Задачи линейного программирования, решение средствами MS Excel. Решение задач линейного программирования в Excel - Реферат
Нижегородский Государственный Технический Университет
Павловский филиал
Курсовая работа
по информатике на тему:
“Технология решения задач линейного программирования с помощью Поиска решений приложения Excel” .
Выполнила : Бородулина Д.А.
Группа 05-АМ.
Проверила : Ловыгина М.Б.
Павлово 2006 г.
Введение……………………………………………………………………………стр. 3
Решение задач с помощью надстройки Поиск решения
- Установка программы Поиск решения…………………………………………..…стр.4
- Диалоговое окно Поиск решения…………………………………………………..…стр.4
- Ввод и редактирование ограничений………………………………………………..стр.5
- Настройка параметров алгоритма и программы……………………………….стр.6
- Сохранение модели оптимизации…………………………………………………....стр.9
- Загрузка модели оптимизации……………………………………………………….стр.9
Вычисления и результаты решения задачи………………………………..стр. 10
Просмотр промежуточных результатов поиска решения…………...стр.11
Возникающие проблемы и сообщения процедуры поиска решения…...стр.12
Итоговые сообщения процедуры поиска решения……………………....стр.13
Примеры выполнения задач
- Пример № 1………………………………………………………………………………стр.15
- Пример № 2 (графическим способом)……………………………………………...стр..20
Вывод……………………………………………………………………………....стр.24
Список литературы…………………………………………………………....стр.25
Введение
Линейная оптимизация – это раздел математического программирования, посвящённый нахождению экстремума линейных функций нескольких переменных при дополнительных линейных ограничениях, которые налагаются на переменные. Методы, с помощью которых решаются задачи, подразделяются на универсальные (например, симплексный метод) и специальные. С помощью универсальных методов решаются любые задачи линейного программирования. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений.
Использование электронных таблиц широко распространено для решения многочисленных и разнообразных задач, связанных с учётом и контролем результатов управленческой деятельности: торгово-закупочных операций, производственных планов, бухучёта и т. п. Вместе с тем форма электронной таблицы оказывается очень удобной при решении многих аналитических задач управления деятельностью, и в частности задач исследования операций и поиска оптимальных решений.
В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).
Такие задачи в Excel решают с помощью Поиска решения .
Процедура Поиск решения представляет собой мощный инструмент для выполнения сложных вычислений. Она позволяет находить значения переменных, удовлетворяющих указанным критериям оптимальности, при условии выполнения заданных ограничений.
Решение задач с помощью надстройки Поиск решения
1. Установка программы Поиск решения
В меню Сервис выберите команду Надстройки.
В диалоговом окне Надстройки установите флажок Поиск решения. Если диалоговое окно Надстройки не содержит команды Поиск решения , нажмите кнопку Обзор и укажите диск и папку, в которой содержится файл надстройки Solver. xla (как правило, это папка Library\ Solver folder) или запустите программу Setup , если найти файл не удаётся.
Надстройка, указанная в диалоговом окне Надстройки , остаётся активной до тех пор, пока она не будет удалена.
2. Диалоговое окно Поиск решения
Окно Поиск решения (рис. 1) вызывается командой меню Сервис>Поиск решения.
Поле Установить целевую ячейку служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу.
Рис.1.Диалоговое окно Поиск решения.
Кнопка Равной служит для выбора варианта с заданным значением целевой ячейки. Чтобы установить заданное число, введите его в поле.
Поле Изменяя ячейки служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку.
В поле Изменяя ячейки вводятся имена или адреса изменяемых ячеек, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.
Поле Предположить используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки.
Поля Ограничения служат для отображения списка граничных условий, налагаемые на переменные задачи. Допускаются ограничения в виде равенств, неравенств, а также – требование целочисленности переменных. Ограничения добавляются по одному с помощью кнопки Добавить.
Команда Изменить Изменение ограничения.
Команда Удалить служит для снятия указанного курсором ограничения.
Команда Выполнить служит для запуска поиска решения поставленной задачи.
Команда Закрыть служит для выхода из окна диалога без запуска поиска решения поставленной задачи. При этом сохраняются установки, сделанные в окнах диалога, появлявшихся после нажатий на кнопки Параметры, Добавить, Изменить или Удалить.
Кнопка Параметры служит для отображения диалогового окна Параметры поиска решения , в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения.
Кнопка Восстановить служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска решения, используемых по умолчанию.
3.Ввод и редактирование ограничений
Диалоговые окна изменения и добавления ограничений одинаковы, рис.2.
Выберите из раскрывающегося списка условный оператор, который необходимо разместить между ссылкой и её ограничением. Это знаки операторов: не более, не менее, равно и т. д.
В поле Ограничения введите число, формулу или имя ячейки или диапазона содержащих или вычисляющих ограничивающие значения.
Чтобы приступить к набору нового условия, нажмите кнопку Добавить.
Чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения, нажмите кнопку ОК.
Условные операторы целого и двоичного типа можно применять только при наложении ограничений на изменяемые ячейки.
Рис.2.Диалоговое окно Изменение ограничения.
4. Настройка параметров алгоритма и программы
Настройка параметров алгоритма и программы производится в диалоговом окне Параметры поиска решения , рис. 3.
В окне устанавливаются ограничения на время решения задач, выбираются алгоритмы, задаётся точность решения, предоставляется возможность для сохранения вариантов модели и их последующей загрузки. Значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач.
Рис. 3. Диалоговое окно Параметры поиска решения.
Поле Максимальное время служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства лабораторных работ.
Поле Предельное число итераций служит для управления временем решения задачи, путём ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства простых задач.
При достижении отведённого временного интервала или при выполнении отведённого числа итераций, на экране появляется диалоговое окно
Поле Относительная погрешность служит для задания точности (допустимой погрешности), с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 (нуля) до1. Низкая точность соответствует введённому числу, содержащему меньшее количество десятичных знаков, чем число, используемое по умолчанию, например, 0,0001. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошёлся процесс оптимизации. Чем меньше введённое число, тем выше точность результатов.
Поле Допустимое отклонение служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. При указании большого допуска поиск решения заканчивается быстрее.
Поле Сходимость результатов поиска решения применяется только к нелинейным задачам. Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость , поиск прекращается. Условием сходимости служит дробь из интервала от 0 (нуля) до 1. Лучшую сходимость характеризует большее количество десятичных знаков, например, 0,0001 – это меньшее относительное изменение, чем 0,01. Чем меньше его значение, тем выше точность результатов. Лучшая сходимость требует больше времени на поиск оптимального решения.
Флажок Линейная модель служит для ускорения поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной аппроксимации нелинейной задачи.
Флажок Неотрицательные значения позволяет установить нулевую нижнею границу для тех влияющих ячеек, для которых она не была указана в поле Ограничение диалогового окна Добавить ограничение .
Флажок служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.
Флажок служит для приостановки поиска решения для просмотра результатов отдельных итераций.
Кнопки Оценки служат для указания метода экстраполяции (линейная или квадратичная), используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске.
Линейная служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора.
Квадратичная служит для использования квадратичной экстраполяции, которая даёт лучшие результаты при решении нелинейных задач.
Кнопки Разности (производные) служат для указания метода численного дифференцирования (прямые или центральные производные), который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающихся функций.
Прямые используется для гладких непрерывных функций.
Центральные используется для функций, имеющих разрывную производную. Не смотря на то, что данный способ требует больше вычислений, он может помочь при получении итогового сообщения о том, что процедура поиска решения не может улучшить текущий набор влияющих ячеек.
Кнопки Метод поиска служат для выбора алгоритма оптимизации (метод Ньютона или сопряжённых градиентов).
Кнопка Ньютона служит для реализации квазиньютоновского метода, в котором запрашивается больше памяти, но выполняется меньше итераций, чем в методе сопряжённых градиентов. Здесь вычисляются частные производные второго порядка.
Кнопка Сопряжённых градиентов служит для реализации метода сопряжённых градиентов, в котором запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.
Для решения линейных задач используются алгоритмы симплексного метода. Для решения целочисленных задач используется метод ветвей и границ.
Команда Сохранить модель служит для отображения на экране диалогового окна Сохранить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, предназначенную для хранения модели оптимизации. Данный вариант предусмотрен для хранения на листе более одной модели оптимизации. Первая модель сохраняется автоматически.
Команда Загрузить модель служит для отображения на экране диалогового окна Загрузить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, содержащих загружаемую модель.
1. Сохранение модели оптимизации
- В меню Сервис выберите команду Поиск решения.
- Нажмите кнопку Параметры.
- Нажмите кнопку Сохранить модель. Появляется окно Сохранить модель, рис. 4.
- В поле Задайте область модели введите ссылку на верхнюю ячейку столбца, в котором хотите разместить модель оптимизации.
Рис. 4. Диалоговое окно Сохранить модель.
Значения элементов управления диалоговых окон Поиск решения и Параметры поиска решения записываются на лист. Чтобы использовать на листе несколько моделей оптимизации, нужно сохранить их в разных диапазонах (столбцах).
Предлагаемый диапазон содержит ячейку для каждого ограничения, а также ещё три ячейки. Можно также ввести ссылку только на верхнюю ячейку столбца, в котором следует сохранить модель.
Диалоговое окно Загрузить модель используется для задания ссылки на область загружаемой модели оптимизации. Ссылка должна адресовать область модели целиком, недостаточно указать только первую ячейку.
Перед тем как использовать данную процедуру, необходимо сохранить хотя бы одну модель.
1 В меню Сервис выберите команду Поиск решения.
2. Нажмите кнопку Параметры.
3. Нажмите кнопку Загрузить модель. Появляется окно, аналогичное окну Сохранить модель.
Диалоговое окно Загрузить модель используется для задания ссылки на область загружаемой (ранее сохранённой) модели оптимизации. Ссылка должна адресовать область модели целиком не достаточно указать только первую ячейку.
Вычисления и результаты решения задачи
Для запуска оптимизатора нажмите кнопку Выполнить в окне Поиск решения.
Программа начинает работать, в строке сообщений (слева внизу листа) появляется сообщение Постановка задачи… Ваша таблица с моделью и параметрами алгоритма автоматически приводится к стандартам постановки задач математического программирования. Это преимущество Excel. В других пакетах Вам пришлось бы оторваться от экономической сути задачи и заниматься формальной математической постановкой задачи. После этапа постановки решается задача.
Чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу ESC. Microsoft Excel пересчитает лист с учётом найденных значений влияющих ячеек.
По окончании счёта появляется диалоговое окно Результаты поиска решения, рис. 5.
Рис. 5. Диалоговое окно Результаты поиска решения.
Поле Тип отчёта служит для указания типа отчёта, размещаемого на отдельном листе книги.
Отчёт Результаты используется для создания отчёта, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.
Отчёт Устойчивость используется для создания отчёта, содержащего сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле модели или в формулах ограничений. Такой отчёт не создаётся для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. В случае нелинейных моделей отчёт содержит данные для градиентов и множителей Лагранжа. В отчёт по нелинейным моделям включаются ограниченные затраты, фиктивные цены, а также диапазоны ограничений.
Отчёт Пределы используется для создания отчёта, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ. Такой отчёт не создаётся для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка, в то время как значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно верхним пределом называется наибольшее значение.
К сожалению, эти отчёты очень неудобны. Они перегружены плохо читаемыми абсолютными ссылками со знаками доллара. Желает лучшего и перевод с английского на русский.
Кнопка Сохранить сценарий служит для отображения диалогового окна Сохранение сценария , в котором можно сохранить сценарий решения задачи, чтобы использовать его в дальнейшем с помощью диспетчера сценариев Microsoft Excel. В поле Название сценария введите имя сценария. Чтобы создать сценарий, не сохраняя найденное решение и не отображая результатов на листе, сохраните сценарий в диалоговом окне Результаты поиска решения , а затем выберите Восстановить исходные значения.
Просмотр промежуточных результатов поиска решения
Режим пошагового решения задач используется при отладке моделей.
В диалоговом окне Поиск решения нажмите кнопку Параметры.
Чтобы получить возможность просмотра текущих значений влияющих ячеек каждой итерации, установите флажок Показывать результаты итераций, нажмите кнопку ОК, а затем кнопку Выполнить.
На экране появится диалоговое окно , рис. 6, а влияющие ячейки листа изменят свои значения.
Чтобы остановить поиск решения и вывести на экран диалоговое окно Результаты поиска решения, нажмите кнопку Стоп.
Рис.6. Диалоговое окно Текущее состояние поиска решения.
Чтобы выполнить следующую итерацию и просмотреть её результаты, нажмите кнопку Продолжить.
Возникающие проблемы и сообщения процедуры поиска решения
Оптимальное решение не найдено
Поиск решения может остановиться до достижения оптимального решения по следующим причинам.
Пользователь прервал процесс поиска.
Команда Показывать результаты итераций в диалоговом окне Параметры поиска решения выбрана перед Выполнить.
Пользователь нажал кнопку Стоп в режиме пошагового выполнения итераций, по истечении времени, отведённого на работу процедуры, или после выполнения заданного числа итераций.
Установлен флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры поиска решения, в то время как решаемая задача не линейна.
Значение, заданное в поле Установить целевую диалогового окна Поиск решения , неограниченно увеличивается или уменьшается. Необходимо уменьшить значения полей Максимальное время или Итерации в диалоговом окне Параметры поиска решения.
