Решение систем линейных уравнений методом жордана-гаусса. Преобразование Жордана-Гаусса и симплекс-метод в Excel

Для начала работы требуется, чтобы заданная система ограничений выражалась равенствами, причём в этой системе ограничений должны быть выделены базисные неизвестные. Решение задачи симплекс-методом распадается на ряд шагов. На каждом шаге от данного базиса Б переходят к другому, новому базису Б 1 с таим расчётом, чтобы значение функции Z уменьшилось, т.е. . Для перехода к новому базису из старого базиса удаляется одна из переменных и вместо нее вводится другая из числа свободных. После конечного числа шагов находится некоторый базис Б (k) , для которого есть искомый минимум для линейной функцииZ, а соответствующее базисное решение является оптимальным либо выясняется, что задача не имеет решения.

4.1 Алгоритм симплекс-метода.

Рассмотрю систему ограничений и линейную форму вида:

(4.1)

Используя метод Жордана-Гауса, приведём записанную систему к виду, где выделены базисные переменные.

Введём условные обозначения:

–базисные переменные;

–свободные переменные.

(4.4)

По последней системе ограничений построим табл. 4.1.

Таблица 4.1

Симплекс-таблица

Данная таблица называется симплекс-таблицей. Все дальнейшие преобразования связаны с изменением содержания этой таблицы.

Алгоритм симплекс-метода сводится к следующему.

1. В последней строке симплекс-таблицы находится наименьший положительный элемент, не считая свободного члена. Столбец, соответствующий этому элементу, считается разрешающим.

2. Вычисляют отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (симплекс-отношение). Находят наименьшее из этих симплекс-отношений, оно соответствует разрешающей строке.

3. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент.

4. Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс-отношений, то выбирают любое из них, то выбирают любое из них. То же самое относится к положительным элементам последней строки симплекс-таблицы.

5. После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей стоке и столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная становится свободной переменной, и наоборот. Симплекс таблица преобразована следующим образом

Таблица 4.2

Симплекс-таблица

6. Элемент табл. 4.2 соответствующий разрешающему элементу табл. 4.1, равен обратной величине разрешающего элемента.

7. Элементы строки табл. 4.2, соответствующие элементам разрешающей стоки табл. 4.1, получаются путём деления соответствующих элементов табл. 4.1 на разрешающий элемент.

8. Элементы столбца табл. 4.2, соответствующие элементам разрешающего столбца табл. 4.1, получаются путём деления соответствующих элементов табл. 4.1 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.

9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника: мысленно вычерчиваем прямоугольник в табл.4.2, одна вершина которого совпадает с разрешающим элементом, а другая – с элементом, образ которого мы ищем; остальные две вершины определяются однозначно. Тогда искомый элемент табл. 4.2 будет равен соответствующему элементу табл. 4.1 минус дробь в знаменателе который стоит разрешающий элемент, а в числителе произведение элементов из двух неиспользованных вершин прямоугольника.

10. Как только получится таблица, в которой в последней стоке все элементы отрицательны, считается, что минимум найден. Минимальное значение функции равно свободному члену в строке целевой функции, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные в этом случае равны нулю.

11. Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не имеет решений (минимум не достигается).

5. Методы нахождения опорного решения задачи линейного программирования.

5.1. Метод искусственного базиса.

Сформулированный выше алгоритм Симплекс-метода можно применять лишь в том случае, если выделено первое допустимое решение, т.е. исходная задача линейного программирования приведена к виду

При этом , тогда, положив свободные неизвестныеравными нулю, получаем опорное решение.

Рассмотрю метод нахождения опорного решения, основанный на введении искусственных переменных. Для этого запишем задачу линейного программирования в общем виде. Будем рассматривать задачу с числом неизвестных иограничениями:

(5.1)

Перепишем систему (5.1) в другом виде. Для этого введём искусственные переменные так, чтобы был выделен базис. Тогда система примет вид

(5.2)

Системы (5.1) и (5.2) будут эквивалентны в том случае, если все , длябудут равны 0. Кроме того, считаю, что вседля. В противном случае соответствующие ограничения из системы (5.1) умножим на – 1. Для того чтобыбыли равны 0, мы должны преобразовать задачу таким образом, чтобы все искусственные переменныеперешли в свободные неизвестные.

