Приведение общей задачи лп к каноническому виду. Каноническая форма задачи линейного программирования

Задачи МП

Общей ЗЛП называют <,=,>=}bi (i=1,n) (2) при условии xj>

Симметрической < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > Канонической смешенной .

min f(x) = -max(-f(x))

<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>

Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничения ЗЛП. Геометрическая формулировка ЗЛП.

Пусть дана задача f=c1x1+c2x2-max (1)

a11x1+a12x2<=b1 }

am1x1+am2x2<=bm}

x1>=0, x2>=0 (3)

План задачи (х1,х2) – точка на плоскости. Каждое неравенство с-мы 2 предст. собой полуплоскость. Полуплоскость –выпуклое множество. Выпуклым наз-ся множество в которым точки отрезка соединяющие (х1 и х2) принадлежащие этому множеству то же принадлежат множеству. С-ма 2 представляет собой пересечение полуплоскостей. При пересечении могут получиться:

1)выпуклая многоугольная замкнутая область.

2) выпуклая открытая многоугольная область

3) единственная точка

4) пустое множество

5) луч и отрезок

Геометрическая интерпретация целевой функции: ф-ция 1 представляет собой семейство параллельных прямых, которые наз-ют линиями уровня(линиями постоянного значения целевой функции). Частные производные функции по х1 и х2 показывают скорость возрастания целевой функции вдоль координат осей. Вектор-градиент показывает направление найскорейшего возрастания целевой функции.Для задачи 1-3 вектор-градиент = (с1;с2) Выходит из точки (0,0) и направлен в точку с координатами (с1;с2). Вектор-градиент перпендикулярен линиям уровня. Пересечение полуплоскастей принято наз-ть областью допустимых рещений(ОДР) .

Основная теорема ЛП. Принципиальная схема решения ЗЛП, вытекающая из этой теоремы.

Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника плана. Если целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке то она достигает одно и то, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.же значения в любой точке. При решении ЗЛП в ручную удобно использовать табличную запись.

БП		СП -Xm+1 -Xm+2 -Xn
х1	b1o	b11 b12 b1n-m
х2	b2o	b21 b22 b2n-m
хm	bm	bm1 bm2 bmn-m
f	boo	bo1 bo2 bon-m

Алгоритм симплекс-метода.

1. привести модель задачи к канонической форме;

2. найти начальный опорный план;

3. записать задачу в симпл. таблицу;

5. перейти к новому опорному плану, к новой симп. таблице. Для того чтобы перейти к новому опорному плану достаточно заменить одну базисную переменную свободной. Переменную, включаемую в базис и соответствующей ей разрешающий столбец определяют по наибольшему по модулю отрицательному элементу f-строки. Переменную, исключающую из базиса и соответствующую ей разрешающую строку определяют по наименьшему симплексному отношению, т.е. отношению элементов единичного столбца к соответствующему элементу разрешающего столбца. Симплексное отношение – величина неотрицательная. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца расположен разрешающий элемент, относительно которого выполняется симплексное преобразование по след. правилу: 1. элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент; 2. элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный; 3. остальные элементы таблицы перещитываются по правилу прямоугольника.:

bij bis bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi

Ая теорема двойственности.

если одна из двойственных задач имеет оптим план, то и другая решима, т.е. имеет опт.план. При этом экстремальные значен.целевых функций совпадают (j=от 1 до n) Σcjxj*= (i=от 1 до m)Σbiyi* если в исходн. задаче целевая функция неограничена на множестве планов, то в двойственной задаче система ограничений несовместна.

Теорема о ранге матрицы ТЗ.

Ранг матрицы А трансп.задачи на единицу меньше числа уравнений: r(A)=m+n-1.

39. Алгоритм построения начального опорного плана ЗЛП.

Для нахождения начального опорного плана можно предложить следующий алгоритм:

1. записать задачу в форме жордановой таблицы так, чтобы все элементы столбца свободных членов были неотрицательными, т.е. выполнялось неравенство аio>=0 (i=1,m). Те уравнения с-мы, в которых свободные члены отрицательны, предварительно умножаются на -1.

