Фильтры. Отсекая лишнее. Журнал "Автозвук". Активные фильтры на основе оу Формулы расчета фильтров на операционных усилителях

Фильтры предназначены для избирательного выделения полезного сигнала из смеси шумов, помех и самого сигнала. Фильтры характеризуются полосой пропускания, резонансной частотой, эффективностью выделения/ослабле- ния полезного/мешающего сигнала.

Фильтры являются одними из самых распространенных и значимых узлов радиоэлектронной аппаратуры. Они позволяют:

♦ выделить необходимую пользователю информацию из зашумленного сигнала;

♦ улучшить соотношение сигнал/шум;

♦ повысить качество сигнала.

По назначению известны фильтры:

♦ высоких (верхних) частот;

♦ низких (нижних) частот;

♦ полосовые;

♦ узкополосные;

♦ широкополосные;

♦ режекторные (заграждающие) и пр.

ОУ .

На рис. 38.1 приведена типовая низких частот и ему соответствующая АЧХ.

Рассмотрим основные типы фильтров, выполненных с применением

Как известно, коэффициент передачи ОУ, включенного по схеме, рис. 38.2, определяется как 1+R3/R4. Для реализации типового фильтра нижних частот необходимо выполнение условий:

Рис. 38.2. Пример практической реализации низких частот

С1=С2=С, R1=R2,Тогда

частоту среза фильтра можно определить из приближенного соотношения: ДГц]=10/С[мкФ], рис. 38.3. Аналогичный вывод можно получить для расчета фильтра высоких частот.

Соединив последовательно фильтр нижних и верхних частот, можно получить , которого представлена на рис. 38.9.

Рис. 38.7. Пример практической реализации высоких частот

Примечание.

Отклонение номиналов прецизионных элементов фильтров от рекомендованных (расчетных) значений не должно превышать 7 %. Отметим, что для построения фильтра можно использовать ‘прецизионные элементы ( , резисторы) равного номинала, включенные для получения значений R/2 и 2С параллельно.

♦ выходного усилителя (DA 1.2);

Частоты среза, от…до

Напряжение питания

Таблица 38.1 (продолжение)

Частоты среза, от…до

Напряжение питания

Полосовые линейные фильтры 2-го(*4-го;**8-го) порядка

с программ ированием: корпус DIP, WideSO; 2(**4) элемента в корпусе Таблица 38.2

Частоты среза, от…до

Напряжение питания

Фильтры НЧ 5-го порядка на переключаемых конденсаторах:

корпус DIP, SO; 1 элемент в корпусе Таблица 38.3

Частоты среза, от…до

Напряжение питания

Частоты среза, от…до

Напряжение

Примечание.

Порог срабатывания компаратора DA1 устанавливают потенциометром R4. Максимальная чувствительность включения компаратора составляет 10 мВ. Светодиод HL1 индицирует наличие надпорогового сигнала. Потенциометром R7 устанавливают верхний предел реакции микросхемы управления LED-шкалой DA2 на величину управляющего напряжения - от 1 до 6 В; потенциометром R10 - нижний предел - от О до 5 В; VD4 защищает управляющие входы микросхемы DA2 от перенапряжений, одновременно стабилизируя управляющие напряжения.

VD5, VD6 автоматически обеспечивает минимальную разность между верхним и нижним уровнями управляющих напряжений на выводах 3 и 16 микросхемы DA2 в 1 В. Диод VD3 защищает цепь управления LED-шкалой от перенапряжения. Резисторы R11-R22 предназначены для согласования уровня сигналов, снимаемых с выходов микросхемы DA2, с уровнями КМОП-логики.

Если на вход устройства поступает надпороговый аналоговый (или цифровой) сигнал, то с увеличением его частоты произойдет плавное поочередное или одновременно-групповое переключение каналов индикации ( HL2-HL13). Одновременно управляющие сигналы с выходов микросхемы DA2 через КМОП-инверторы DD1, DD2 поступят на управляющие входы аналоговых КМОП-ключей (микросхемы DA3- DA5).