В этом случае система (5.2) после преобразования примет вид:

(5.3)

От системы (5.2) к системе (5.3) всегда можно перейти шагами симплекс-метода. При таком переходе в качестве линейной формы рассматривают функцию

равную сумме искусственных переменных. Переход заканчивают, когда и все искусственные переменныепереведены в свободные неизвестные.

Анализ вариантов решений

1. Если , а всепереведены в свободные переменные, то задача не имеет положительного решения.

2. Если , а частьосталась в базисе, то для перевода их в свободные необходимо применять специальные приёмы.

В симплекс-таблице, соответствующей системе (5.3), после того как , а все- свободные, вычёркивают строку дляи столбцы дляи решают задачу для исходной линейной формы.

5.2. Второй алгоритм отыскания опорного плана.

Пусть задача линейного программирования записана в каноническом виде:

(5.5)

Построим первую таблицу Жордана-Гаусса для задач (5.5) и (5.6). Для единообразия вычислительной процедуры к исходной таблице приписываем строку целевой функции:

После приведения системы ограничений к единичному базису целевая функция, как и базисные переменные, будет выражена через свободные переменные. Аналогичным приёмом я пользовался, когда решали задачи графическим методом с числом переменных более двух.

Алгоритм метода

1. Запишем задачу в форме (5.7), при этом все элементы столбца свободных членов должны быть неотрицательны,. Уравнения системы (5.5), в которых свободные члены отрицательны, предварительно нужно умножить на – 1.

2. Таблицу (5.7) преобразуем шагами Жордана-Гаусса исключений. При этом на каждом шаге разрешающим может быть выбран любой столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент. Строка целевой функции на выбор разрешающих столбцов влияние не оказывает.

3. Разрешающая строка определяется по наименьшему из отношений свободных членов к элементам разрешающего столбца.

4. В процессе преобразований вычёркиваем строки, состоящие из одних нулей.

5. Если в процессе преобразований встречается строка, все элементы которой нули, а свободный член отличен от нуля, то задача не имеет решения. Если встретится строка, в которой, кроме свободного члена, других положительных элементов нет, то говорят, что задача не имеет положительных решений.

Пояснение. В п.1.1 алгоритма предполагается, что все элементы столбца свободных членов неотрицательны. Это требование необязательно. В случае когда в столбце свободных членов встречаются отрицательные числа, будем пользоваться теоремой.

Теорема. Если разрешающий элемент выбирать по наименьшему положительному симплекс-отношению, то после шага Жордана-Гаусса свободный член в разрешающей строке становится положительным, а остальные члены сохраняют свой знак.

Выбор разрешающего элемента производят иначе, а именно.

1. Просматривают строку, соответствующую какому-либо отрицательному свободному члену. Выбирают в ней какой-либо отрицательный элемент – соответствующий этому элементу столбец будет разрешающим.

2. Выбор разрешающего элемента производится по минимальному положительному симплекс-отношению. Если задача разрешима, то через конечное число шагов получают первое допустимое решение и можно применять симплекс-метод.

В некоторых случаях найденное таким образом первое допустимое решение является также и оптимальным решением.

Как известно, метод Жордана-Гаусса, он же метод последовательного исключения неизвестных, является модификацией метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Метод базируется на элементарных преобразованиях (переводящих систему в эквивалентную), к которым относятся:

• прибавление к обеим частям уравнения системы другого уравнения той же системы, умноженного на число, отличное от нуля;
• перестановка местами уравнений в системе;
• удаление из системы уравнений вида 0 = 0.

В отличие от метода Гаусса, на каждом шаге одна переменная исключается из всех уравнений, кроме одного.

Шаг метода состоит в следующем:

• выбрать в очередном уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля (разрешающим элементом);
• разделить выбранное уравнение на разрешающий элемент;
• с помощью выбранного уравнения исключить неизвестное при разрешающем элементе из всех остальных уравнений;
• на следующем шаге аналогично исключается другое неизвестное из всех уравнений, кроме одного;
• процесс продолжается, пока не будут использованы все уравнения.

Алгоритмизировать это можно так:

Для СЛАУ в матричном виде A*x=b (матрица A размерности m*n , совсем необязательно квадратная) составляется следующая таблица:

В таблице выбран разрешающий элемент a r,s ≠0 , тогда r - разрешающая строка, s - разрешающий столбец.

Переход к следующей таблице выполняется по правилам:

1. вычисляются элементы разрешающей строки: a" r,j =a r,j /a r,s - то есть, r-строка таблицы делится на разрешающий элемент;

2. все элементы разрешающего столбца, кроме a r,s , равного единице, становятся равны нулю;

3. элементы вне разрешающих строки и столбца вычисляются по формуле, изображённой ниже:

Легко не запутаться, если увидеть, что числитель этой формулы похож на вычисление определителя матрицы 2 на 2.

4. При ручном расчёте значение в последнем контрольном столбце сравнивается с суммой предыдущих элементов строки. Если значения не совпадают, ошибки надо искать в данной строке. При автоматизированном расчёте контрольный столбец можно опустить.

Возможны следующие случаи:

1. В процессе исключений левая часть уравнения системы обращается в 0, а правая b≠0 , тогда система не имеет решения.

2. Получается тождество 0 = 0 - уравнение является линейной комбинацией остальных и строка нулей может быть вычеркнута из системы.

3. После использования всех уравнений для исключения неизвестных, таблица либо содержит искомое решение, либо показывает несовместность системы ограничений.

Запрограммируем метод в Excel одной формулой, изменять которую должно быть не слишком трудоёмко. Например, для решения СЛАУ

заполним коэффициентами системы ячейки листа от A1 до D4 включительно, выберем разрешающий элемент a 1,1 =1 , а первый шаг метода сделаем в ячейке A6 , куда загоним "универсальную" формулу для преобразования Жордана-Гаусса:

ЕСЛИ(СТРОКА($A$1)=СТРОКА(A1);A1/$A$1;
ЕСЛИ(СТОЛБЕЦ($A$1)=СТОЛБЕЦ(A1);0;(A1*$A$1-
ДВССЫЛ(АДРЕС(СТРОКА(A1);СТОЛБЕЦ($A$1)))*
ДВССЫЛ(АДРЕС(СТРОКА($A$1);СТОЛБЕЦ(A1))))/$A$1))

На следующем шаге разрешающим элементом может быть, например, a 2,2 =1 (ячейка B7). Нам останется скопировать формулу из A6 в A11 (по пустой строке оставляем, чтоб визуально разделить шаги метода), войти в режим редактирования формулы (двойной щелчок по ячейке или выбрать её и нажать клавишу F2) и поправить (аккуратно перетащить мышкой за границу) все закреплённые ссылки с ячейки A1 на B7 .

Конечно, можно заменить везде в формуле закреплённую ссылку $A$1 на конструкцию вида ДВССЫЛ(ЯЧЕЙКА) , образующую динамический адрес ссылки. Скажем, ДВССЫЛ(F8) , а в ячейке F8 будет автоматически формироваться адрес ячейки разрешающего элемента по заданным пользователем номеру строки и столбца. Тогда для этих номеров строки и столбца придётся предусмотреть отдельные ячейки, например, так:

Увы, всё это ничего не даст - вместо $A$1 мы просто вынуждены будем закрепить в формуле ДВССЫЛ($F$8) и всё равно потом перетаскивать столько же ссылок при копировании формулы. Кроме того, "вручную" введённые номера строки и столбца придётся ещё и проверять на допустимость (хотя бы как на рисунке), так что, не будем умножать сущностей.

Посмотреть метод в работе можно на двух первых листах приложенного файла Excel (2 разных примера).

На преобразовании Жордана-Гаусса основан и такой универсальный метод решения линейных задач оптимизации, как симплекс-метод . Описания его обычно страшны, длинны и перегружены теоремами. Попробуем сделать простое описание и разработать пригодный для расчёта в Excel алгоритм. На самом деле, симплекс-метод уже встроен в стандартную надстройку Пакет анализа, и программировать его "вручную" не нужно, так что наш код имеет, скорее, учебную ценность.

Сначала минимум теории.

