Иллюстрированный самоучитель по MatLab. Одномерные массивы MATLAB Вычисление числа размерностей массива

Язык технических вычислений

Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.

MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.

Начало работы

Изучите основы MATLAB

Основы языка

Синтаксис, индексация и обработка массива, типы данных, операторы

Импорт и анализ данных

Импорт и экспорт данных, в том числе и больших файлов; предварительная обработка данных, визуализация и исследования

Математика

Линейная алгебра, дифференцирование и интегрирование, преобразования Фурье и прочая математика

Графика

2D и 3D графики, изображения, анимация

Программирование

Скрипты, функции и классы

Создание приложений

Разработка приложений с помощью App Designer, программируемого рабочего процесса или GUIDE

Инструменты разработки программного обеспечения

Отладка и тестирование, организация крупных проектов, интеграция с системой контроля версий, упаковка тулбоксов

Выше были рассмотрены операции с простыми переменными. Однако с их помощью сложно описывать сложные данные, такие как случайный сигнал, поступающий на вход фильтра или хранить кадр изображения и т.п. Поэтому в языках высокого уровня предусмотрена возможность хранить значения в виде массивов. В MatLab эту роль выполняют векторы и матрицы.

Ниже показан пример задания вектора с именем a, и содержащий значения 1, 2, 3, 4:

a = ; % вектор-строка

Для доступа к тому или иному элементу вектора используется следующая конструкция языка:

disp(a(1)); % отображение значения 1-го элемента вектора
disp(a(2)); % отображение значения 2-го элемента вектора
disp(a(3)); % отображение значения 3-го элемента вектора
disp(a(4)); % отображение значения 4-го элемента вектора

т.е. нужно указать имя вектора и в круглых скобках написать номер индекса элемента, с которым предполагается работать. Например, для изменения значения 2-го элемента массива на 10 достаточно записать

a(2) = 10; % изменение значения 2-го элемента на 10

Часто возникает необходимость определения общего числа элементов в векторе, т.е. определения его размера. Это можно сделать, воспользовавшись функцией length() следующим образом:

N = length(a); % (N=4) число элементов массива а

Если требуется задать вектор-столбец, то это можно сделать так

a = ; % вектор-столбец

b = ’; % вектор-столбец

при этом доступ к элементам векторов осуществляется также как и для векторов-строк.

Следует отметить, что векторы можно составлять не только из отдельных чисел или переменных, но и из векторов. Например, следующий фрагмент программы показывает, как можно создавать один вектор на основе другого:

a = ; % начальный вектор a =
b = ; % второй вектор b =

Здесь вектор b состоит из шести элементов и создан на основе вектора а. Используя этот прием, можно осуществлять увеличение размера векторов в процессе работы программы:

a = ; % увеличение вектора а на один элемент

Недостатком описанного способа задания (инициализации) векторов является сложность определения векторов больших размеров, состоящих, например, из 100 или 1000 элементов. Чтобы решить данную задачу, в MatLab существуют функции инициализации векторов нулями, единицами или случайными значениями:

a1 = zeros(1, 100); % вектор-строка, 100 элементов с
% нулевыми значениями
a2 = zeros(100, 1); % вектор-столбец, 100 элементов с
% нулевыми значениями
a3 = ones(1, 1000); % вектор-строка, 1000 элементов с
% единичными значениями
a4 = ones(1000, 1); % вектор-столбец, 1000 элементов с
% единичными значениями
a5 = rand(1000, 1); % вектор-столбец, 1000 элементов со
% случайными значениями

Матрицы в MatLab задаются аналогично векторам с той лишь разницей, что указываются обе размерности. Приведем пример инициализации единичной матрицы размером 3х3:

E = ; % единичная матрица 3х3

E = ; % единичная матрица 3х3

Аналогичным образом можно задавать любые другие матрицы, а также использовать приведенные выше функции zeros(), ones() и rand(), например:

A1 = zeros(10,10); % нулевая матрица 10х10 элементов

A2 = zeros(10); % нулевая матрица 10х10 элементов
A3 = ones(5); % матрица 5х5, состоящая из единиц
A4 = rand(100); % матрица 100х100, из случайных чисел

Для доступа к элементам матрицы применяется такой же синтаксис как и для векторов, но с указанием строки и столбца где находится требуемый элемент:

A = ; % матрица 3х3
disp(A(2,1)); % вывод на экран элемента, стоящего во
% второй строке первого столбца, т.е. 4
disp(A(1,2)); % вывод на экран элемента, стоящего в
% первой строке второго столбца, т.е. 2

Также возможны операции выделения указанной части матрицы, например:

B1 = A(:,1); % B1 = – выделение первого столбца
B2 = A(2,:); % B2 = – выделение первой строки
B3 = A(1:2,2:3); % B3 = – выделение первых двух
% строк и 2-го и 3-го столбцов матрицы А.