В случае задач, значения в которых ограничены множеством целых чисел, необходимо уменьшить значение в поле Допустимое отклонение диалогового окна Параметры поиска решения , что позволит найти лучшее решение.
В случае нелинейных задач необходимо уменьшить значение в поле Сходимость диалогового окна Параметры поиска решения , что позволит продолжать поиск решения, когда значение в целевой ячейке изменяется медленно.
Если значения влияющих ячеек или значения влияющей и целевой ячеек различаются на несколько порядков, необходимо установить флажок Автоматическое масштабирование в диалоговом окне Параметры поиска решения. Внесите нужные изменения и запустите процедуру поиска решения снова.
Если найденное решение нелинейной задачи существенно отличается от ожидаемого результата, запустите процедуру поиска решения с другими начальными значениями влияющих ячеек. Если задать такие значения влияющих ячеек, которые близко расположены от экстремальной точки целевой функции, можно значительно сократить время поиска решения.
Итоговые сообщения процедуры поиска решения
1. Если поиск решения успешно завершён, в диалоговом окне Результаты поиска решения
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.
Все ограничения соблюдены с установленной точностью и найдено заданное значение целевой ячейки.
Поиск свёлся к текущему решению. Все ограничения выполнены.
Относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций стало меньше установленного значения параметра Сходимость в диалоговом окне Параметры поиска решения . Чтобы найти более точное решение, установите меньшее значение параметра Сходимость , но это займёт больше времени.
2. Если поиск не может найти оптимальное решение, в диалоговом окне Результаты поиска решения выводится одно из следующих сообщений.
Поиск не может улучшить текущее решение. Все ограничения выполнены.
В процессе поиска решения нельзя найти такой набор значений влияющих ячеек, который был бы лучше текущего решения. Приблизительное решение найдено, но либо дальнейшее уточнение невозможно, либо заданная погрешность слишком высока. Измените погрешность на меньшее число и запустите процедуру поиска решения снова.
3. Поиск остановлен (истекло заданное на поиск время).
Время, отпущенное на решение задачи, исчерпано, но достичь удовлетворительного решения не удалось. Чтобы при следующем запуске процедуры поиска решения не повторять выполненные вычисления, установите переключатель Сохранить найденное решение или Сохранить сценарий .
4. Поиск остановлен (достигнуто максимальное число итераций).
Произведено разрешённое число итераций, но достичь удовлетворительного решения не удалось. Увеличение числа итераций может помочь, однако следует рассмотреть результаты, чтобы понять причины остановки. Чтобы при следующем запуске процедуры поиска решения не повторять выполненные вычисления установите переключатель Сохранить найденное решение или Сохранить сценарий .
5. Значения целевой ячейки не сходятся.
Значение целевой ячейки неограниченно увеличивается (или уменьшается), даже если все ограничения соблюдены.Возможно, следует в задаче снять одно ограничение или сразу несколько, или наложить дополнительные ограничения. Изучите процесс расхождения решения, проверьте ограничения и запустите задачу снова. Например, в задаче об оптимальных портфелях банков, если не наложить ограничение на портфель привлечения ресурсов, то банк как аферист будет занимать деньги до бесконечности.
6. Поиск не может найти подходящее решение.
В процессе поиска решения нельзя сделать итерацию, которая удовлетворяла бы всем ограничениям при заданной точности. Вероятно, ограничения противоречивы. Исследуйте лист на предмет возможных ошибок в формулах ограничений или в выборе ограничений.
7. Поиск остановлен по требованию пользователя.
Нажата кнопка Стоп в диалоговом окне Текущее состояние поиска решения после прерывания поиска решения в процессе выполнения итераций.
8. Условия для линейной модели не удовлетворяются.
Установлен флажок Линейная модель , однако итоговый пересчёт порождает такие значения, которые не согласуются с линейной моделью. Это означает, что решение недействительно для данных формул листа. Чтобы проверить линейность задачи, установите флажок Автоматическое масштабирование и повторно запустите задачу. Если это сообщение опять появится на экране, снимите флажок Линейная модель и снова запустите задачу.
9. При поиске решения обнаружено ошибочное значение в целевой ячейке или в ячейке ограничения.
При пересчёте значений ячеек обнаружена ошибка в одной формуле или в нескольких сразу. Найдите целевую ячейку или ячейку ограничения, порождающие ошибку, и измените их формулы так, чтобы они возвращали подходящее числовое значение.
Набрано неверное имя или формула в окне Добавить ограничение или окне Изменить ограничение или в поле Ограничения были заданы целое или двоичное ограничение. Чтобы ограничить значения ячейки множеством целых чисел, выберите оператор целого ограничения в списке условных операторов. Чтобы установить двоичное ограничение, выберите оператор для двоичного ограничения.
10. Мало памяти для решения задачи.
Система не смогла выделить память, необходимую для поиска решения. Закройте некоторые файлы или приложения, и попытайтесь снова выполнить процедуру поиска решения.
Примеры выполнения задач
ПРИМЕР № 1
Для изготовления четырёх видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
Какое количество продукции каждого вида должно изготовляться, чтобы доход от реализации был максимальным?
1. Формулировка математической модели задачи :
· переменные для решения задачи: x 1 – суточный объём изготовления продукции А, x 2 – суточный объём изготовления продукции Б, x 3 – суточный объём изготовления продукции В, x 4 – суточный объём изготовления продукции Г;
· определение функции цели (критерия оптимизации). Суммарная суточная прибыль от изготовления всех видов продукции равна:
F=12* x 1 +7* x 2 +18* x 3 +10* x 4,
поэтому цель состоит в том, чтобы среди всех допустимых значений x 1, x 2, x 3, x 4 найти такие, которые максимизируют суммарную прибыль от изготовления продуктов F:
· ограничения на переменные:
1. объём производства продукции не может быть отрицательным, т. е.
2. расход исходного продукта для изготовления всех видов продукции не может превосходить максимально возможного запаса данного исходного продукта, т. е.
Таким образом, получаем следующую математическую модель задачи:
· Найти максимум следующей функции:
F=12* x 1 +7* x 2 +18* x 3 +10* x 4 max;
· При ограничениях вида:
1* x 1 +2* x 2 +1* x 3 +0* x 4 ≤ 18,
1* x 1 +1* x 2 +2* x 3 +1* x 4 ≤ 30,
1* x 1 +3* x 2 +3* x 3 +2* x 4 ≤ 40,
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0;
2. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений – на рабочий лист вводим необходимый текст, данные и формулы в соответствии с рис. 7. Переменные задачи x 1, x 2, x 3, x 4 находятся соответственно в C3, С4, С5, С6 . Целевая функция находится в ячейке С8 и содержит формулу:
12*C3+7*C4+18*C5+10*C6
Ограничения на задачу учтены в ячейках С10:С12.
