поглощение выполняются до тех пор, пока имеются члены, не участвовавшие в попарном сравнении. Термы, подвергшиеся операции склеивания, отмечаются. Неотмеченные термы представляют собой простые импликанты и включаются в сокращенную ДНФ. Все отмеченные конъюнкции ранга n-1 подвергаются вновь операции склеивания до получения термов n-2 ранга и так далее до тех пор, пока количество неотмеченных конъюнкций больше 2. В результате выполнения первого этапа получена сокращенная ДНФ.

Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным. На втором этапе переходят от сокращенной ДНФ к тупиковым ДНФ и среди них выбирают МДНФ.

Для формирования тупиковых ДНФ строится импликантная таблица (матрица), строки которой отмечаются простыми импликантами сокращенной ДНФ, а столбцы конститутиентами единицы исходной СДНФ. В строке напротив каждой простой импликанты ставится метка под теми наборами (конститутиентами единицы), на которых она принимает значение 1. Соответствующие конститутиенты поглощаются (покрываются) данной простой импликантой.

Из общего числа простых импликант необходимо отобрать их минимальное число, исключив лишние. Формирование тупиковых форм и выбор минимального покрытия начинается с выявления обязательных простых импликант, то есть таких, которые (и только они) покрывают некоторый исходный набор. Рассмотрим на примере минимизации логической функции:

f СДНФ = V (1,2,5,6,7)=x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3

1 2 3 4 5

Выполним операцию склеивания:

• 1 - 3 (x1 ) x2 x3 1
• 2 - 4 (x1 ) x2 x3 2
• 3 - 5 (x2 ) x1 x3 3
• 4 - 5 (x3 ) x1 x2 4

В результате выполнения первого шага склеивания получаем четыре новые конъюнкции, простых импликант не выявлено. Полученные конъюнкции более не склеиваются и образуют сокращенную ДНФ.

f сокр СДНФ =x2 x3 + x2 x3 + x1 x3 + x1 x2

Для выявления обязательных простых импликант и фрормирования на их основе минимального покрытия строится импликантная таблица (таблица 3). В строках импликантгой таблицы записываются простые импликанты, а в столбцах конституэнты единицы. Звездочка ставится если простая импликанта покрывает контитуэнту.

Таблица 3. Импликантная таблица

	x 1 x2 x3	X 1 x2 x3	x 1 x2 x3	x 1 x2 x3	x 1 x2 x3

Простые импликанты являются обязательными так как только они покрывают конституэнтыи включаются в минимальное покрытие. Остается одна непокрытая конституэнта x1 x2 x3 которая может быть покрыта одной из двух оставшихся простых импликант. Это приводит к получению двух тупиковых форм.

Метод Блейка - Порецкого

Метод позволяет получать сокращенную ДНФ булевой функции f из ее произвольной ДНФ. Базируется на применении формулы обобщенного склеивания:

справедливость которой легко доказать. Действительно,

Следовательно,

В основу метода положено следующее утверждение: если в произвольной ДНФ булевой функции f произвести все возможные oбобщенные склеивания, а затем выполнить все поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ функции f.

Рассмотрим пример. Пусть булева функция f задана произвольной ДНФ.

Необходимо используя метод Блейка - Порецкого получить сокращенную ДНФ функции f. Проводим обобщенные склеивания. Легко видеть, что первый и второй элемент исходной ДНФ допускают обобщенное склеивание по переменной х 1 . В результате склеивания получим:

Первый и третий элемент исходной ДНФ допускают обобщенное склеивание как по переменной х 1 , так и по х2 . После склеивания по x1 имеем:

После склеивания по x 2 имеем:

Второй и третий элемент ДНФ допускают обобщенное склеивание по переменной х 2 . После склеивания получаем:

Выполнив последнее обобщенное склеивание, приходим к ДНФ:

После выполнения поглощений получаем:

Попытки дальнейшего применения операции обобщенного склеивания и поглощения не дают результата. Следовательно, получена сокращенная ДНФ функции f. Далее задача поиска минимальной ДНФ решается с помощью импликантной матрицы точно так же, как в методе Квайна.