Размерность любой матрицы или вектора в MatLab можно определить с помощью функции size(), которая возвращает число строк и столбцов переменной, указанной в качестве аргумента:

a = 5; % переменная а
A = ; % вектор-строка
B = ; % матрица 2х3
size(a) % 1х1
size(A) % 1х3
size(B) % 2х3

ТЕМА 5. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Современные математические модели являются сложными и для выполнения расчетов по ним необходимо использовать ЭВМ. Поэтому алгоритмы или методы расчета, приведенные в предыдущей главе, следует перевести на какой-либо язык программирования. В настоящее время для научных разработок популярными являются языки типа ФОРТРАН, СИ, ПАСКАЛЬ. Но для широкого круга пользователей эти языки считаются сложными и поэтому большое распространение получили более понятные специалистам предметной области системы типа EXCEL, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и т.д. Мы будем ориентироваться на систему MATLAB, которая используется на лабораторных работах данного учебного курса.
^ 5.1 Краткая характеристика MATLAB
Система MATLAB (сокращение от MATrix LABoratory – МАТричная ЛАБоратория) разработана фирмой The MathWorks, Inc. (США, г. Нейтик, штат Массачусетс) и является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, которая ориентирована на работу с массивами данных, позволяет обращения к программам, написанным на языках Fortran, C ++ . Система поддерживает выполнение операций с векторами, матрицами и массивами данных, поддерживает работу с алгебраическими полиномами, решение дифференциальных и разностных уравнений, решение нелинейных уравнений и задач оптимизации и т.д., а также построение различных видов графиков, трехмерных поверхностей и линий уровня.

Операционная среда системы MATLAB включает командное окно, инструментальную панель, подсистемы просмотра рабочей области и путей доступа, редактор/отладчик М-файлов и др. Пользователь может сам написать программы с помощью редактора М-файлов, которые оформляются в виде М-файлов (М-файлы имеют расширение .m ). Каждую программу необходимо создавать, редактировать (т.е. корректировать) и выполнять (т.е. производить расчет).

Для создания новой программы в меню ^ File выбираются опция New и затем M-File; в результате открывается окно редактора М-файлов. В этом окне набирается текст программы. После того как этот текст набран следует сохранить программу с каким-либо именем (для этого в меню File выбирается опция Save as ).

Для выполнения программы следует перейти в командное окно и в командной строке, обозначаемой на экране символами >> набрать имя М-файла.

Для редактирования уже созданного М-файла надо из командного окна вернуться в окно редактора с текстом программы.

^

Формирование массивов в системе MATLAB

В системе MATLAB основным объектом являются массивы (матрицы и вектора), для которых не требуются явно указывать размерности. Для формирования числового массива числа указываются внутри квадратных скобок, разделитель между числами – пробелы. Для отделения строк матриц используется символ ; . Пример .

Матрица А = из 3 линий и 2 столбцов записывается в виде: А = .

Для формирования массивов используется символ : . Пример .

Задать вектор С , состоящий из чисел от 0 до 0,5 с шагом 0,1: С = 0: 0.1: 0.5. На экране появится строка:

С = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Если шаг равен 1, то он не задается, например, для задания вектора В, состоящего из чисел 3, 4, 5, 6, 7, можно записать: В = 3: 7. Тогда на экране появится:

В = 3 4 5 6 7
Символ : используется также для выделения подблоки массива. Пример. Выделить у матрицы А = первый столбец: А (: , 1).
Массивы можно объединять. Пусть x = 1, 2, 3, 4, а y = 5, 6, 7, 8. Тогда фрагмент программы для формирования объединенного массива z будет следующий:

x = 1:4;

y = 5:8;

z = [x; y ]

на экране появится: z =

Арифметические операции. Используются арифметические операторы сложения + , вычитания – , умножения * , деления / , возведения в степень ^.

p1 ) . ′ поэлементное транспонирование (строки заменяются столбцами, для комплексных

матриц комплексное сопряжение не выполняется).

Например, пусть A = , тогда A. ′ = .

p1 ) .^ поэлементное возведение в степень, А. ^B.

Например, пусть A = , тогда A. ^2 =
.

p1 ) ′ - транспонирование матрицы. Для комплексных матриц транспонирование дополняется

комплексным сопряжением.

Например пусть A = , тогда А′ =
.

p1 ) ^ возведение матрицы в степень, А^р (только для квадратных матриц и для целых чисел p). Например, пусть матрица A =
. Тогда A^2 =

p2 ) .* поэлементное перемножение двух массивов одинакового размера.
Например, пусть A =
B =
, тогда А. *В =

На скаляр умножаются все элементы массива, например, пусть A = . Вычислить F =3*A. Получим F =
.
p2 ) * умножение матриц, А*В.

Например, пусть A = B = . Тогда А *В =
.
p2 ) ./ поэлементное деление массивов. Массивы должны быть одинаковых размеров или массив делится на скаляр. Например, пусть A = . Тогда B./ 3 = .
p3 ) + сложение и - вычитание для скаляров, векторов и матриц.