3. Работа с надстройкой Поиск решения – воспользовавшись командой Сервис | Поиск решения, вводим необходимые данные для рассматриваемой задачи (установка данных в окне Поиск решения приведена на рис. 8). Результат работы по поиску решения помещён на рис. 9 – 14.
Рис. 7. Рабочий лист MS Excel для решения задачи .
Рис. 8. Установка необходимых параметров задачи в окне Поиск решения .
Рис.9. Результаты расчёта надстройки Поиск решения.
Рис. 10. Отчёт по результатам поиска решения.
Рис. 11. Отчёт по устойчивости поиска решения.
Рис. 12. Отчёт по пределам поиска решения.
ВЫВОД : из решения видно, что оптимальный план выпуска предусматривает изготовление продукции видов "А" и "Г". А продукцию видов "Б" и "В" производить не стоит. Полученная Вами прибыль составит 326 усл. ед.
ПРИМЕР № 2
Задача распределения ресурсов
Предприятие изготавливает и продает краску двух видов: для внутренних и внешних работ. Для производства краски используется два исходных продукта A и B. Расходы продуктов A и B на 1 т. соответствующих красок и запасы этих продуктов на складе приведены в таблице:
Продажная цена за 1 тонну краски для внутренних работ составляет 2 000 рублей, краска для наружных работ продается по 1 000 рублей за 1 тонну. Требуется определить какое количество краски каждого вида следует производить предприятию, чтобы получить максимальный доход.
Рассмотрим поэтапное решение этой задачи графическим способом с использованием процедуры « Поиск решения » Excel.
I. Составление математической модели задачи.
1) Переменные задачи.
Обозначим: x 1 - количество производимой краски для
внутренних работ;
x 2 - соответствующее количество краски
для наружных работ.
2) Ограничения, которым должны удовлетворять переменные задачи:
по расходу продукта A: x 1 + 2x 2 3;
по расходу продукта B: 3x 1 + x 2 3;
В левых частях последних двух неравенств определены расходы продуктов A и B, а в правых частях неравенств записаны запасы этих продуктов.
3) Целевая функция задачи.
Обозначим Z доход от продажи краски (в тысячах рублей), тогда целевая функция задачи записывается так:
Z = 2x 1 + x 2 ,
таким образом, задача состоит в том, чтобы найти max Z=2x 1 +x 2 , при ограничениях:
x 1 + 2x 2 3 (A)
3x 1 + x 2 3 (B)
x 1 , x 2 0 .
Так как переменные задачи x 1 и x 2 входят в целевую функцию и ограничения задачи линейно , то соответствующая задача оптимизации называется задачей линейного программирования (ЛП)
В рассматриваемом примере содержатся только две переменные x 1 и x 2 , поэтому задачу можно решить графически.
1) На плоскости x 1 , x 2 строим область допустимых значений переменных, определяемую ограничениями задачи:
x 1 + 2x 2 3 (A)
3x 1 + 1x 2 3 (B)
x 1 , x 2 0 .
Последнее ограничение определяет первый квадрант плоскости. Чтобы построить множество точек удовлетворяющих неравенству (А) нанесем на плоскость график прямой, определяющий границу этого множества: x 1 +2x 2 =3 (A).
Линии уровня целевой функции. Линией уровня называется множество точек, на которых функция принимает постоянное значение:
Z = 2x 1 + x 2 = К,
где К - задаваемая постоянная.
При К = 1 уравнение линии уровня будет:
2x 1 + x 2 = 1
или (в отрезках) :
При К = 2, аналогично:
2x 1 + x 2 = 2 , или .
Нанеся линии уровня на область допустимых решений (рис.13), получим, что при увеличении значения Z соответствующая линия уровня перемещается параллельно предыдущей вправо и вверх. Таким образом, точкой из многоугольника ABCD в которой целевая функция Z имеет максимальное значение будет вершина С. Эта точка и определяет решение задачи.
| |
Ввод условий задачи состоит из следующих основных шагов:
Создание формы для ввода условий задачи.
Ввод исходных данных.
Ввод зависимостей из математической модели.
Назначение целевой функции.
ввод ограничений и граничных условий.
Ход решения задачи:
Форма для ввода условий задачи:
|
Переменные |
||||||
|
Значение |
||||||
|
Коэффициент в целевой функции |
(формула) |
|||||
|
Ограничения |
||||||
|
Коэффициенты в ограничениях |
Правая часть ограничения |
|||||
Поочередно в представленную форму заносятся коэффициенты целевой функции, ограничений, их знаки, формулы описания целевой функции и ограничений, представленные в математической модели задачи.
Для описания формулы целевой функции и ограничений используется диалоговое окно Мастер функций; категория функций – математические; функция СУММПРОИЗВ. (в диалоговом окне в массиве 1 указывается интервал ячеек значения переменной В3:С3, в массиве 2 – коэффициенты при этих переменных. В функции это интервал ячеек В4:С4, в ограничениях – В8:C8, В9:C9 и т.д.)
Решение задачи осуществляется с использованием команд Сервис, Поиск решения…
В диалоговом окне Поиск решения заполняем строки, указывая адреса ячеек:
Целевая функция: Е4
Равная: max (min)
Изменяя ячейки: указывается месторасположения переменных (В3:C3)
Ограничения: с использованием клавиши Добавить записываются адреса ячеек с указанием условий ограничений (например: D8>= F8 и т.д.). Обязательным является ввод ограничения целочисленного решения.
Если при вводе задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это осуществляется с помощью команд Изменить.., Удалить.
Для получения оптимального решения задачи линейного программирования в Поиске решения задействуется клавиша Параметры…:
Максимальное время: 100 сек
Предельное число итераций: 100
Относительная погрешность 0,000001
Допустимое отклонение: 5%
Устанавливаем флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода.
В появившемся окне Поиск решения выполняем команду Выполнить.
Решение найдено, результат оптимального решения приведен в исходной таблице.
Решение задач линейного программирования в Excel
Используя данные прямой двойственной задачи, решите ее в системе Excel, с помощью следующих таблиц
Переменные
Ограничения
|
Вид ресурса |
Коэффициенты в ограничениях |
Левая часть ограничения (формула) |
Правая часть ограничения |
||
В Excel 2007 для включения пакета анализа надо нажать перейти в блок Параметры Excel , нажав кнопку в левом верхнем углу, а затем кнопку «Параметры Excel » внизу окна:
Далее в открывшемся списке нужно выбрать Надстройки
, затем установить курсор на пункт Поиск решения
, нажать кнопку Перейти
и в следующем окне включить пакет анализа.