Если вектор-столбцы СЛАУ линейно независимы, соответствующие им переменные являются базисными , а остальные – свободными . Например, в СЛАУ

переменные x 2 и x 4 - базисные, а x 1 и x 3 - свободные. Базисные переменные между собой независимы, а свободные можно сделать, например, нулями и получить { x 2 =2, x 4 =1 } – базисное решение системы.

Выбирая различные разрешающие элементы, можно получить решения СЛАУ с различными базисами. Любое неотрицательное базисное решение СЛАУ называется опорным .

Симплекс-метод обеспечивает переход от одного опорного решения к другому, пока не будет достигнуто оптимальное решение, дающее минимум целевой функции.

Алгоритм симплекс-метода состоит в следующем:

1. Задача ЛП преобразуется к каноническому виду:

Это всегда можно сделать следующим образом: к задаче, записанной в стандартной постановке

добавляются дополнительные балансовые переменные , число которых соответствует числу ограничений-неравенств m (ограничения на неотрицательность значений неизвестных не учитываются). После этого неравенства со знаком " ≤ " превращаются в равенства, например, система ограничений вида

2*x 1 +3*x 2 ≤20
3*x 1 +x 2 ≤15
4*x 1 ≤16
3*x 2 ≤12
x 1 ,x 2 ≥0

примет вид

2*x 1 +3*x 2 +x 3 =20
3*x 1 +x 2 +x 4 =15
4*x 1 +x 5 =16
3*x 2 +x 6 =12
x 1 ,x 2 ,...,x 6 ≥0

То есть, "экономический" смысл балансовых переменных очень прост – это "остатки" неиспользованных ресурсов каждого вида.

Если в исходной задаче искался не минимум, а максимум, целевая функция Z заменятся на Z 1 = -Z . Решения задач совпадают, при этом min Z = - max Z 1 . Например, цель

Z(x 1 ,x 2)=2*x 1 +5*x 2 (max)

переписывается в виде

Z 1 (x 1 ,x 2)=-2*x 1 -5*x 2 (min)

Если в исходной задаче были уравнения-неравенства со знаками " ≥ " вместо " ≤ ", обе части каждого такого неравенства умножаются на -1 , а знак неравенства меняется на противоположный, например,

3*x 1 +x 2 +x 4 ≥15

превращается в

3*x 1 -x 2 -x 4 ≤15

Канонический вид модели получен, для него выписывается симплекс-таблица :

В левом столбце записываются базисные переменные (БП), если они ещё не выделены – пусто.

2. С помощью шагов Жордана–Гаусса ищется первоначальный опорный план, т.е. СЛАУ приводится к базисному виду с неотрицательными свободными членами b i >0 . При этом целевая функция Z должна быть выражена только через свободные неизвестные (нулевые коэффициенты в Z-строке стоят только под переменными x i , которые есть в базисе). При выборе разрешающего элемента a r,s в строку r столбца БП выписываем переменную x s , если там уже была переменная – вычеркиваем её (выводим из базиса).

3. Выписываем под столбцами x i опорный план X * : под свободными переменными - нули, под базисными – соответствующие базисной переменной коэффициенты из столбца b .

Ниже выписываем вектор R по правилу: под базисными переменными – нули, под свободными R i =Z i .

Если все R i ≥0 , найдено оптимальное решение X * и значение цели Z min = -q , иначе нужен новый план, а у вас он есть, товарищ Жюков? (п. 4).

4. Для выбора разрешающего столбца s выбираем максимальную по модулю отрицательную компоненту вектора R , разрешающий столбец s выбран. Затем анализируем коэффициенты s-го столбца матрицы системы ограничений. Если все a i,s ≤0 , решения нет и Z min стремится к минус бесконечности, иначе переходим к п.5.

5. Для выбора разрешающей строки r составляем неотрицательные отношения b i /A i,s ≥0 , i=1,2,...,m , и выбираем среди них наименьшее. Если минимум достигается для нескольких строк, за разрешающую можно принять любую из них, при этом, в новом опорном плане значения некоторых базисных переменных станут равными 0, т.е., получаем вырожденный опорный план.