Например, пусть A =
и B =
. Тогда А - В =
.

PS: Операции типа p1 выполняются раньше, чем p2, а p2 раньше, чем p3. Внутри каждого уровня приоритет одинаковый, вычисления выполняются слева-направо. Можно ставить круглые скобки, чтобы определить необходимый порядок операций

^

Некоторые специальные символы

() - указание последовательности выполнения операций. Примеры:

a) задать массив x от 0 до 3 с шагом 0.1 и представить в виде столбца: x =(0: 0.5: 2)′

b) вычислить
: y =(x +0.5)/2
- формирование массивов (см. раздел “Формирование массивов в системе MATLAB”)
% - с этого символа начинаются комментарии. Они могут быть в виде отдельных строк либо следовать после любой из команд.
; этот символ используется: a) для подавления вывода на экран результатов вычислений; b) для отделения строк матриц.
: - этот символ используется для формирования векторов, а также для выделения строк или столбцов массива.
pi - число π = 3,141592653897
ans - результат выполнения операции в том случае, если выходная переменная не указана (в этом случае MATLAB использует переменную ans ).
inf - этот символ появляется на экране, когда при вычислении в одной из ячеек переполняется разрядная сетка (“фактическая” ∞). Например, при выполнении операции деления на нуль.
NaN - специальная переменная для обозначения неопределенного значения, результата операций типа: 0/0, inf/inf и т.д.

^

Элементарные математические функции

abs - абсолютное значение, например, пусть x = [-2 4 –8.5], тогда abs(x ) = .

sin, cos, tan и т.д. – тригонометрические функции, аргументы (углы) задаются в радианах. Например, t = cos(x );

ехр - экспоненциальная функция (e x ), например: y = exp(x );

log - натуральный логарифм, например: c = log(d );

log10 – десятичный логарифм, например, z = log10(y );

sqrt - квадратный корень, например: b = sqrt(a );
Некоторые графические функции
figure - функция для открытия графического окна на экране
xlabel, ylabel - функции для наименования осей x и y
title - функция для размещения заголовка над графиком
plot (x,y) - функция для построения двумерного графика зависимости y = f(x) в декартовых координатах (тип маркера, цвет и тип линии на графике выбирается автоматически);
plot (x1, y1, LineSpec1, x2, y2, LineSpec2,...) - функция для построения на графическом окне нескольких зависимостей с заданием для каждой линии маркера, цвета и типа линии.
polar(x,y) – функция для построения зависимости y = f(x) в полярных координатах.
meshgrid(x, y) - функция задает прямоугольную сетку на плоскости (x , y ) в виде двумерных массивов, которые определяются заданными векторами x и y .

Пример: [X,Y ] = meshgrid(1:0.5:2,10:14). В результате получаем:

X = 1 1.5 2 Y = 10 10 10

1 1.5 2 11 11 11

1 1.5 2 12 12 12

1 1.5 2 13 13 13

1 1.5 2 14 14 14
mesh(x,y,z) - функция выводит на экран трехмерную сетчатую поверхность зависимости z = f(x, y) .

surf(x,y,z) - функция выводит на экран сплошную сетчатую поверхность зависимости z = f(x, y) .

^

Интерактивный доступ к справочной информации и документации

Существуют несколько способов для получения информации о функциях системы MATLAB.

1 . Команда help имя_функции . Набирается в непосредственно в командном окне MATLAB Command Window. Например: help sin.

2 . Меню HELP командного окна. Это меню дает полную справочную информацию о системе MATLAB, содержит больше подробностей и примеров, чем по команде help. Пользователь может ознакомиться с полной документацией по системе MATLAB (подменю Contents), либо открыть список всех функций в алфавитном порядке (подменю Index), либо организовать поиск по имени (подменю Search). Также есть возможность открыть список функций по категориям (MATLAB Functions Listed by Category), открыть список примеров по категориям (Index of Documentation Examples) и другие возможности.
^

Примеры:

a) Найти функции линейной алгебры. Открываем последовательность окон:

HELP – MATLAB Help - Finding Functions and Properties - Matlab Functions Listed by Category – Mathematics –- Linear Algebra

b) Найти графические функции для построения графиков:

HELP – MATLAB Help - Finding Functions and Properties - Matlab Functions Listed by Category- Graphics – Basic Plots and Graphs.
3 . Еще один способ получить информацию о системе MATLAB – обращение к Web-серверу фирмы The MathWorks.

^

5.2 Задачи линейной алгебры, вычисление функций и построение графиков

Система MATLAB ориентирована на работу с массивами и основные задачи линейной алгебры представляются в этой системе в экономной форме. Ниже рассмотрены некоторые типичные задачи линейной алгебры и их программная реализация.

Пример1 . Умножить вектор
на вектор
.