Минимизация не полностью определенных ФАЛ

Если при синтезе логической схемы, реализующей некоторую ФАЛ n переменных, окажется, что некоторые наборы из общего числа 2n никогда не смогут появиться на входах схемы, то данная логическая функция не определена на этих наборах. Тогда 2n наборов переменных можно подразделить на три группы: наборы, на которых функция принимает единичное значение L, нулевое значение D и группа наборов, на которых функция не определена N (неопределенные наборы). ФАЛ, содержащая неопределенные наборы, называется неполностью или частично определенной. Неопределенные наборы могут быть использованы для улучшения качества минимизации. При этом неопределенные наборы (при минимизации, например, картами Вейча, Карно) могут участвовать в образовании контуров как с единичными, так и с нулевыми наборами. Это приводит к формированию более простой минимизированной логической функции.

Универсальным методом минимизации является использование законов и соотношений алгебры логики, которые позволяют проводить минимизацию ФАЛ при любом числе переменных.

Метод применим для функций от любого числа переменных, но мы рассмотрим его для функций от 3-х переменных.

Представим в виде ДНФ с неопределенными коэффициентамиk:

(**)

В этой ДНФ представлены все возможные элементарные коньюнкции, которые могут входить в функцию, а коэффициенты kмогут принимать значения 0 или 1. Значения коэффициентов нужно выбрать так, чтобы данная ДНФ была минимальной.

Будем рассматривать данную нам функцию на всех наборах и приравнивать выражение (**) на каждом из наборов (отбрасывая нулевые конъюнкции) соответствующему значению функции. Получим систему изуравнений вида:

Если в каком-то из этих уравнений правая часть равна 0, то все слагаемые левой части тоже равны 0. Эти коэффициенты можно исключить из всех уравнений, правые части которых равны 1. В этих уравнениях значение 1 следует присвоить тому коэффициенту, который соответствует коньюнкции наименьшего ранга. Эти коэффициенты и определят МДНФ.

Пример

Составляем систему, используя выражение (**).

После исключения нулевых слагаемых получаем

Полагаем остальные коэффициенты считаем нулевыми. Получаем МДНФ:

2.2. Метод Квайна - Мак - Класки

Рассмотренный метод неопределенных коэффициентов эффективен, если число аргументов функции не больше, чем 5 – 6. Это связано с тем, что число уравнений равно 2 n . Более эффективным является выписывание не всех возможных конъюнкций для функции, а только тех, которые могут присутствовать в ДНФ данной функции. На этом основан метод Квайна. При этом предполагается, что функция задана в виде СДНФ. В данном методе элементарные конъюнкции рангаn, входящие в ДНф, называются минитермами рангаn. Метод Квайна состоит из последовательного выполнения следующих этапов.

1. Нахождение первичных импликант

Просматриваем последовательно каждый минитерм функции и производим склеивание его со всеми минитермами, с которыми это возможно. В результате склеивания минитермов n-го ранга, мы получим минитермы (n-1)-га ранга. Минитермыn-го ранга, которые участвовали в операции склеивания, помечаем. Затем рассматриваем минитермы (n-1)-го ранга и операцию склеивания применяем к ним. Помечаем склеивающиеся минитермы (n-1)-го ранга и записываем получившиеся в результате склеивания минитермы (n-2)-го ранга и т. д. Этап заканчивается, если вновь полученные минитермыl -го ранга уже не склеиваются между собой. Все неотмеченные минитермы называются первичными импликантами. Их дизъюнкция представляет собой Сокр. ДНФ функции.

Склеиваем минитермы 4-го ранга и помечаем склеивающиеся минитермы звездочками

Образуем минитермы 2-го ранга:

Первичными (простыми) импликантами являются:

2. Расстановка меток

Для данной функции Сокр. ДНФ имеет вид:

Для построения тупиковых ДНФ и Сокр. ДНФ нужно выбросить лишние интервалы. Строим таблицу, строки которой соответствуют первичным импликантам, а столбцы – минитермам СДНФ. Если в некоторый из минитерм входит какой-то из импликант, то на пересечении соответствующей строки и столбца ставится метка, например, 1.