Для того чтобы решить задачу ЛП в табличном процессоре Microsoft Excel , необходимо выполнить следующие действия:
1. Ввести условие задачи:
a) создать экранную форму для ввода условия задачи :
· переменных,
· целевой функции (ЦФ),
· ограничений,
· граничных условий;
b) ввести исходные данные в экранную форму :
· коэффициенты ЦФ,
· коэффициенты при переменных в ограничениях,
· правые части ограничений;
c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму :
· формулу для расчета ЦФ,
· формулы для расчета значений левых частей ограничений;
d) задать ЦФ (в окне "Поиск решения" ):
· целевую ячейку,
· направление оптимизации ЦФ;
e) ввести ограничения и граничные условия (в окне "Поиск решения" ):
· ячейки со значениями переменных,
· граничные условия для допустимых значений переменных,
· соотношения между правыми и левыми частями ограничений.
2. Решить задачу:
a) установить параметры решения задачи (в окне "Поиск решения" );
b) запустить задачу на решение (в окне "Поиск решения" ) ;
c) выбрать формат вывода решения (в окне "Результаты поиска решения" ).
Рассмотрим подробно использование MS Excel на примере решения следующей задачи.
Задача.
Фабрика "GRM pic" выпускает два вида каш для завтрака - "Crunchy" и "Chewy". Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основ-ном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.
Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать план производства на месяц. В приведенной ниже таблице указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т продукта.
|
Цех |
Необходимый фонд рабочего времени чел.-ч/т |
Общий фонд рабочего времени чел.-ч. в месяц |
|
|
"Crunchy" |
"Chewy" |
||
|
А. Производство |
10 |
4 |
1000 |
|
В. Добавка приправ |
3 |
2 |
360 |
|
С. Упаковка |
2 |
5 |
600 |
Доход от производства 1 т "Crunchy" составляет 150 ф. ст., а от производства "Chewy" - 75 ф, ст. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж. Имеется возможность продать всю произведенную продукцию.
Требуется:
а) Сформулировать модель линейного программирования, максимизи-рующую общий доход фабрики за месяц.
б) Решить ее c помощью MS Excel.
Формальная постановка данной задачи имеет вид:
(1)
Ввод исходных данных
Создание экранной формы и ввод исходных данных
Экранная форма для решения в MS Excel представлена на рисунке 1. 
Рисунок 1.
В экранной форме на рисунке 1 каждой переменной и каждому коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка на листе Excel. Имя ячейки состоит из буквы, обозначающей столбец, и цифры, обозначающей строку, на пересечении которых находится объект задачи ЛП. Так, например, переменным задачи 1 соответствуют ячейки B4
(), C4
(), коэффициентам ЦФ соответствуют ячейки B6
(150), C6
(75), правым частям ограничений соответствуют ячейки
D
18
(1000), D
19
(360), D
20
(600) и т.д.
Ввод зависимостей из формальной постановки задачи в экранную форму
Для ввода зависимостей определяющих выражение для целевой функции и ограничений используется функция MS Excel СУММПРОИЗВ , которая вычисляет сумму попарных произведений двух или более массивов.
Одним из самых простых способов определения функций в MS Excel является использование режима "Вставка функций",
который можно вызвать из меню "Вставка"
или при нажатии кнопки "
Рисунок 2
Так, например, выражение для целевой функции из задачи 1 определяется следующим образом:
· курсор в поле D 6;
· нажав кнопку "
· в окне "Функция"
выберитефункцию СУММПРОИЗВ
(рис. 3);
Рисунок 3
· в появившемся окне "СУММПРОИЗВ"
в строку "Массив 1"
введите выражение B
$4:
C
$4
, а в строку "Массив 2"
- выражение B
6:
C
6
(рис. 4);
Рисунок 4
Левые части ограничений задачи (1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B 3, C 3 ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (B 13, C 13 - 1-е ограничение; B 14, С14 - 2-е ограничение и B 15, С15 - 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, представлены в табл.1.
Таблица 1.
Формулы, описывающие ограничения модели (1)
|
Левая часть ограничения |
Формула Excel |
|
|
=СУММПРОИЗВ(B 4: C 4; B 13: C 13)) |
|
|
=СУММПРОИЗВ(B 4: C 4; B 14: C 14)) |
|
|
=СУММПРОИЗВ(B 4: C 4; B 15: C 15) |
Задание ЦФ
Дальнейшие действия производятся в окне "Поиск решения" , которое вызывается из меню "Сервис" (рис.5):
· поставьте курсор в поле "Установить целевую ячейку" ;
· введите адрес целевой ячейки $ D $6 или сделайте одно нажатие левой клавиши мыши на целевую ячейку в экранной форме ¾ это будет равносильно вводу адреса с клавиатуры;
· введите направление оптимизации ЦФ, щелкнув один раз левой клавишей мыши по селекторной кнопке "максимальному значению".
Рисунок 5
Ввод ограничений и граничных условий
Задание ячеек переменных
В окно "Поиск решения"
в поле "Изменяя ячейки"
впишите адреса $
B
$4:$С$4
. Необходимые адреса можно вносить в поле "Изменяя ячейки"
и автоматически путем выделения мышью соответствующих ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
Задание граничных условий для допустимых значений переменных
В нашем случае на значения переменных накладывается только граничное условие неотрицательности, то есть их нижняя граница должна быть равна нулю (см. рис. 1).
· Нажмите кнопку "Добавить" , после чего появится окно "Добавление ограничения" (рис.6).
· В поле "Ссылка на ячейку" введите адреса ячеек переменных $ B $4:$С$4 . Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью всех ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
· В поле знака откройте список предлагаемых знаков и выберите .
· В поле "Ограничение"
введите 0.
Рис.6 - Добавление условия неотрицательности переменных задачи (1)
Задание знаков ограничений
,
, =
· Нажмите кнопку "Добавить" в окне "Добавление ограничения" .
· В поле "Ссылка на ячейку" введите адрес ячейки левой части конкретного ограничения, например $ B $18 . Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью нужной ячейки непосредственно в экранной форме.
· В соответствии с условием задачи (1) выбрать в поле знака необходимый знак, например, .
· В поле "Ограничение" введите адрес ячейки правой части рассматриваемого ограничения, например $ D $18 .
· Аналогично введите ограничения: $ B $19<=$ D $19 , $ B $20<=$ D $20 .
· Подтвердите ввод всех перечисленных выше условий нажатием кнопки OK .
Окно "Поиск решения" после ввода всех необходимых данных задачи (1) представлено на рис. 5.
Если при вводе условия задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это делают, нажав кнопки "Изменить"
или "Удалить"
(см. рис. 5).
Решение задачи
Установка параметров решения задачи
Задача запускается на решение в окне "Поиск решения".
Но предварительно для установления конкретных параметров решения задач оптимизации определенного класса необходимо нажать кнопку "Параметры"
и заполнить некоторые поля окна "Параметры поиска решения"
(рис. 7).
Рис. 7 - Параметры поиска решения, подходящие для большинства задач ЛП
Параметр "Максимальное время" служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).
Параметр "Предельное число итераций" служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее 32 767.