Как известно при умножении векторов первый вектор должен быть строкой, а второй – вектором-столбцом и они должны иметь одинаковые размерности. Поэтому решение записывается в виде
a =

b =

c = a*b
Или
a =

b = ′

c = a*b
% Ответ: с = 12.
PS: Если записать b = , то расчет не выполняется, т.к. b будет интерпретирован как вектор-строка.
Пример2 . Умножить матрицу
на матрицу
.

Для корректного выполнения этой операции число элементов в строках матрицы А должно быть равно числу элементов в столбцах матрицы B. Программа запишется в виде:
a = ;

b = ;

На экране появится:

Пример3 . Решить систему линейных уравнений

В матричной форме эта система примет вид: А*x = B, где:

Тогда решение запишется в виде:
^ A = % задаем матрицу коэффициентов при неизвестных

B = % задаем вектор свободных членов

X=A\B % решение системы (Ответ: х 1 =5, х 2 = 3, x 3 = 2)
Символ \ применяется для решения систем линейных уравнений АХ=В .
Пример 4 . Для матрицы А (см. пример 3) найти детерминант и обратную матрицу (A -1) и сосчитать произведение E = A ∙ A -1 . Решение:
A =

C = det(A) %det – функция вычисляет детерминант заданной матрицы

D = inv(A) %inv - функция вычисляет матрицу, обратную заданной

Ответ: С = -6; E = 1.0000 0 0

0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000

В математических моделях часто требуется вычислить значения выражений типа y = f(x) при различных значениях x а затем представить эти зависимости в графической форме. В системе MATLAB такие задачи решаются просто. Ниже приведены примеры.
^

Пример 5 . В интервале х = вычислить значения:

y = e x и z = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24

для равномерно расположенных 31 точек. Построить зависимости y = f(x) и z = f(x) на одном графике (декартовые координаты). Значения x, y, z на экран не выводить.

Решение запишется в виде:
x = (0: 0.1: 3)"; задаем значения х в интервале от 0 до 3 с шагом 0.1

y = exp(x); вычисляем значения вектора у

z = 1.0 +x + (x.^2)/2 + (x.^3)/6 - (x.^4)/24; вычисляем значения вектора z

figure открываем графическое окно

plot(x,y," –g ",x,z," –k ") строим график функции y = cos(x)

xlabel(" coordinata x ") даем название для оси x

ylabel(" coordinata y ’) даем название для оси y

title(" y=exp(x) "); даем заголовок для графика
Пример 6 . В интервале х = вычислить значения y = 0,5 ln(x + 1) для равномерно расположенных 101 точек. Построить зависимость y = f(x ) в полярных координатах.
x = (0: pi/10: 10*pi)’;

y = 0.5*log(x + 1);

polar(x , y ); строим график функции y = 0,5ln(x+1)
MATLAB позволяет легко строить трехмерные графики, т.е. зависимости типа z = f(x, y) , что показано в следующем примере.

Пример 7 . Построить поверхность
при х = -1 до +1 с шагом 0,2 и при y = -1 до +1 с шагом 0,2.

Решение задачи:
[x , y ]=meshgrid([-1:0.2:1]);

z =x .*exp(-x .^2 - y .^2);

mesh(x,y,z );

surf(x,y,z );

PS: графические функции описаны выше в разделе “Некоторые графические функции”.

^ 5.3. Решение нелинейных алгебраических уравнений и аппроксимация функций
Система MATLAB позволяет значительно проще, чем на известных языках программирования решать системы нелинейных (алгебраических уравнений) и выполнять аппроксимацию таблично заданных функций.

Пример 8. Решить уравнение
с начальным приближением x 0 = 5 и c выводом итераций на экран:

Решение задачи:
function ex1

options = optimset(" Display "," iter ");

Fzero(@f, 5, options)

function y = f(x)

y = x.^3-2*x-5;
PS: Первые 3 оператора – основная программа, 2 последних оператора – это функция, определяющая зависимость
при различных значениях х .

Ниже приведены краткие описания функций MATLAB, используемые при решении задачи.
fzero (@имя функции, x 0 , options) – поиск нуля функции одной переменной. Решение ищется в окрестности заданной точки x 0 путем отыскания интервала, где функция меняет знак. Если такой интервал не находится, то возвращается Inf или NaN. Параметр options может задавать вывод промежуточных результатов (итераций) на экран и точность расчета.
optimset (" Display "," iter ") – функция для вывода итераций на экран.
- выводит искомое решение и значение функции, соответствующее этому решению.
Более подробно ознакомиться с используемыми функциями можно по HELP MATLAB.
Пример 9 . Решить систему уравнений:

(5.1)

с начальными приближениями x 0 = 2,5; y 0 = 0,5 и c выводом итераций на экран.