Продолжение примера

3. Нахождение существенных импликант

Если в каком-либо столбце содержится только одна единица, то первичная импликанта, определяющая эту строку, называется существенной. Например, существенной импликантой является . Существенная импликанта не может быть удалена из Сокр. ДНФ, т. к. только она способна покрыть некоторые минитермы СДНФ. Поэтому из таблицы исключаем строки, соответствующие этим импликантам, и столбцы, имеющие единицы в этих строках.

В рассматриваемом примере исключаем строку и столбцы.

В результате получаем таблицу

4. Вычеркивание лишних столбцов и строк

Если в полученной таблице есть одинаковые столбцы, то вычеркиваем все, кроме одного. Если после этого в таблице появятся пустые строки, то их вычеркиваем.

5. Выбор минимального покрытия максимальными интервалами

В полученной таблице выбираем такую совокупность строк, которая содержит единицы во всех столбцах. При нескольких возможных вариантах такого выбора, предпочтение отдается варианту с минимальным числом букв в строках, образующих покрытие.

Продолжение примера

Минимальное покрытие таблицы образуют строки, соответствующие импликантам . Тогда МДНФ имеет вид:

В методе Квайна есть одно существенное неудобство, связанное с необходимостью полного по парного сравнивания минитермов на этапе построения Сокр. ДНФ. В 1956 г. Мак - Класки предположил модернизацию первого этапа метода Квайна, дающую существенное уменьшение количества сравнений минитермов.

Идея метода Мак - Класки заключается в следующем. Все минитермы записываются в виде двоичных номеров, например, как 1010. Эти номера разбиваются на группы по числу единиц в номере, т. е. вi-ю группу попадают номера, имеющие в своей записиiединиц. По парное сравнение производится только между соседними по номеру группами, т. к. минитермы, пригодные для склеивания, отличаются друг от друга только в одном разряде. При образовании минитермов с ранга выше нулевого, в разряды, соответствующие исключенным переменным, ставится тире.

Пример

Найдем МДНФ для функции:

Минитермы 4-го ранга по группам

Минитермы 3-го ранга

Минитермы 2-го ранга

Непомеченные минитермы или простые импликанты

Строим таблицу меток

Обе первичные импликанты существенны и определяют минимальное покрытие, т. е. МДНФ имеет вид.

Все логические функции задаются либо в виде формулы, либо в виде таблицы значений. Иногда бывает нужно определить простейшую форму записи этой функции с минимальным количеством элементарных логических функций И, ИЛИ, НЕ для удобства работы. Для этого используются все рассмотренные операции начиная с №4 и методы Квайна и Вейча.

Метод Квайна позволяет найти простейшую нормальную дизъюнктивную форму логического выражения, т.е. записать логическое выражение в виде дизъюнкции или конъюнкции, при этом знак инверсии может стоять только над одним аргументом или не стоять вообще. Алгоритм дается в специальной литературе.

Метод Вейча (карты Карно)

В этом методе для изображения функции n переменных рисуется специальная таблица, которая содержит 2 n клеток. В каждой клетке ставится соответствие одному из наборов n переменных. В клетке записывается значение, принимаемое функцией при этом наборе аргументов. Все клетки, соответствующие наборам содержащие некоторую переменную без знака инверсии образуют область из 2 n -1 клеток. Эта область называется областью данной переменной (например, область переменной х). Остальные клетки образуют область этой инверсной переменной. Возможные наборы аргументов распределены по клеткам таким образом, чтобы границы областей всех переменных и их инверсии были четки, а принадлежность любой клетки к той или иной область зрительно легко выявлялась.

1) Функция одной переменной:

2) Функция двух переменных:

3) Диаграмма для дизъюнкции:

4) Диаграмма для конъюнкции:

5) Для трех аргументов:

6) Для четырех аргументов:

Можно минимизировать заданное логическое выражение, объединив в группы стоящие рядом единицы и при этом исключать ту переменную, которая переходит из прямого в инверсное состояние. Объединять можно не только по вертикали и горизонтали, но и по краям, так как в общем случае карта Карно образует тор. Пример:

б)