		-x1 ….. -xn
0=	a1o	a11 …. a1n
…..	…..	………………………..
0=	amo	am1 ….. amn
f=		-c1 …. -cn

Таблицу преобразовывать шагами жордановых исключений, замещая нули в левом столбце соответствующими х. При этом на каждом шаге разрешающим может быть выбран любой столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент. Разрешающая строка определяется по наименьшему из отношений свободных членов к соответствующем положительным элементам разрешающего столбца. Если в процессе исключений встретится 0-строка, все элементы которой- нули, а свободный член отличен от нуля, то с-ма ограничительных уравнений решений не имеет. Если же встретится 0-строка, в которой, кроме свободного члена, других положительных элементов нет, то с-ма ограничительных уравнений не имеет неотрицательных решений Если с-ма ограничительных уравнений совместна , то через некоторое число шагов все нули в левом столбце будут замещены х и тем самым получен некоторый базис, а следовательно, и отвечающий ему опорный план.

40. Алгоритм построения оптимального опорного плана ЗЛП.

Начальный опорный план Хо исследуется на оптимальность.

Если в f-строке нет отрицательных элементов (не считая свободного члена), -план оптимален. Если в f- строке нет также и нулевых элементов, то оптимальный план единственный; если же среди элементов есть хотя бы один нулевой, то оптимальных планов бесконечное множество. Если в f-строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в соответствующем ему столбце нет положительных, то целевая функция не ограничена в допустимой области. Задача не разрешима. Если в f- строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в каждом столбце с таким элементом есть хотя бы один положительный, то можно перейти к новому опорному плану, более близкому к оптимальному. Для этого столбец с отриц-ом элементом в f-строке берут за разрешающий ; опред-ют по минимальному симплексному отношению разрешающую строку и делают шаг жорданова исключения. Полученный опорный план вновь исследуется на оптимальность. Это повторяется до тех пор, пока не будет найден оптимальный опорный план либо установлена неразрешимость задачи.

Алгоритм метода Гомори.

1.Симплекс-методом находят оптимальный план задачи. Если все компоненты оптимального плана целые, то он –оптимальный. В противном случае переходят к пункту 2

2.Среди нецелых компонент следует выбрать ту, у которой дробная часть является наибольшей и по соответствующей этой строке симплексной таблицы сформулировать правильное отсечение по формуле

(n-m,s=1)∑ {αkm+1}Xm+1≥{βk}

3.Сформулированное неравенство преобразовать в эквивалентное нулевое равенство и включить в симплексную таблицу с нецелочисленным оптимальным планом

4.Полученную расширенную задачу решают симплекс-методом. Если полученный план не является целочисленным нова переходят к пункту 2.

Если в процессе решения появится строка с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В таком случае и исходная задача неразрешима в целых числах.Метод Гомори имеет ограниченое применение. С его помощью целесообразно решать небольшие задачи, т.к. число интераций может быть очень большим.

Различные формы записи ЗЛП (общая, каноническая, симметрическая)

Задачи МП : определение оптимального плана, опред-е оптимального объема выпуска продукции, опред-е оптим-го сочитания посевов с/хоз-ых культур, формир-е оптим-го пакета активов, максимиз-щий прибыль банка и т.д.

Общей ЗЛП называют задачу максимизации (минимизации) линейной функции f=Σcj*xj-max(min) (1) при линейных ограничениях ∑aij *xj{=<,=,>=}bi (i=1,n) (2) при условии xj>=0(j=1,n1), xj-произвольное (j=n1+1,n)(3) где cj,aij, bi-постоянные числа.

Симметрической формой записи ЗЛП наз-ся задача максимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > либо = и неотрицательных переменных. Канонической формой записи ЗЛП наз-ся задача максимальной функции (1) при линейных ограничениях равенствах и неотрицательных переменных. Любая другая форма называется смешенной .

min f(x) = -max(-f(x))

Преобразование нерав-ва в уравнение и наоборот осущ-ся на основе Леммы: всякому решению х1…хn нерав-ва a1x1+…+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) и наоборот. Всякому решению x1…xn,xn+1 уравнения 6 и неравенства 7 соответствует решение x1…xn неравенства 5.

Чтобы от зад сим формы перейти к зад канонич вида, необходимо ввести балансовые (выравнивающие) переменные. Это основано на теореме о неравенстве: любое нерав-во можно представить в виде ур-я или простейшего нерав-ва.

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

• если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
• если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
• если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
• если некоторая переменная x j не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными:
  x 3 = x 3 + - x 3 - , где x 3 + , x 3 - ≥ 0 .

Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:

min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ;
2x 2 - x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1;
2x 1 - x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1;
2x 1 - x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 - x 6 = 3.

В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть отрицательными. Допустим, что x 1 = x 1 " - x 7 , где x 1 " ≥ 0, x 7 ≥ 0 .

Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и, записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программирования, представленную в канонической форме:

L min = 2x 1 " + x 2 - x 3 - 2x 7 ;
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 " - x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1 " + x 2 - x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 " ≥ 0; x i ≥ 0, i=2, 3, 4, 5, 6, 7.

Условие оптимальности базисного плана канонической задачи ЛП. Симплекс-метод и его сходимость.

Симплексный метод является универсальным, так как позволяет решать практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде.

Идея симплексногометода последовательного улучшения плана, заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному.

Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает.

Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение.

Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Алгоритм симплексного метода

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность.
Для этого заполняем симплексную таблицу 1.
Все строки таблицы 1-го шагазаполняем по данным системы ограничений и целевой функции.

Возможны следующие случаи при решении задач на максимум:

1. Если все коэффициенты последней строки симплекс-таблицы Dj ³ 0, то найденное

решение оптимальное.

2 Если хотя бы один коэффициент Dj £ 0, но при соответствующей переменной нет ни одного положительного оценочного отношения, то решение задачи прекращаем , так как F(X) ® ¥ , т.е.целевая функция не ограничена в области допустимых решений.

Если хотя бы один коэффициент последней строки отрицателен, а при соответствующей переменной есть хотя бы одно положительное оценочное отношение, то нужно перейти к другому опорному решению.

4. Если отрицательных коэффициентов в последней строке несколько, то в столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную , которой соответствует наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.

5. Если хотя бы один коэффициент Dk < 0 ,то k - тый столбец принимаем за ведущий.

6. За ведущую строку принимаем ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов bi к положительным коэффициентам ведущего, k – того столбца.

7. Элемент, находящийся на пересечении ведущих строк и столбца, называется ведущим элементом.

Заполняем симплексную таблицу 2:

· заполняем базисный столбец нулями и единицей

· переписываем ведущую строку, разделив ее на ведущий элемент

· если ведущая строка имеет нули, то в следующую симплекс-таблицу можно перенести соответствующие столбцы

· остальные коэффициенты находим по правилу “прямоугольника”

Получаем новое опорное решение, которое проверяем на оптимальность:

Если все коэффициенты последней строки Dj ³ 0, то найденное решение максимальное.

Если нет, то заполняем симплексную таблицу 8-го шага и так далее.

Если целевая функция F(X) требует нахождения минимального значения , то критерием оптимальности задачи является неположительность коэффициентов Dj при всех j = 1,2,...n.

Сходимость симплекс-метода. Вырожденность в задачах ЛП. Важнейшим свойством любого вычислительного, алгоритма является сходимость, т. е. возможность получения в ходе его применения искомых результатов (с заданной точно­стью) за конечное число шагов (итераций).

Легко заметить, что проблемы со сходимостью симплекс-ме­тода потенциально могут возникнуть на этапе выбора значения r (п. 2") в случае, когда одинаковые минимальные значения от­ношения

будут достигнуты для нескольких строк таблицы Т (q) одновре­менно. Тогда на следующей итерации столбец b(β(q+1)) будет со­держать нулевые элементы.

Запись целевой функции и системы ограничений в различных задачах линейного программирования неодинаков: в одних задачах требуется найти минимум целевой функции, а в других – максимум; в одних случаях искомые переменные зависят от одного индекса, а в других – от двух; в одних задачах ограничения заданы в виде системы линейных неравенств, а в других – в виде системы линейных уравнений. На практике возможны также задачи, в которых часть ограничений имеет вид линейных неравенств, а часть – линейных уравнений. Также не во всех задачах может требоваться неотрицательность переменных .

Учет такого разнообразия задач линейного программирования требует разработки специальных методов для решения отдельных их классов. Мы же сосредоточим свое внимание на изучении общих свойств и методов линейного программирования, записанных в так называемой канонической форме.

Если в задаче линейного программирования система исходных ограничений приобретает вид уравнений типа

и нужно найти максимум линейной целевой функции

то считается, что задача линейного программирования записана в канонической форме.

Любую задачу линейного программирования можно легко свести к канонической форме. В общем случае для этого достаточно уметь, во-первых, свести задачу минимизации целевой функции к задаче ее максимизации, во-вторых, переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, и в-третьих, менять те переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.

В том случае, когда нужно найти минимум функции , можно перейти к нахождению максимума функции , поскольку справедливо утверждение:
.

Ограничение-неравенство исходной задачи, которое имеет вид «» , можно превратить в ограничение-уравнение путем добавления к его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничение-неравенство вида «»– путем вычитания из его левой части дополнительной неотрицательной переменной.

Заметим, что количество введенных дополнительных неотрицательных переменных всегда равно количеству неравенств в исходной системе ограничений.

Введены дополнительные переменные имеют вполне конкретный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражаются расходы и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной показывает объем соответствующего неиспользованного ресурса.

Отметим также, что если некоторая переменная не подчиняется условию неотрицательности, то ее нужно заменить двумя неотрицавтельными переменными и , приняв
.

Пример . Записать в канонической форме следующую задачу линейной оптимизации: найти минимум функции
при ограничениях

Решение

В данной задаче нужно найти минимум целевой функции, а система ограничений включает четыре неравенства. Для того, чтобы записать ее в канонической форме, нужно перейти от ограничений-неравенств к ограничениям-уравнениям, а также превратить целевую функцию.

Так как количество неравенств, входящих в систему ограничений задачи, равно четырем, то этот переход должен быть осуществлен с введением четырех дополнительных неотрицательных переменных. При этом во втором и четвертом неравенствах стоит знак «» , поэтому к их левой части дополнительные переменные добавляем. В первом и третьем неравенствах – знак «», значит от их левой части дополнительные переменные вычитаем.

Также превращаем целевую функцию, поменяв все знаки на противоположные, и находим ее максимум.

Таким образом, данная задача линейного программирования будет записана в следующем каноническом виде:

найти максимум функции

при ограничениях

Cтраница 1

Каноническая форма задачи характеризуется следующими тремя признаками: 1) однородная система ограничений в виде системы уравнений; 2) однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче, и 3) максимизация, линейной функции. В данной задаче нарушены все эти три признака.  

Каноническая форма задачи характеризуется следующими тремя признаками: 1) однородная система ограничений в виде системы уравнений; 2) однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче, и 3) максимизация линейной функции. В данной задаче нарушены все эти три признака.  

Каноническая форма задачи линейного программирования удобна тем, что легко находится начальная вершина допустимой области.  

Рассмотрим каноническую форму задачи линейного программирования и метод исключения Жордана - Гаусса.  

Часто оказывается удобной каноническая форма задачи линейного программирования.  

При преобразовании системы ограничений к канонической форме задачи линейного программирования неравенства (12) и (13) должны быть заменены равенствами. Для этого вводят дополнительные неотрицательные переменные.  

Доказать, что попарно коммутирующие вещественные матрицы одновременно приводятся к канонической форме задачи 1128 преобразованием подобия посредством ортогональной матрицы.  

По существу (4) - (5) можно рассматривать как каноническую форму задачи нелинейного программирования, поскольку методы, изложенные в гл. Обычно в задачах нелинейного программирования не выдвигается требование целочисленности переменных.  

Виды ограничений и методы их преобразования.

Каноническая форма задачи характеризуется однородностью системы ограничений в виде системы уравнений; максимизацией целевой функции; условием неотрицательности всех переменных, участвующих в задаче.  

Никаких дополнительных особенностей каноническая форма задач в рассматриваемую вычислительную схему не добавляет.  

Рассмотрим сначала вторую каноническую форму задачи на минимум.  

Алгоритм симплекс-мете да гложно разбить на два этапа. На первом этапе исключением переменных находят базисное решение. Если оно найдено, то мы имеем каноническую форму задачи для перехода ко второму этапу. На втором этапе проверяют, есть ли ограниченный оптимум. Если он существует то определяются допус - тимые базисные решанпя ив которых выбирается оптимальное.  