Для решения правые части уравнений переносим в левые части

, (5.2)

так, чтобы в правых частях остались нули. Затем ищем минимум функции, состоящей из суммы этих уравнений, возведенных в квадрат: . Так как сумма квадратов всегда положительное число, то минимум функции не может быть меньше 0, а достижение значения f = 0 означает, что величины x и y , соответствующие этому значению, достигают искомых решений системы (5.2).

Решение задачи:
function ex2

options = optimset (" Display "," iter ");

Fminsearch (@eq1, , options)

function f = eq1(x)

f = (x(1).^2 + x(2).^2 - 9).^2 + (x(1) + sin(x(2)) - 3).^2
PS: Между неизвестными в уравнениях (5.1) и переменными программы имеется соответствие: x = x (1), y = x (2).

Функция MATLAB, используемая при решении задачи:
fminsearch (@имя функции, [ начальные приближения переменных], options) – функция поиска минимального значения функции многих переменных.
^ Аппроксимация функции

Аппроксимация таблично заданной функции полиномом n-ой степени выполняется по методу наименьших квадратов (см. пункт 2.4).
Пример 10 . Выполнить аппроксимацию точечно заданной функции x = 0 до 0.7 с шагом 0.1, y = 0.22 0.428 0.604 0.74 0.84 0.91 0.95 0.98 полиномом 2-ой степени. Построить графики точечно заданной функции и аппроксимирующего полинома:
Решение задачи:
x =(0:0.1:0.7)" % массив x состоит из 8 чисел

y =" % массив y состоит из 8 чисел

p=polyfit(x,y,2)

table=

plot(x,y,"k*",x,f,"-g")

xlabel("coordinata x")

ylabel("coordinata y’)

title("Grafiki y(x), f(x) ")
PS: Количество чисел в массивах x и y должно быть одинаковым; table – имя массива, сформированного из 4-х векторов: x, y, f и (y-f ). Всего в этом массиве 8 4 = 32 числа. Массив f также содержит 8 чисел
polyfit (x, y, степень полинома) - функция находит коэффициенты a i полинома p(x) степени n , который аппроксимирует заданную функцию y(x) :
p(x) = a 1 x n + a 2 x n – 1 + … + a n x + a n+1
polyval (p, x ) - функция для вычисления значений полинома p в заданных точках x .

^ 5.4 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисление интегралов
В системе MATLAB с помощью стандартных функций легко решаются обыкновенные дифференциальные уравнения (задача Коши) и вычисляются определенные интегралы.

Пример 11 . Решить дифференциальное уравнение, используя стандартную функцию ode45:

(5.3)
в интервале x = 0 до 30 при y(0) = 2 для a = 0,24.

Предварительно представим уравнение (5.3) системой уравнений:

(5.4)

при начальных значениях: y 1 (0) = 0; y 2 (0) = 2, чтобы исключить из правой части (5.3) независимую переменную x .
Решение задачи.
function ex_eqdif

Ode45(@dif1,,);

function dy=dif1(t,y)

% pravie chasti difderensial. uravneniy

dy(2)=cos(y(1))-sin(y(1))-alfa*y(2);
PS: Фунция dif1(t,y) определяет правые части уравнений (5.4). Между неизвестными в уравнениях (5.4) и переменными программы имеется соответствие: x = y (1), y = y (2).
ode45 (@ имя функции, [ интервал интегрирования], [ начальные условия] ) - функция служит для решения обыкновенных нежестких дифференциальных уравнений методом Runge-Kutta 4-го порядка.
zeros(m,n) - функция формирует массив нулей размера
(где m – число уравнений, n =1).
global – оператор объявляет глобальные переменные. Если вместо переменной alfa в правые части подставить число, то глобальную переменную вводить не надо.
Пример 12 . Решить систему уравнений Лотка-Волтерра, используя функцию ode23:

(5.5)
при х =0 до 10 и начальных условиях: y 1 (0) = 1; y 2 (0) = 1. Параметры  = 0.01 и  = 0.02 задать как глобальные величины. Построить графики функций y 1 (x), y 2 (x) ).
Решение задачи.
function Lotka_Volterra

global alpha beta

alpha=0.01; beta=0.02;

Ode23(@lotka,,);

plot(t,y); %Построение графиков y 1 (t) и y 2 (t)

function dy=lotka(t,y)

global alpha beta

dy(1)=y(1)-alpha*y(1)*y(2);

dy(2)=-y(2)+beta*y(1)*y(2);
PS: Фунция lotka(t,y) определяет правые части уравнений (5.5). Между неизвестными в уравнениях (5.5) и переменными программы имеется соответствие: y 1 = y (1), y 2 = y (2).
ode23 (@ имя функции, [ интервал интегрирования], [ начальные условия] ) - функция служит для решения обыкновенных нежестких дифференциальных уравнений методом Runge-Kutta низкого порядка.
^ Вычисление интегралов
Пример 13 . Вычислить интеграл:

(5.6)
по методу Симпсона (стандартная функция quad) и построить график подинтегральной функции в интервале х = с шагом 0,1.