Полоса пропускания каждого из каналов при установке на управляющих входах 3 и 16 микросхемы DA2 максимального и минимального уровней 6 и О Б, соответственно, составят для первых шести каналов 400 Гц у для остальных - 760 Гц. Таким образом, первый канал пропустит сигналы частотой ниже 400 Гц, второй - в полосе 400-800 Гц,… последний, 12-й канал пропускает частоты свыше 6 кГц.

Примечание.

Регулировкой потенциометров R7 и R10 можно плавно изменять ширину и границы частотных каналов.

HL2-HL13 динамически индицируют номер задействованного канала управления.

Устройство потребляет 60л*А при напряжении питания 15 Б и одном све гящемся светодиоде.

Шустов М. А., Схемотехника. 500 устройств на аналоговых микросхемах. - СПб.: Наука и Техника, 2013. -352 с.

С ростом порядка фильтра его фильтрующие свойства улучшаются. На одном ОУ достаточно просто реализуется фильтр второго порядка. Для реализации фильтров нижних частот, высших частот и полосовых фильтров широкое применение нашла схема фильтра второго порядка Саллена-Ки. На рис. 17 приведен ее вариант для ФНЧ. Отрицательная обратная связь, сформированная с помощью делителя напряжения R 3 , ( – 1)R 3 , обеспечивает коэффициент усиления, равный . Положительная обратная связь обусловлена наличием конденсатора С 2 . Передаточная функция фильтра имеет вид:

Рис.17. Активный фильтр нижних частот второго порядка

Расчет схемы существенно упрощается, если с самого начала задать некоторые дополнительные условия. Можно выбрать коэффициент усиления  = 1. Тогда ( – 1)R 3 = 0, и резистивный делитель напряжения в цепи отрицательной обратной связи можно исключить. ОУ оказывается включенным по схеме неинвертирующего повторителя. В простейшем случае он может быть даже заменен эмиттерным повторителем на составном транзисторе. При  = 1 передаточная функция фильтра принимает вид:

Считая, что емкости конденсаторов С 1 и С 2 выбраны, получим для заданных значений а 1 и b 1 (см. (13)):

K 0 = 1,

Чтобы значения R 1 и R 2 были действительными, должно выполняться условие

Расчеты можно упростить, положив R 1 = R 2 = R и С 1 = С 2 = С . В этом случае для реализации фильтров различного типа необходимо изменять значение коэффициента . Передаточная функция фильтра будет иметь вид

Отсюда с учетом формулы (13) получим

Из последнего соотношения видно, что коэффициент  определяет добротность полюсов и не влияет на частоту среза. Величина  в этом случае определяет тип фильтра.

Поменяв местами сопротивления и конденсаторы получим фильтр верхних частот (рис. 18). Его передаточная функция имеет вид:

Рис. 18. Активный фильтр верхних частот второго порядка

Для упрощения расчетов положим  = 1 и С 1 = С 2 =С . При этом получим следующие формулы:

K беск = 1, R 1 = 2/ c Ca 1 , R 2 =a 1 /2 c Cb 1 .

Если АЧХ фильтра второго порядка оказывается недостаточно крутой, следует применять фильтр более высокого порядка. Для этого последовательно соединяют звенья, представляющие собой фильтры первого и второго порядка. В этом случае АЧХ звеньев фильтра перемножаются (в логарифмическом масштабе – складываются). Однако следует иметь в виду, что последовательное соединение, например, двух фильтров Баттерворта второго порядка, не приведет к получению фильтра Баттерворта четвертого порядка. Результирующий фильтр будет иметь другую частоту среза и другую частотную характеристику. Поэтому необходимо задавать такие коэффициенты звеньев фильтра, чтобы результат перемножения их частотных характеристик соответствовал желаемому типу фильтра.

Полосовой фильтр второго порядка можно реализовать на основе схемы Саллена-Ки, как это показано на рис. 19. Передаточная функция фильтра имеет вид:

Рис. 19. Схема полосового фильтра второго порядка

Приравнивая коэффициенты этого выражения к коэффициентам передаточной функции (18), получим формулы для расчета параметров фильтра:

f p = 1/2RC ; K p =/(3 –); Q = 1/(3 –).