Если решается задача в канонической форме, то используется лишь часть введенных во втором параграфе операций. Так, для канонической задачи на минимум реализуется только случай пункта 3.4.1, и нужны лишь операции циклической перестановки столбцов, прогонки столбца через зону вертикального окаймления, исправления структурных нарушений и часть операции усечения. Симметрично, при решении канонической задачи на максимум реализуется только случай пункта 3.4.2, и нужны операции циклической перестановки строк, прогонки строки через зону горизонтального окаймления, исправления структурных нарушений и другая часть операции усечения. В остальном никакой дополнительной специфики каноническая форма задачи не добавляет.  

В первом параграфе введения было показано, как общую задачу линейного программирования можно свести к одной из канонических форм. Для канонически (же задач описание метода последовательного улучшения формально упрощается, так как отпадает необходимость рассматривать два варианта нарушения условий оптимальности и два варианта выхода в следующую вершину. Однако при этом увеличиваются размеры базисной матрицы А [ /, J ], которые в основном и определяют трудоемкость одного шата. Тем не менее, во многих случаях применение метода к каноническим формам задачи оказывается предпочтительным, и в этом параграфе мы остановимся на вариантах метода, получающихся для частных задач линейного программирования.  

Страницы:      1

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной или матричной записи.

1. Каноническая задача линейного программирования в координатной записи имеет вид

.

В более компактной форме данную задачу можно записать, используя знак суммирования,

(1.7)

2. Каноническая задача линейного программирования в векторной записи имеет вид

(1.8)

где ,

.

3. Каноническая задача линейного программирования в матричной записи имеет вид

(1.9)

, .

Здесь А – матрица коэффициентов системы уравнений, Х – матрица-столбец переменных задачи, – матрица-столбец правых частей системы ограничений.

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными , которые в матричной записи имеют вид

(1.10)

(1.11)

1.4. Приведение общей задачи линейного программирования
к канонической форме

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако при составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формируются в системы неравенств, поэтому необходимо уметь переходить от системы неравенств к системе уравнений. С этой целью докажем следующую теорему.

Теорема 1.1. О замене неравенства уравнением. Каждому решению неравенства

соответствует единственное решение уравнения

и неравенства

, (1.14)

и, наоборот, каждому решению уравнения (1.13) и неравенства (1.14) соответствует единственное решение неравенства (1.12).

Доказательство. Пусть – решение неравенства (1.12), тогда . Обозначим разность правой и левой частей этого неравенства через , т. е.

Очевидно . Подставим в уравнение (1.13) вместо переменных значения , получим

Таким образом, удовлетворяет уравнению (1.13) и неравенству (1.14). Значит доказана первая часть теоремы.

Пусть теперь удовлетворяет уравнению (1.13) и неравенству (1.14), т. е. имеем

И

Отбрасывая в левой части последнего равенства неотрицательную величину , получаем

т. е. удовлетворяет неравенству (1.12). Теорема доказана.

Если неравенство , то дополнительную неотрицательную переменную необходимо ввести в его левую часть со знаком минус, т. е. .

Неотрицательные переменные, вводимая в ограничения неравенства для превращения их в уравнения, называются дополнительными переменными . Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значение.

В том случае, когда задача имеет произвольно изменяющиеся переменные, то любую такую переменную заменяют разностью двух неотрицательных переменных, т. е. , где и .

Иногда возникает необходимость перейти в задаче от нахождения минимума к нахождению максимума или наоборот. Для этого достаточно изменить знаки всех коэффициентов целевой функции на противоположные, а в остальном задачу оставить без изменения. Оптимальные решения полученных таким образом задач на максимум и минимум совпадают, а значения целевых функций на оптимальных решениях отличаются только знаком.

Пример 1.1. Привести к каноническому виду задачу линейного программирования.

Д

Решение . Перейдем к задаче на отыскание максимума целевой функции. Для этого изменим знаки коэффициентов целевой функции. Для превращения в уравнения второго и третьего неравенств системы ограничений введем неотрицательные дополнительные переменные (на математической модели эта операция отмечена буквой Д). Переменная вводится в левую часть второго неравенства со знаком "+", так как неравенство имеет вид . Переменная вводится в левую часть третьего неравенства со знаком "-", так как неравенство имеет вид . В целевую функцию переменные вводятся с коэффициентом, равным нулю. Переменную , на которую не наложено условие неотрицательности заменяем разностью , . Записываем задачу в каноническом виде

В некоторых случаях возникает необходимость приведения канонической задачи к симметричной задаче. Рассмотрим пример.

Пример 1.2. Привести к симметричному виду задачу линейного программирования