Параметр "Относительная погрешность" служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.
Параметр "Допустимое отклонение" служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.
Параметр "Сходимость" применяется только при решении нелинейных задач.Установка флажка "Линейная модель" обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода.
Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки "
OK
"
.
Запуск задачи на решение
Запуск задачи на решение производится из окна "Поиск решения" путем нажатия кнопки "Выполнить".
После запуска на решение задачи ЛП на экране появляется окно "Результаты поиска решения"
с сообщением об успешном решении задачи, представленном на рис. 8.
Рис. 8 -. Сообщение об успешном решении задачи
Появление иного сообщения свидетельствует не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условий задачи в Excel были допущены ошибки , не позволяющие Excel найти оптимальное решение, которое в действительности существует.
Если при заполнении полей окна "Поиск решения" были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра "Относительная погрешность" не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.
В окне "Результаты поиска решения"
представлены названия трех типов отчетов: "Результаты", "Устойчивость", "Пределы"
. Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность. Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку "
OK
".
После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис. 9).
Рис.9 - Экранная форма задачи (1) после получения решения
Рассмотрим пример задачи линейного программирования.
Требуется определить, в каком количестве надо выпустить продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены на рис. 1.
| Ресурс | Прод1 | Прод2 | Прод3 | Прод4 | Знак | Наличие |
| Прибыль | ||||||
| Трудовые | ||||||
| Сырье | ||||||
| Финансы |
Рисунок 1.
Математическая модель задачи имеет вид:
где x j – количество выпускаемой продукции j-го типа; F – функция цели; в левых частях выражений ограничений указаны величины потребного ресурса , а правые части показывают количество имеющегося ресурса .
Ввод условий задачи
Для решения задачи с помощью Excel следует создать форму для ввода исходных данных и ввести их. Форма ввода показана на рис. 2.
В ячейку F6 введено выражение целевой функции как суммы произведений значений прибыли от выпуска единицы продукции каждого типа на количество выпускаемой продукции соответствующего типа. Для наглядности на рис. 3 представлена форма ввода исходных данных в режиме вывода формул.
В ячейки F8:F10 введены левые части ограничений для ресурсов каждого вида.
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Решение задачи линейного программирования
Для решения задач линейного программирования в Excel используется мощный инструмент, называемый Поиск решения . Обращение к Поиску решения осуществляется из меню Сервис , на экран выводится диалоговое окно Поиска решения (рис. 4).
Рисунок 4.
Ввод условий задачи для поиска ее решения состоит из следующих шагов:
1 Назначить целевую функцию, для чего установить курсор в поле Установить целевую ячейку окна Поиск решения и щелкнуть в ячейке F6 в форме ввода;
2 Включить переключатель значения целевой функции, т.е. указать ее Равной Максимальному значению ;
3 Ввести адреса изменяемых переменных (x j): для этого установить курсор в поле Изменяя ячейки окна Поиск решения, а затем выделить диапазон ячеек B3:E3 в форме ввода;
4 Нажать кнопку Добавить окна Поиск решения для ввода ограничений задачи линейного программирования; на экран выводится окно Добавление ограничения (рис. 5) :
Ввести граничные условия для переменных x j (x j ³0), для этого в поле Ссылка на ячейку указать ячейку В3, соответствующую х 1 , выбрать из списка нужный знак (³), в поле Ограничение указать ячейку формы ввода, в которой хранится соответствующее значение граничного условия, (ячейка В4), нажать кнопку Добавить ; повторить описанные действия для переменных х 2 , х 3 и х 4 ;
Ввести ограничения для каждого вида ресурса, для этого в поле Ссылка на ячейку окна Добавление ограничения указать ячейку F9 формы ввода, в которой содержится выражение левой части ограничения, наложенного на трудовые ресурсы, в полях Ограничение указать знак £ и адрес Н9 правой части ограничения, нажать кнопку Добавить ; аналогично ввести ограничения на остальные виды ресурсов;
После ввода последнего ограничения вместо Добавить нажать ОК и возвратиться в окно Поиск решения.
Рисунок 5.
Решение задачи линейного программирования начинается с установки параметров поиска:
В окне Поиск решения нажать кнопку Параметры , на экран выводится окно Параметры поиска решения (рис. 6);
Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода;
Указать предельное число итераций (по умолчанию – 100, что подходит для решения большинства задач);
Установить флажок , если необходимо просмотреть все этапы поиска оптимального решения;
Нажать ОК , возврат в окно Поиск решения .
Рисунок 6.
Для решения задачи нажать кнопку Выполнить в окне Поиск решения , на экране – окно Результаты поиска решения (рис. 7), в котором содержится сообщение Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Если условия задачи несовместны, то выводится сообщение Поиск не может найти подходящего решения . Если целевая функция не ограничена, то появляется сообщение Значения целевой ячейки не сходятся .
Рисунок 7.
Для рассматриваемого примера решение найдено и результат оптимального решения задачи выводится в форме ввода: значение целевой функции, соответствующее максимальной прибыли и равное 1320, указывается в ячейке F6 формы ввода, оптимальный план выпуска продукции х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 указывается в ячейках В3:С3 формы ввода (рис. 8).
Количество использованных для выпуска продукции ресурсов выводится в ячейки F9:F11: трудовых – 16, сырья – 84, финансов – 100.
Рисунок 8.
Если при установке параметров в окне Параметры поиска решения (рис. 6) был установлен флажок Показывать результаты итераций , то будут показаны последовательно все шаги поиска. На экран будет выводиться окно (рис. 9). При этом текущие значения переменных и функции цели будут показаны в форме ввода. Так, результаты первой итерации поиска решения исходной задачи представлены в форме ввода на рисунке 10 .
Рисунок 9.
Рисунок 10.
Чтобы продолжить поиск решения, следует нажимать кнопку Продолжить в окне Текущее состояние поиска решения .
Анализ оптимального решения
Прежде чем, перейти к анализу результатов решения, представим исходную задачу в форме
введя дополнительные переменные у i , представляющие собой величины неиспользованных ресурсов.
Составим для исходной задачи двойственную задачу и введем дополнительные двойственные переменные v i .
Анализ результатов поиска решения позволит увязать их с переменными исходной и двойственной задач.
С помощью окна Результаты поиска решения можно вызвать отчеты трех типов, позволяющие анализировать найденное оптимальное решение:
Результаты,
Устойчивость,
Пределы.
Для вызова отчета в поле Тип отчета выделить название нужного типа и нажать ОК .
1 Отчет по результатам (рис. 11) состоит из трех таблиц:
Таблица 1 содержит сведения о целевой функции; в столбце Исходно указывается значение целевой функции до начала вычислений;
Таблица 2 содержит значения искомых переменных x j , полученных в результате решения задачи (оптимальный план выпуска продукции);
Таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.