Решение задачи:
function int1

y=1./(x.^3-2*x-5);

plot(x,y); %Построение графика y(x)

Q = quad(@myfun,0,2)

function y = myfun(x)

y = 1./(x.^3-2*x-5);
PS: Подинтегральная функция вычисляется в фунции myfun(x) при различных значениях х
quad(@имя_подинтегральной_функции, a, b) - численное вычисление интеграла по адаптивному методу Симпсона, где: a и b – пределы интегрирования.

Пример 14 . Вычислить интеграл:

(5.7)
по методу Симпсона (стандартная функция quad) при y = 10 o (преобразовать градусы в радианы). Для величины y в программе использовать глобальную переменную.
Решение задачи.
function int2

Q = quad(@myfun,0,pi/2);

function y = myfun(x)

y=1./sqrt(1-(sin(teta)*sin(x)).^2);
PS: Величине y в программе соответствует глобальная переменная teta . Значение интеграла получаем в переменной Q.

^

Контрольные вопросы

1. Что такое скаляр, вектор, матрица? Дайте определения и примеры.
2. Какие действия можно проводить с векторами и матрицами? Привести примеры.
3. Как в MATLABе формируются массивы: одномерные и двумерные? Дать примеры.
4. Дайте определение транспонированному вектору и транспонированной матрице. Как они формируются в MATLABе? Привести примеры.
5. Дайте определение детерминанту и обратной матрице. Как они вычисляются в MATLABе? Привести примеры.
6. Элементарные функции и их запись в MATLABе. Привести примеры.
7. Выполнить вручную (без помощи компьютера) следующие действия:

Умножить вектор P на вектор Y;

Умножить матрицу G на вектор Y;

Умножить матрицу G на матрицу F,

8. Написать программу на MATLABе для выполнения действий, указанных в вопросе 7.

9. Дана матрица
. Определить без помощи компьютера обратную ей матрицу – A -1 .

10. Найти без помощи компьютера детерминант матрицы
.

11. Дана система линейных уравнений:
(1P)

или в матричном виде C ּX = B .

Составить на MATLABе программу решения этой системы с определением детерминанта матрицы С .
12. Найти с помощью MATLABа матрицу, обратную матрице С (из вопроса 11). Как с помощью матрицы С -1 найти неизвестные x 1 , x 2 , x 3 , x 4 из системы (1P)?
13. Решить с помощью MATLABа систему уравнений
(2P)

Найти причину неудачи, если система (2P) не решается. Определить детерминант матрицы коэффициентов при неизвестных.
14.Для условий вопроса 7 написать на MATLABе программу:

Умножения 1-ой строки матрицы G на 2-ой столбец матрицы F;

Умножения 2-ой строки матрицы F на 2-ой столбец матрицы G.
15. С помощью MATLABа для зависимости длины тормозного пути ^ S (м) в функции от скорости V f (м/с):

где скорость задана в интервале V f = 10…40 (шаг по скорости равен 2м/с), построить графики зависимостей: S = f(V f ) и V f = φ(S) .
16. Решить графически (с помощью MATLABа) уравнение:

(3P)

в интервале x = 0…10π с шагом 0,1π. Сколько корней имеет уравнение (3P)?
17. С помощью MATLABа в декартовых координатах построить окружность с центром в точке x = 1, y = 1 и радиусом, равным 1. По оси x выбрать шаг Δ x = 0,05.
18. С помощью MATLABа построить зависимость y = ln(x + 1) в декартовых координатах в интервале x = 0…4π с шагом 0,2π, а также зависимость r = ln(φ + 1) в полярных координатах в том же интервале и с тем же шагом по φ .
19. С помощью MATLABа на одном графике в полярных координатах с шагом
= 0,1 в интервале построить зависимости (спирали с 3-мя оборотами):
а) r = 0,4φ + 0,03φ 2 (4P)

b) зависимость (4Р), но закрученную в обратном направлении.
20. С помощью MATLABа построить 3-х мерную поверхность:

в области [x, y ] = [-1:0,1:1] [-2:0,1:2].
21. С помощью MATLABа построить 3-х мерную поверхность:

в области [x, y ] = .
22. С помощью MATLABа используя программу fzero
x 0 = 2км; x f = 8км.
27. Дана табличная зависимость потребления горючего (для легкового автомобиля) от времени эксплуатации.

polyfit, polyval ) найти аппроксимирующую зависимость G = f(t) полиномом 3-ей степени и определить среднюю ошибку аппроксимации.
28. Дана табличная зависимость стоимости легкового автомобиля от времени эксплуатации.

t (год)	0	1	2	3	5	7	10
C ($)	11500	8700	7200	6000	5500	5000	4600

С помощью пакета MATLAB (функции polyfit, polyval ) найти аппроксимирующие зависимости C = f(t) полиномами 2-ой и 3-ейстепени и сравнить максимальные ошибки аппроксимации.
29. С помощью MATLABа (функция ode45