6. Выполняем преобразование Жордана-Гаусса с разрешающим элементом a r,s и переходим к п.3

Геометрически симплекс-методу соответствует кратчайший обход вершин n-мерного выпуклого многогранника, образующего область допустимых решений задачи:

Здесь мы перешли от опорного плана C , представляющего собой одну из вершин многомерного многоугольника, к оптимальному плану E=X * .

Запрограммировать это всё в Excel нелегко, но можно. В прилагаемом документе приведены 3 примера, реализующие решение задач симплекс-методом. Правда, при выполнени шага менять уже придётся 3 формулы, на листе первого примера на симплекс-метод они выделены жёлтым цветом: расчёт отношений для выбора разрешающей строки в ячейке I2 , заполнение столбца БП в ячейке A12 , шаг преобразования Жордана-Гаусса в ячейке B12 . Как и в примере на преобразование Жордана-Гаусса, изменение формул связано только с необходимостью сослаться на новую строку, содержащую адрес ячейки с разрешающим элементом (для первого шага - ячейка C9).

Приведенные выше преобразования удобно выполнять в специальных таблицах, называемых симплекс-таблицами.

В симплекс-таблице выделяются следующие блоки:

Запишем решение задачи примера из раздела 3.3 в симплекс-таблицах:

Все исходные данные, содержащиеся в математическом условии задачи, переносятся в первую симплексную таблицу. Зануляя свободные переменные, получаем опорный план

В последнюю строку первой симплекс-таблицы заносим критерий в неявной форме

Исключаем из этого критерия базисную переменную x 4 , приводя критерий к виду

Для оптимальности решения все оценки должны быть неотрицательны

Решение не оптимальное, т.к. есть отрицательные оценки.

Оценки могут быть вычислены по формулам. Произведение представляет из себя, текущий вектор матрицы условий, тогда оценку свободной переменной можно вычислить как скалярное произведение вектора коэффициентов при базисных переменных на текущий вектор матрицы условий минус коэффициент целевой функции при этой переменной. Так, для получаем значение

Разрешающим столбцом выбираем тот, где наименьшая по величине оценка (если задача на максимум). А для выбора разрешающей строки нужно среди всех строк найти, выраженная из которой переменная, уменьшаясь, которая быстрее обращается в ноль.

В итоге, мы получаем, что разрешающий столбец - , а разрешающая строка - . Значит из списка базисных выходит переменная и входит переменная.

Решение не оптимальное, т.к. есть отрицательная оценка -2.

Решение оптимальное, т.к. все оценки больше нуля. Очевидно, что увеличить нельзя.

Правила построения симплекс-таблиц

Симплекс-таблица строится для какого-либо опорного решения.

Пусть опорное решение. Симплекс-таблица для этого решения имеет вид

Базисная матрица B = (A 1 , A 2 , … A m)

· при базисных переменных текущая матрица единичная.

• · любой столбец.
• · вектор правых частей ограничений.
• · оценки при свободных переменных не нулевые

· в правой нижней клетке - значение критерия

Этапы симплекс-метода

• 1. Проверка признака оптимальности ()
• 2. Если есть, то решение не оптимальное. Тогда выбираем столбец с минимальной оценкой. Его назовем разрешающим.
• 3. Разрешающая строка выбирается по минимальному отношению свободных членов к положительным коэффициентам разрешающего столбца. Базисная переменная, выражающаяся из этой строки, выходит из списка базисных переменных. Т.е. x k выходит, а x s входит.

• 4. Текущая симплекс-таблица преобразуется по следующему правилу:
  • · разрешающая строка делится на разрешающий элемент:

• · разрешающий столбец заменяется единичным.
• · все остальные элементы симплекс-таблицы могут быть пересчитаны по правилу четырехугольника:

Мысленно строится четырехугольник на диагонали, соединяющей искомый элемент с разрешающим. Тогда новое значение элемента равно прежнему значению минус произведение элементов на противоположной диагонали, деленное на разрешающий элемент.

Или новое значение элемента равно произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на противоположной диагонали, и все это деленное на разрешающий элемент.

Замечание : Если в разрешающей строке был нулевой элемент, значит этот столбец не меняется; если в разрешающем столбце есть нулевой элемент, то соответствующая строка не меняется.