Для Ограничений в графе Формула приведены зависимости, которые были введены при задании ограничений в окне Поиск решения ; в графе Значение указаны величины использованного ресурса; в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Состояние выводится сообщение связанное ; при неполном использовании ресурса в этой графе указывается не связан. Для Граничных условий приводятся аналогичные величины с той лишь разницей, что вместо неиспользованного ресурса показана разность между значением переменной x j в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием (x j ³0).
Именно в графе Разница можно увидеть значения дополнительных переменных y i исходной задачи в формулировке (2). Здесь у 1 =у 3 =0, т.е. величины неиспользованных трудовых и финансовых ресурсов равны нулю. Эти ресурсы используются полностью. Вместе с тем, величина неиспользованных ресурсов для сырья у 2 =26, значит, имеются излишки сырья.
Рисунок 11.
2 Отчет по устойчивости (рис. 12)состоит из двух таблиц.
В таблице 1 приводятся следующие значения:
Результат решения задачи (оптимальный план выпуска);
- Нормир. стоимость , т.е. величины, показывающие, насколько изменится целевая функция при принудительном включении единицы продукции соответствующего типа в оптимальный план;
Коэффициенты целевой функции;
Предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется оптимальный план выпуска.
В таблице 2 содержатся аналогичные данные для ограничений:
Величины использованных ресурсов;
- Теневая цена , показывающая, как изменится целевая функция при изменении величины соответствующего ресурса на единицу;
Допустимые значения приращений ресурсов, при которых сохраняется оптимальный план выпуска продукции.
Рисунок 12.
Отчет по устойчивости позволяет позволяет получить двойственные оценки.
Как известно, двойственные переменные z i показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурса i-го типа на единицу. В отчете Excel двойственная оценка называется Теневой ценой .
В нашем примере сырье не используется полностью и его ресурс у 2 =26. Очевидно, что увеличение количества сырья, например, до 111 не повлечет за собой увеличения целевой функции. Следовательно, для второго ограничения двойственная переменная z 2 =0. Таким образом, если по данному ресурсу есть резерв, то дополнительная переменная будет больше нуля, а двойственная оценка этого ограничения равна нулю.
В рассматриваемом примере трудовые ресурсы и финансы использовались полностью, поэтому их дополнительные переменные равны нулю (у 1 =у 3 =0). Если ресурс используется полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции, и следовательно, на величину целевой функции. Двойственные оценки ограничений на трудовые и финансовые ресурсы отличны от нуля, т.е. z 1 =20, z 3 =10.
Значения двойственных оценок находим в Отчете по устойчивости , в таблице 2, в графе Теневая цена .
При увеличении (уменьшении) трудовых ресурсов на единицу целевая функция увеличится (уменьшится) на 20 единиц и будет равна
F=1320+20×1=1340 (при увеличении).
Аналогично, при увеличении объема финансов на единицу целевая функция будет
F=1320+10×1=1330.
Здесь же, в графах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение таблицы 2, показаны допустимые пределы изменения количества ресурсов j-го вида. Например, для при изменении приращения величины трудовых ресурсов в пределах от –6 до 3,55, как показано в таблице, структура оптимального решения сохраняется, т.е наибольшую прибыль обеспечивает выпуск Прод1 и Прод3, но в других количествах.
Дополнительные двойственные переменные также отражены в Отчете по устойчивости в графе Нормир. стоимость таблицы 1.
Если основные переменные не вошли в оптимальное решение, т.е. равны нулю (в примере х 2 =х 4 =0), то соответствующие им дополнительные переменные имеют положительные значения (v 2 =10, v 4 =20). Если же основные переменные вошли в оптимальное решение (х 1 =10, х 3 =6), то их дополнительные двойственные переменные равны нулю (v 1 =0, v 3 =0).
Эти величины показывают, насколько уменьшится (поэтому знак минус в значениях переменных v 2 и v 4) целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Следовательно, если мы захотим принудительно выпустить единицу продукции вида Прод3, то целевая функция уменьшится на 10 единиц и будет равна 1320 -10×1 =1310.
Обозначим через Dс j изменение коэффициентов целевой функции в исходной модели (1). Эти коэффициенты определяют прибыль, получаемую при реализации единицы продукции j-го вида.
В графах Допустимое увеличение и Допустимое Уменьшение таблицы 1 Отчета по устойчивости показаны пределы изменения Dс j , при которых сохраняется структура оптимального плана, т.е. будет выгодно по-прежнему выпускать продукцию вида Продj. Например, при изменении Dс 1 в пределах -12£ Dс 1 £ 40, как показано в отчете, по-прежнему будет выгодно выпускать продукцию вида Прод1. При этом значение целевой функции будет F=1320+x 1 ×Dс j =1320+10×Dс j .
3 Отчет по пределам приведен на рис. 13. В нем показывается, в каких пределах могут изменяться значения x j , вошедшие в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Кроме этого, для каждого типа продукции приводятся значения целевой функции, получаемые при подстановке в оптимальное решение значения нижнего предела выпуска изделий соответствующего типа при неизменных значениях выпуска остальных типов. Например, если при оптимальном решении х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 положить х 1 =0 (нижний предел) при неизменных х 2 , х 3 и х 4 , то значение целевой функции будет равно 60×0+70×0+120×6+130×0=720.
Решим данную задачу графическим методом в табличном редакторе Microsoft Excel (рис. 1). Для построения ОДР, и линий уровня воспользуемся Мастером диаграмм . ОДР представляет собой многоугольник с вершинами в точках: (0;0), (0;6), (2;5), (4;3), (5;0).
При перемещении линии уровня в направлении вектора получаем оптимальное решение в точке с координатами (2;5).
Аналогичным образом можно решить данную задачу графическим методом в табличном редакторе OpenOffice.org Calc воспользовавшись пунктом меню Диаграмма .
Решение ЗЛП в Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc с помощью встроенной функции Поиск решения
В табличном процессоре Microsoft Excel существует встроенная функция Поиск решения , с помощью которой можно решить задачу линейного программирования. Если данный модуль установлен, его можно запустить выбрав команду Сервис/Поиск решения (рис. 2). На экране появится диалоговое окно Поиск решения (рис. 3).
Р и с. 2. Р и с. 3.
Если такого пункта в меню Сервис не оказалось, следует загрузить соответствующую программу-надстройку. Для этого выберите команду Сервис/Надстройки (рис. 4) и в диалоговом окне Надстройки установите флажок в строке Поиск решения (рис. 5).
Разберем решение ЗЛП с помощью функции Поиск решения на примере задачи 1.
1. Создадим таблицу для ввода исходных данных: переменных, целевой функции, ограничений.
2. Введем начальные нулевые значения для и .
3. Зададим целевую функцию в ячейке D41 и ограничения в ячейках Е39, Е40 и E41 (рис. 6).
Р и с. 4. Р и с. 5.