Недостаток схемы состоит в том, что коэффициент усиления на резонансной частоте K p и добротность Q не являются независимыми друг от друга. Достоинство схемы – ее добротность изменяется в зависимости от , тогда как резонансная частота от коэффициента  не зависит.

Активный заграждающий фильтр может быть реализован на основе двойного Т-образного моста. Хотя двойной Т-образный мост сам по себе является заграждающим фильтром, его добротность составляет только 0,25. Ее можно повысить, если мост включить в цепь обратной связи ОУ. Один из вариантов такой схемы приведен на рис. 20. Сигналы высоких и низких частот проходят через двойной Т-образный мост без изменения. Для них выходное напряжение фильтра равно U вх. На резонансной частоте выходное напряжение равно нулю. Передаточная функция схемы на рис. 20 имеет вид:

или учитывая, что  р = 1/RC ,

С помощью этого выражения можно непосредственно определять требуемые параметры фильтра. Задав коэффициент усиления неинвертирующего усилителя равным 1, получим Q =0,5. При увеличении коэффициента усиления добротность растет и стремится к бесконечности, если  стремиться к 2.

Рис. 20. Активный заграждающий фильтр с двойным Т-образным мостом

Разрабатывая "радиоуправляемое реле" я решил использовать частотный способ кодирования команд управления. При этом фильтр было принято решение построить на ОУ, так как в корпусе оставался еще не задействованный блок ОУ. Но на этом фантазировать я еще не закончил, немного подумал и решил, что можно еще с экономить на деталях используя элементы, которые есть в наличии. Это и привело к написанию этой статьи "расчет полосового фильтра на ОУ". Покопавшись в книгах, собрав всю необходимую информацию составил алгоритм расчета фильтра с однополярным питанием. Но об этом потом, а сейчас не много теории.

Все фильтры разделяются на: активные фильтры, использующие для формирования частотной характеристики заданного вида как пассивные (резисторы и конденсаторы), так и активные (транзисторы, микросхемы) элементы, и пассивные фильтры, которые для формирования частотной характеристики заданного вида используют только пассивные (резисторы и конденсаторы) элементы. А сейчас поговорим о полосовых фильтрах.

Полосовой фильтр так называется потому, что он пропускает только тот частотный диапазон на который настроен, при этом частоты находящиеся за пределами данного диапазона ослабляются. Любой полосовой фильтр имеет несколько основных параметров определяющих его характеристики: полоса пропускания (полоса в которой сигнал проходя через фильтр имеет наименьшее затухание), полоса затухания (полоса в которой, сигналы ослабляются), коэффициент усиления (характеристика фильтра, которая отвечает за то во сколько раз сигнал будет усилен или ослаблен в полосе пропускания).

Идеальный полосовой фильтр имеет прямоугольную полосу пропускания, но на практике этого добиться невозможно, а можно только в какой-то степени лишь приблизиться такой форме. Реальный фильтр неспособен полностью задержать частоты за границами желаемого диапазона частот, в результате имеется область у границ заданного диапазона, где сигнал только частично ослабляется. Эта область называется крутизной спада фильтра, и измеряется в "дБ" затухания на октаву.

Принцип работы полосового фильтра основан на изменении коэффициента усиления в зависимости от частоты входного сигнала. Основной в фильтре является RC-цепочка, включенная в цепь обратной связи которая, при изменении частоты влияет на коэффициента усиления. Ну все думаю теории хватит перейдем к расчетам.

Расчет произведем по ниже приведенной схеме. Элементы R1-R3 и C1, C2 - определяют полосу пропускания и коэффициент усиления. R4, R5 - смещение рабочей точки, это необходимо для питания от однополярного источника. Микросхема ОУ выполняет роль активного элемента и подключать ее необходимо согласно Datasheet. Ниже схемы на картинках приведен расчет полосового фильтра на ОУ, но вы так же можете воспользоваться файлами расчета в Mathcad 14 и модели в .

Схема полосового фильтра на ОУ

Данный фильтр можно использовать в светомузыкальных устройствах, радиоуправлении, датчиках и так далее.

Список радиоэлементов

Обозначение	Тип	Номинал	Количество	Мой блокнот
A	Операционный усилитель	LM358	1	В блокнот
С1, C2	Конденсатор	3300 пФ	2	В блокнот
R1	Резистор	3.3 кОм	1	В блокнот
R2	Резистор	240 Ом	1	В блокнот
R3	Резистор	1.5 мОм	1	В блокнот
R4	Резистор

При работе с электрическими сигналами часто требуется выделить из них какую-либо одну частоту или полосу частот (например, разделить шумовой и полезный сигналы). Для подобного разделения используются электрические фильтры. Активные фильтры, в отличие от пассивных, включают в себя ОУ (или другие активные элементы, например, транзисторы, электронные лампы) и обладают рядом преимуществ. Они обеспечивают более качественное разделение полос пропускания и затухания, в них сравнительно просто можно регулировать неравномерности частотной характеристики в области пропускания и затухания. Также в схемах активных фильтров обычно не используются катушки индуктивности. В схемах активных фильтров частотные характеристики определяются частотнозависимыми обратными связями.

Фильтр нижних частот

Схема фильтра нижних частот приведена на Рис. 12.

Рис. 12. Активный фильтр нижних частот.

Коэффициент передачи такого фильтра можно записать как

, (5)

и
. (6)

При К 0 >>1

Коэффициент передачи
в (5) оказывается таким же, как и у пассивного фильтра второго порядка, содержащего все три элемента (R , L , C ) (Рис. 13), для которого:

Рис. 14. АЧХ и ФЧХ активного фильтра низких частот для разных Q .

Если R 1 = R 3 = R и C 2 = C 4 = С (на Рис. 12), то коэффициент передачи можно записать как

Амплитудно- и фазочастотные характеристики активного фильтра низких частот для разных значений добротности Q показаны на Рис. 14 (параметры электрической схемы подобраны так, чтобы ω 0 = 200 рад/с). Из рисунка видно, что с ростом Q

Активный фильтр низких частот первого порядка реализуется схемой Рис. 15.

Рис. 15. Активный фильтр низких частот первого порядка.

Коэффициент передачи фильтра равен

Пассивный аналог этого фильтра представлен на Рис. 16.

Сравнивая эти коэффициенты передачи, видим, что при одинаковых постоянных времени τ’ 2 и τ модуль коэффициента передачи активного фильтра первого порядка будет в К 0 раз больше, чем у пассивного.

Рис. 17. Simulink -модель активного фильтра низких частот.

Исследовать АЧХ и ФЧХ рассматриваемого активного фильтра можно, например, в Simulink , используя блок передаточной функции. Для параметров электрической схемы К р = 1, ω 0 = 200 рад/с и Q = 10 Simulink -модель с блоком передаточной функции будет выглядеть, как показано на Рис. 17. АЧХ и ФЧХ можно получить с помощью LTI - viewer . Но в данном случае проще использовать команду MATLAB freqs . Ниже приведен листинг для получения графиковАЧХ и ФЧХ.

w0=2e2; %собственная частота

Q=10; %добротность

w=0:1:400; %диапазон частот

b=; %вектор числителя передаточной функции:

a=; %вектор знаменателя передаточной функции:

freqs(b,a,w); %расчет и построение АЧХ и ФЧХ

Амплитудно-частотные характеристики активного фильтра низких частот (для τ = 1с и К 0 = 1000) показаны на Рис.18. Из рисунка видно, что с ростом Q проявляется резонансный характер амплитудно-частотной характеристики.

Построим модель фильтра нижних частот в SimPowerSystems , используя созданный нами блок ОУ (operational amplifier ), как показано на Рис 19. Блок операционного усилителя является нелинейным, поэтому в настройках Simulation / Configuration Parameters Simulink для увеличения скорости расчета нужно использовать методы ode23tb или ode15s . Также необходимо разумно выбрать шаг по времени.

Рис. 18. АЧХ и ФЧХ активного фильтра низких частот (для τ = 1с).

Пусть R 1 = R 3 = R 6 = 100 Ом, R 5 = 190 Ом, C 2 = C 4 = 5*10 -5 Ф. Для случая, когда частота источника совпадает с собственной частотой системы ω 0 , сигнал на выходе фильтра достигает максимальной амплитуды (приведен на Рис. 20). Сигнал представляет собой установившиеся вынужденные колебания с частотой источника. На графике хорошо виден переходный процесс, вызванный включением схемы в момент времени t = 0. Также на графике видны отклонения сигнала от синусоидальной формы вблизи экстремумов. На Рис. 21. приведена увеличенная часть предыдущего графика. Эти отклонения можно объяснить насыщением ОУ (максимально допустимые значения напряжения на выходе ОУ ± 15 В). Очевидно, что при увеличении амплитуды сигнала источника увеличивается и область искажений сигнала на выходе

Рис. 19. Модель активного фильтра низких частот в SimPowerSystems .

Рис. 20. Сигнал на выходе активного фильтра низких частот.

Рис. 21. Фрагмент сигнала на выходе активного фильтра низких частот.

Полосовые фильтры используются во многих областях электроники. Особенно они широко используется в схемах радиоприема и радиопередачи, в частности в резонансных контурах. Однако и для низких частот, активный полосовой фильтр является эффективным средством выделения сигнала промежуточных частот. Для этих фильтров наиболее широко используемым активным элементом является операционный усилитель (ОУ).

Полосовые фильтры на ОУ легко проектировать и строить, поскольку для этого необходимо минимум компонентов. В дополнение к этому, они обеспечивают очень высокий уровень производительности.

Что такое полосовой фильтр

Как следует из названия, полосовой фильтр фильтрует все частоты, пропуская только частоты находящиеся в определенном диапазоне. Все частоты за пределами данного частотного диапазона ослабляются.

Есть два основных параметра определяющие характеристики полосового фильтра: полоса пропускания, где фильтр пропускает сигналы и полоса затухания, в которой сигналы ослабляются.

Идеальный полосовой фильтр имеет ровную полосу пропускания (усиление и отсутствие затухания сигнала по всей полосе пропускания) и полное затухание вне полосы пропускания. Кроме того, переход из полосы пропускания абсолютно резкий.

Но на практике невозможно создать идеальный полосовой фильтр. Реальный фильтр неспособен полностью задержать все частоты за границами желаемого диапазона частот. В частности, имеется область в непосредственной близости у границы заданного диапазона, где сигнал частично ослабляется, но не отфильтровывается полностью. Эта область носит название крутизна спада фильтра, и измеряется в дБ затухания на октаву. Как правило, при проектировании, стремятся сделать данный спад как можно более узким, что позволяет получить фильтр максимально приближенным к заданным параметрам.

Расчет полосового фильтра

Расчет полосового фильтра может стать очень сложным занятием даже при использовании операционных усилителей. Тем не менее можно немного упростить методику расчета, и в то же время сохранить производительность полосового фильтра на ОУ на приемлемом уровне.

Данная схема и методика расчета представляют собой хороший баланс между производительностью и простотой конструкцией фильтра.

Из рисунка видно, что помимо операционного усилителя схема еще содержит два конденсатора и три резистора.

Пример упрощенного расчета элементов полосового фильтра на ОУ

Входные данные:

Резонансная частота f = 20Гц.
Добротность Q = 10.
Коэффициент передачи Hо = 5

Так как fmax – fmin = f / Q = 2Гц,

то полоса пропускания составит fmax = 21 Гц, fmin=19 Гц.

Будем исходить из того, что C1=C2=C=1мкФ

Тогда сопротивления резисторов можно рассчитать по следующим формулам:

В нашем случае получим следующие результаты:

R1 = 10 / (5*2*3,14*20*0,000001) = 15,9 кОм

R2 = 10 / ((2*10*10-5)*2*3,14*20*0,000001) = 408 Ом

R3 = 2*10 / (2*3,14*20*0,000001) = 159,2 кОм

В схеме с одним операционным усилителем, желательно, чтобы коэффициент передачи не превышал 5 и добротность была не более 10. Для получения качественного фильтра параметры резисторов и конденсаторов должны как можно ближе соответствовать расчетным значениям.