Матрицы. Виды матриц. Понятие матрицы Из чего состоит матрица
Матрица - это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками. Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.
Нулевой тип
Все компоненты этого вида матрицы - нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.
Квадратный тип
Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы "квадрат". Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2x2), четвертого порядка (4x4), десятого (10x10), семнадцатого (17x17) и так далее.
Вектор-стобец
Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.
Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.
Диагональный тип
Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом). Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в левом верхнем углу, а заканчивается элементом в правом нижнем соответственно. Остальные компоненты равны нулю. Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.
Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.
Канонический тип
Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу. Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой). Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.
Треугольный тип
Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.
В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.
В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.
Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные "ступени" из нулей (как показано на рисунке). В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю. Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.
Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.
Приведение к треугольному виду
Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем. Выполняя данную процедуру, крайне важно "сохранить" главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул. Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.
Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.
Задание 1
Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.
Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.
Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы - с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.
Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.
Осталось только последнее значение - элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.
Выполним проверку:
detA = 2 x (-1) x 11 = -22.
Значит, ответ к заданию: -22.
Задание 2
Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.
Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.
Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, - с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.
Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.
Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 - элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.
Снова начнем с нижней части - с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) - элемента второго столбца третьей строки. Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца. Теперь перейдем к третьему столбцу.
В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число - 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.
После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.
Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.
Приведение к ступенчатому виду
При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее "востребованным", чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е. количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк. Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.
Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы. Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы. Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.
Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.
Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.
Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3x3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.
Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.
Начнем его с элемента левого столбца третьей строки - числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 - элемент второго столбца третьей строки - обратились в нуль.
Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.
Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) - 3. Ответ к заданию: 3.
Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.
Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.
Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3x4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла - числа (-1).
Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию - 3.
Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.
На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!
В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы .
Сложение и вычитание матриц.
Суммой $A+B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Аналогичное определение вводят и для разности матриц:
Разностью $A-B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть
Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц - операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.
Пример №1
Заданы три матрицы:
$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)\;\; B=\left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right); \;\; F=\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ -5 & 4 \end{array} \right). $$
Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.
Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами - размер матрицы $A$ равен $2\times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.
Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.
$$ C=A+B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)+ \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right) $$
Найдем матрицу $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)- \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1-10 & -2-(-25) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right) $$
Ответ : $C=\left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right)$, $D=\left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right)$.
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на число $\alpha$ называется матрица $B_{m\times n}=(b_{ij})$, где $b_{ij}=\alpha\cdot a_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Попросту говоря, умножить матрицу на некое число - означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.
Пример №2
Задана матрица: $ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)$. Найти матрицы $3\cdot A$, $-5\cdot A$ и $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} -5\cdot(-1) & -5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right). $$
Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1\cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right) $$
Ответ : $3\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right);\; -5\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right);\; -A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right)$.
Произведение двух матриц.
Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.
Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{n\times k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$: $$c_{ij}=\sum\limits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, \;\; i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}.$$
Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными ). Например, матрицу $A_{5\times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9\times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5\times 4}$ на матрицу $B_{4\times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5\times 4}$ и $B_{4\times 9}$ будет матрица $C_{5\times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:
Пример №3
Заданы матрицы: $ A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)$ и $ B=\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.
Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:
Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=\left(\begin{array} {cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{array} \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: "Матрицы. Виды матриц. Основные термины" , в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.
Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:
Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:
$$ c_{11}=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:
Аналогично предыдущему, имеем:
$$ c_{12}=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:
$$ c_{21}=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:
$$ c_{22}=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:
$$ c_{31}=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:
$$ c_{32}=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$. Или, если уж писать полностью:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right). $$
Ответ : $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$.
Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:
$$ \left(\begin{array} {cc} 6 & 3 \\ -17 & -2 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {cc} 4 & 9 \\ -6 & 90 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 6\cdot{4}+3\cdot(-6) & 6\cdot{9}+3\cdot{90} \\ -17\cdot{4}+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot{9}+(-2)\cdot{90} \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 6 & 324 \\ -56 & -333 \end{array} \right) $$
Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа" означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Транспонированной по отношению к матрице $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется матрица $A_{n\times m}^{T}=(a_{ij}^{T})$, для элементов которой $a_{ij}^{T}=a_{ji}$.
Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка - станет первый столбец; была вторая строка - станет второй столбец; была третья строка - станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_{3\times 5}$:
Соответственно, если исходная матрица имела размер $3\times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5\times 3$.
Некоторые свойства операций над матрицами.
Здесь предполагается, что $\alpha$, $\beta$ - некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ - матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.
Определение 1. Матрицей А размера m n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
,
или
Определение
2.
Две матрицы
и
одного размера называютсяравными
,
если они совпадают поэлементно, т.е.
=
,i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n.
С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.
Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n , а в противном случае прямоугольной.
Определение 4. Переход от матрицы А к матрице А т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.