4. Выберем команду Сервис/Поиск решения , в открывшемся окне Поиск решения установим целевую ячейку D41, зададим условие отыскания максимального значения (рис. 7).
5. В поле Изменяя ячейки установим ссылку на ячейки С40 и С41, которые будут изменены (можно ввести адреса или имена ячеек с клавиатуры или указать диапазон ячеек на рабочем листе с помощью мыши). При щелчке на кнопке Предположить автоматически выделяются ячейки, на которые есть прямая или косвенная ссылка в формуле целевой ячейки (рис. 7).
6. Определим ограничения, для этого щелчком по кнопке Добавить откроем диалоговое окно Добавление ограничения . Введем ограничения для ячеек E39, E40, E41. Ограничения можно задать как для изменяемых ячеек, так и для целевой ячейки, а также для других ячеек, прямо или косвенно присутствующих в модели (рис. 8, 9).
Р и с. 8. Р и с. 9.
7. Щелчком на кнопке Параметры откроем диалоговое окно Параметры поиска решения . В данном окне выберем линейную модель и неотрицательные значения (неотрицательные значения для ячеек С40 и С41 можно было также установить при определении ограничений). Подробнее узнать о задаваемых параметрах можно щелкнув на кнопке Справка (рис. 10).
8. После того как все параметры и ограничения заданы, запускаем поиск решения, щелкнув на кнопке Выполнить (рис. 9). По мере того как идет поиск, отдельные его шаги отражаются в строке состояния. Когда поиск будет закончен, в таблицу будут внесены новые значения и на экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения , сообщающие о завершении операции (рис. 11).
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Сохраним найденное решение. В этом случае таблица будет обновлена. В случае необходимости всегда можно будет восстановить исходные данные с помощью отчета. Для выбора типа отчета достаточно выделить название нужного отчета в списке Тип отчета (или несколько названий, удерживая нажатой клавишу Сtrl ). Они будут вставлены на отдельных листах в рабочую книгу перед листом с исходными данными.
Предлагаемые отчеты содержат следующую информацию:
отчет Результаты содержит сведения о начальных и текущих значениях целевой ячейки и изменяемых ячеек, а также о соответствии значений заданным ограничениям;
отчет Устойчивость отражает найденный результат, а также нижние и верхние предельные значения для изменяемых ячеек;
отчет Пределы показывает зависимость решений от изменения формулы или ограничений.
Если планируется использовать созданную модель в дальнейшем, найденное решение можно сохранить как сценарий. Для этого в диалоговом окне Результаты поиска решения необходимо щелкнуть на кнопке Сохранить сценарий .
Аналогично Поиск решения осуществляется в OpenOffice.org Calc.
Задание
1. Решить задачи 2 и 3 графическим методом.
2. Решить задачи 2 и 3 в редакторе Microsoft Excel или OpenOffice.org Calc используя встроенную функцию Поиск решения .
3. Сравнить и проанализировать полученные результаты.
4. Ответить на контрольные вопросы.
5. Оформить отчет.
Задача 2. Фармацевтическая фирма Ozark ежедневно производит не менее 800 фунтов некой пищевой добавки – смеси кукурузной и соевой муки, состав которой представлен в таблице 2.
Таблица 2
Диетологи требуют, чтобы в пищевой добавке было не менее 30% белка и не более 5% клетчатки. Фирма Ozark хочет определить рецептуру смеси минимальной стоимости с учетом требований диетологов.
Задача 3. Предприятие, специализирующееся на производстве трикотажного полотна двух видов, использует для своего производства четыре вида сырья (шерстяную, хлопковую, вискозную, и акриловую нити), запасы которого на планируемый период составляют соответственно 80, 80, 260 и 410 бобин. В приведенной ниже таблице даны технологические коэффициенты, т.е. расход каждого вида сырья на производство одного метра каждого вида трикотажа.
Таблица 3
Прибыль от реализации 1м трикотажного полотна первого вида составляет 2 у.е., а трикотажного полотна второго вида 3 у.е. Необходимо определить оптимальный план выпуска трикотажного полотна первого и второго вида, чтобы обеспечить максимальную прибыль от их реализации.
Контрольные вопросы
1. Что означает составить математическую модель ЗЛП?
2. Из каких этапов состоит графический метод решения ЗЛП?
3. Какова геометрическая интерпретация решения системы линейных неравенств с двумя переменными?
4. Как определяется направление наискорейшего возрастания целевой функции?
5. Какое решение называется оптимальным решением ЗЛП?
6. В каком случае ЗЛП имеет множество решений?
7. При каких условиях ЗЛП может быть неразрешима?
8. Как установить модуль Поиск решения ?
9. Для чего предназначена кнопка Предположить в окне Поиск решения ?
10. Какие типы отчетов можно получить при решении ЗЛП с помощью встроенной функции Поиск решения ?
Лабораторная работа №2
Симплексный метод. Задача определения оптимального плана выпуска продукции. Использование встроенных функций редакторов Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc для построения математической модели и решения ЗЛП.
Цель лабораторного занятия:
Приобретение навыков решения ЗЛП симплекс-методом. Освоение приемов записи математической модели ЗЛП с большим количеством неизвестных в табличных редакторах Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc с помощью встроенной функций СУММПРОИЗВ. Приобретение навыков решения ЗЛП с большим количеством неизвестных с помощью функции Поиск решения .
Задачи лабораторного занятия:
1. Освоение симплекс-метода решения ЗЛП.
2. Построение математической модели задачи в табличных редакторах Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc с помощью встроенной функций СУММПРОИЗВ.
3. Нахождение максимума (минимума) целевой функции с помощью команды Поиск решения .
4. Анализ полученных результатов.
5. Оформление отчета.
1. Краткие теоретические сведения.
2. Решение ЗЛП симплекс методом без использования табличных редакторов.
3. Решение ЗЛП на определение оптимального плана выпуска продукции в Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc с помощью встроенной функции Поиск решения .
4. Задание.
5. Контрольные вопросы.
Краткие теоретические сведения
В основу симплекс-метода (симплексного метода) легла идея последовательного улучшения решения.
Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная целевая функция принимает лучшее или, по крайней мере, не худшее значение. Этот процесс осуществляется до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где достигается оптимальное значение целевой функции (если задача имеет конечный оптимум).
Реализация симплекс-метода предусматривает содержание трех основных элементов:
1. Определение какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи (базисное решение называется допустимым, если значения, входящих в него переменных неотрицательны);
2. Правила перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;
3. Критерий проверки оптимальности найденного решения.
Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.
Практические расчеты при решении прикладных задач симплексным методом выполняются в настоящее время с помощью компьютерных программ, таких как табличный процессор Microsoft Excel, пакеты прикладных программ MathCAD, Math Lab и др. Однако, если расчеты осуществляются вручную, удобно использовать так называемые симплексные таблицы.