(5P)
в интервале x = 0…2 при начальных условиях: x 0 = 0, y 0 = 1. Предварительно уравнение (5P) преобразовать в систему 2-х дифференциальных уравнений.
30. С помощью MATLABа (функция ode23 ) решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

(6P)
в интервале x = 0…5 при начальных условиях: x 0 = 0, y 0 = 2. Предварительно уравнение (6P) преобразовать в систему 2-х дифференциальных уравнений.
31. С помощью MATLABа (функция ode45

в интервале t = 0…8π при начальных условиях: t =0; x 0 = 1; y 0 = 1.
32. С помощью MATLABа (функция ode45 ) решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

в интервале  = 0,3…4 при начальных условиях:  = 0,3; x 0 = 1; y 0 = 0.
33. С помощью MATLABа (функция ode23 ) решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

(7P)

в интервале t = 0…3c при начальных условиях: t = 0, r 0 = 0,
и ω = 2π (рад/с). Предварительно уравнение (7P) преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Элементы одного и того же класса часто могут быть объединены в массивы (с несколькими редкими исключениями, например, с помощью функций). Числовые скаляры, по умолчанию класса double , могут храниться в матрице.

>> A = A = 1.0e+04 * 0.0001 -0.0002 0.0003 0.0001 1.5625 0.0003 Inf Inf NaN -Inf

Символы, которые имеют класс char в MATLAB, также могут храниться в массиве с использованием аналогичного синтаксиса. Такой массив похож на строку во многих других языках программирования.

>> s = ["MATLAB ","is ","fun"] s = MATLAB is fun

Обратите внимание, что, несмотря на то, что оба они используют скобки [ и ] , классы результатов отличаются. Поэтому операции, которые могут быть сделаны на них, также различны.

>> whos Name Size Bytes Class Attributes A 2x5 80 double s 1x13 26 char

На самом деле массив s не является массивом строк "MATLAB " , "is " и "fun" , это всего лишь одна строка - массив из 13 символов. Вы получите те же результаты, если бы они были определены одним из следующих:

>> s = ["MAT","LAB ","is f","u","n"]; >> s = ["M","A","T","L","A","B," ","i","s"," ","f","u","n"];

Обычный вектор MATLAB не позволяет хранить сочетание переменных разных классов или несколько разных строк. Здесь массив cell пригодится. Это массив ячеек, каждый из которых может содержать некоторый объект MATLAB, класс которого может быть различным в каждой ячейке, если это необходимо. Используйте фигурные скобки { и } вокруг элементов для хранения в массиве ячеек.

>> C = {A; s} C = "MATLAB is fun" >> whos C Name Size Bytes Class Attributes C 2x1 330 cell

Стандартные объекты MATLAB любых классов могут храниться вместе в массиве ячеек. Обратите внимание, что массивы ячеек требуют больше памяти для хранения их содержимого.

Доступ к содержимому ячейки осуществляется с помощью фигурных скобок { и } .

>> C{1} ans = 1.0e+04 * 0.0001 -0.0002 0.0003 0.0001 1.5625 0.0003 Inf Inf NaN -Inf

Заметим, что C(1) отличается от C{1} . Принимая во внимание, что последний возвращает содержимое ячейки (и имеет пример с double примером), первый возвращает массив ячеек, который является подматрицей C Точно так же, если D было массивом из 10 на 5 ячеек, тогда D(4:8,1:3) вернет подматрицу D , размер которой равен 5 на 3, а класс - cell . И синтаксис C{1:2} не имеет одного возвращенного объекта, но rater он возвращает 2 разных объекта (аналогично функции MATLAB с несколькими возвращаемыми значениями):

>> = C{1:2} x = 1 -2 3.14 0.8 15625 3.14159265358979 Inf Inf NaN -Inf y = MATLAB is fun

Массивы являются основными объектами в системе MATLAB : в версиях 4.х допускаются только одномерные массивы - векторы - и двумерные массивы - матрицы; в версии 5.0 возможно использование многомерных массивов - тензоров. Ниже описаны функции формирования массивов и матриц, операции над матрицами, специальные матрицы в рамках системы MATLAB версий 4.х.

Формирование массивов специального вида

• ZEROS - формирование массива нулей
• ONES - формирование массива единиц
• EYE - формирование единичной матрицы
• RAND - формирование массива элементов, распределенных по равномерному закону
• RANDN - формирование массива элементов, распределенных по нормальному закону
• CROSS - векторное произведение
• KRON - формирование тензорного произведения
• LINSPACE - формирование линейного массива равноотстоящих узлов
• LOGSPACE - формирование узлов логарифмичесокй сетки
• MESHGRID - формирование узлов двумерной и трехмерной сеток
• : - формирование векторов и подматриц

Операции над матрицами

• DIAG - формирование или извлечение диагоналей матрицы
• TRIL - формирование нижнетреугольной матрицы (массива)
• TRIU - формирование верхнетреугольной матрицы (массива)
• FLIPLR - поворот матрицы относительно вертикальной оси
• FLIPUD - поворот матрицы относительно горизонтальной оси
• ROT90 - поворот матрицы на 90 градусов
• RESHAPE - преобразование размеров матрицы

Специальные матрицы

• COMPAN - сопровождающая матрица характеристического многочлена
• HADAMARD - матрица Адамара (Hadamard matrix)
• HANKEL - матрица Ганкеля (Hankel matrix)
• HILB, INVHILB - матрица Гильберта (Hilbert matrix)
• MAGIC - магический квадрат
• PASCAL - матрица Паскаля (Pascal matrix)
• ROSSER - матрица Рессера (Rosser matrix)
• TOEPLITZ - матрица Теплица (Toeplitz matrix)
• VANDER - матрица Вандермонда (Vandermonde matrix)
• WILKINSON - матрица Уилкинсона (Wilkinson matrix)

CONV, DECONV

Свертка одномерных массивов

Синтаксис:

Z = conv(x, y)
= deconv(z, x)

Описание:

Если заданы одномерные массивы x и y длины соответственно m = length(x) и n = length(y), то свертка z - это одномерный массив длины m + n -1, k-й элемент которого определяется по формуле

Функция z = conv(x, y) вычисляет свертку z двух одномерных массивов x и y.

Рассматривая эти массивы как выборки из двух сигналов, можно сформулировать теорему свертки в следующей форме:
Если X = fft() и Y = fft() - согласованные по размерам преобразования Фурье сигналов x и y, то справедливо соотношение conv(x, y) = ifft(X.*Y).

Иначе говоря, свертка двух сигналов эквивалентна умножению преобразований Фурье этих сигналов.

Функция = deconv(z, x) выполняет операцию, обратную операции свертки. Эта операция равносильна определению импульсной характеристики фильтра. Если справедливо соотношение z = conv(x, y), то q = y, r = 0.

Сопутствующие функции: Signal Processing Toolbox .

1. Signal Processing Toolbox User’s Guide. Natick: The MathWorks, Inc., 1993.

Установка шаблона матриц и векторов (Matrix...)

Операция Matrix... (Матрицы) обеспечивает задание векторов или матриц Как известно, матрица является заданным своим именем объектом в виде массива данных MathCAD использует одномерные массивы — векторы и двумерные — собственно матрицы

Матрица характеризуется числом строк (Rows) и числом столбцов (Columns). Таким образом, число элементов матрицы или ее размерность равны Rows x Columns Элементами матриц могут быть числа, константы, пере менные и даже математические выражения Соответственно матрицы могут быть численными и символьными

Если использовать операцию Matrix..., то в текущем окне появится не большое окошко, позволяющее задать размерность вектора или матрицы (см рис 515 справа) Для этого нужно указать число строк Rows и число сголбцов Columns Нажав клавишу Enter или указав курсором мыши на изображение клавиши Insert (Вставить) в окошке, можно вывести шаблон матрицы или вектора (вектор имеет один из параметров размерности, равный 1)

Шаблон содержит обрамляющие скобки и темные маленькие прямоугольники, обозначающие места ввода значений (числовых или символьных) для элементов вектора или матрицы. Один из прямоугольников можно сделать активным (отметив его курсором мыши). При этом он заключается в уголок. Это указывает на то, что в него будут вводиться значения соответствующего элемента. С помощью клавиш перемещения курсора можно по горизонтали пробежаться по всем прямоугольникам и ввести все элементы вектора или матрицы.

Рис. 5. 15 Вывод шаблонов вектора и матрицы и их заполнение

Пока идет ввод элементов векторов или матриц, пустые шаблоны отображаются без каких-либо комментариев. Однако, если закончить ввод до полного заполнения шаблонов, система выведет сообщение об ошибке — незаполненный шаблон приобретет красный цвет. Вывод несуществующей матрицы или ошибочное указание ее индексов также отображается красным цветом.

Если использовать операцию Insert (Включение) при уже выведенном шаблоне матрицы, то матрица расширяется и ее размер увеличивается. Кнопка Delete (Стирание) позволяет убрать расширение матрицы, вычеркнув из нее строку или столбец.

Каждый элемент матрицы характеризуется индексированной переменной, и его положение в матрице обозначается двумя индексами: один указывает номер строки, другой — номер столбца. Для набора индексированной переменной прежде надо ввести имя переменной, а затем перейти к набору индексов нажатием клавиши, вводящей символ]. Прежде указывается индекс строки, а затем через запятую индекс столбца. Примеры вывода индексированных переменных (элементов матрицы М) также даны на рис. 5. 14.

Вырожденная в одну строку или в один столбец матрица является вектором. Его элементы — индексированные переменные с одним индексом. Нижняя граница индексов задается значением системной переменной ORIGIN. Обычно ее значение задают равным 0 или 1.