Виды
матриц: квадратная (размера 33)
-
,
прямоугольная
(размера 25)
-
,
диагональная
-
,
единичная -
,
нулевая -
,
матрица-строка
-
,
матрица-столбец -.
Определение
5.
Элементы
квадратной матрицы порядка n
с одинаковыми индексами называются
элементами главной диагонали, т.е. это
элементы:
.
Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .
1.2. Операции над матрицами.
1
0
.
Суммой
двух матриц
и
одинакового размера называется матрица
С = (с ij),
элементы которой определяются равенством
с ij
= a ij
+ b ij ,
(i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n).
Свойства операции сложения матриц.
Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:
1) А + В = В + А (коммутативность),
2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).
2
0
.
Произведением
матрицы
на число
называется матрица
того же размера, что и матрица А, причемb ij
= 
(i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n).
Свойства операции умножения матрицы на число.
(А) = ()А (ассоциативность умножения);
(А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);
(+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).
Определение 7.
Линейной
комбинацией матриц
и
одинакового размера называется выражение
видаА+В,
где
и
- произвольные числа.
3 0 . Произведением А В матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент с ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .
Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Свойства операции умножения матриц:
(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);
(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);
А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);
АВ ВА (не коммутативность).
Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:
Перемена местами двух строк (столбцов).
Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.
Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).
Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).
Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если
,
.
,
,
.
Пример
1.2.
Найти
произведение матриц
,
если
.
Решение:
т.к количество столбцов первой матрицы
совпадает с количеством строк второй
матрицы, то произведение матриц
существует. В результате получаем новую
матрицу
,
где
В
результате получим
.
Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n -го порядка.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.
Матрица порядка m × n записывается в форме:
или (i=1,2 ,...m; j=1,2 ,...n).
Числа a ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.
Матрица строка
Матрица размером 1×n , т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой . Например:
Матрица столбец
Матрица размером m×1 , т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом . Например
Нулевая матрица
Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например
Квадратная матрица
Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей , если количество строк и столбцов совпадают: m=n . Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:
Главная диагональ матрицы
a 11 , a 22 ,..., a nn образуют главную диагональ матрицы. Например:
В случае m×n -матриц элементы a ii (i=1,2 ,...,min(m,n)) также образуют главную диагональ . Например:
Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .
Побочная диагональ матрицы
Элементы расположенные на местах a 1n , a 2n-1 ,..., a n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:
Диагональная матрица
Квадратная матрица называется диагональной , если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:
Единичная матрица
Квадратную матрицу n -го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n - порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:
След матрицы
Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A . Например:
|
Верхняя треугольная матрица
Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. a ij =0 , при всех i>j . Например:
Нижняя треугольная матрица
Квадратная матрица порядка n×n
называется нижней треугольной
матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a ij =0
, при всех i
Cтроки матрицы A образуют пространство строк R(A T).
Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A) .
Ядро или нуль пространство матрицы
Множесто всех решений уравнения Ax=0 , где A- m xn -матрица, x - вектор длины n - образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A) .
Противоположная матрица
Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A , элементы которой отличаются от элементов A знаком.
Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица
Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:
В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.
Пример кососимметрической матрицы:
Разность матриц
Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством
Для обозначения разности двух матриц используется запись:
Степень матрицы
Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:
где E-единичная матрица.
Из сочетательного свойства умножения следует:
где p,q - произвольные целые неотрицательные числа.
Симметричная (Симметрическая) матрица
Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.
Для симметричных матриц имеет место равенство:
a ij =a ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n
Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .
Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .
Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!
Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.
Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами
Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:
Данная матрица состоит из шести элементов
:
Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:
Это просто таблица (набор) чисел!
Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!
Рассматриваемая матрица имеет две строки:
и три столбца:
СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».
Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной
, например: 
– матрица «три на три».
Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .
На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.
Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :
1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .
Вернемся к нашей матрице 
. Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.
Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак
:
У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.
Обратный пример: 
. Выглядит безобразно.
Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :
Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .
2) Действие второе. Умножение матрицы на число .
Пример:
Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.
Еще один полезный пример:
– умножение матрицы на дробь
Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО
:
Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если 
– окончательный ответ задания).
И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:
Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.
Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:
А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
Пример:
В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.
3) Действие третье. Транспонирование матрицы .
Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.
Пример:
Транспонировать матрицу
Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:
– транспонированная матрица.
Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.
Пошаговый пример:
Транспонировать матрицу 
Сначала переписываем первую строку в первый столбец:
Потом переписываем вторую строку во второй столбец:
И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:
Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.
4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .
Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.
Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!
Пример:
Сложить матрицы 
и 
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :
Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .
Пример:
Найти разность матриц 
, 
А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.
5) Действие пятое. Умножение матриц .
Какие матрицы можно умножать?
Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .
Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
Значит, умножать данные матрицы можно.
А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!
Следовательно, выполнить умножение невозможно:
Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение
