Алгоритм венгерского метода решения задач о назначениях. Задача о назначениях

+ +

h =1 

Первый этап .



Второй этап .



В результате решения задачи о назначениях венгерским методом получили, что последовательность
=4,
=4,
=3,
=2,
=2 дает максимальное значение целевой функции=15. Из этого следует, что для отражения атаки СВН противника наиболее эффективным будет следующий вариант назначения ЗОС на ВЦ:

Упражнения .

Найти опорный план транспортной задачи методами «Северо-западного угла», «Наименьшей стоимости», «Фогеля»:

Решить транспортную задачу из задания 1 распределительным методом.

Решить транспортную задачу из задания 1 методом потенциалов.

Венгерским методом решить задачу назначения при поиске максимума:

Венгерским методом решить задачу назначения при поиске минимума:

Контрольные вопросы :

Дайте формулировку транспортной задачи линейного программирования.

Чем отличается сбалансированная транспортная задача от не сбалансированной транспортной задачи?

Сколько в сбалансированной транспортной задаче должно быть базисных переменных?

Дайте определение понятиям: план, допустимый план, опорный допустимый план, оптимальный план, используемым при решении транспортной задачи.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом северо-западного угла.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом наименьшей стоимости.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом Фогеля.

Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана распределительным методом.

Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана методом потенциалов.

Дайте формулировку задачи о назначениях.

Каким образом в задаче о назначениях при разных количествах объектов и средств формируется квадратная матрица назначений?

Сформулируйте алгоритм решения задачи о назначениях Венгерским методом.

Каким образом на предварительном этапе формируется исходная матрица назначений при максимизации целевой функции?

Каким образом на предварительном этапе формируется исходная матрица назначений при минимизации целевой функции?

В чем заключается суть первого этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

В чем заключается суть второго этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

В чем заключается суть третьего этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

Сколько первых, вторых и третьих этапов может находиться в одной итерации решения задачи о назначениях Венгерским методом? Какова последовательность выполнения этапов в итерации?

Сколько независимых нулей должно быть в матрице назначений для принятия решения о том, что оптимальное назначение средств на объекты найдено?

Содержательная постановка задачи. В объединении находится n автомобилей, способных каждый перевозить в месяц Q i тонн груза (i = 1,2,…, n). С их помощью необходимо обеспечить перевозку грузов (пиломатериал, шурупы и т.д.) от поставщиков к потребителям по n маршрутам в количестве R j тонн в месяц (j = 1,2,…, n).
Задача заключается в том, чтобы перевезти все грузы с минимальными издержками, для этого надо каждый автомобиль пустить по одному и только его маршруту. Если возможность автомобиля в перевозке груза ниже потребности потребителя этого груза, то на данный маршрут автомобиль не может быть назначен. Поэтому составляется матрицу С, характеризующую издержки i-го автомобиля, в случае, если он будет назначен на j-й маршрут.

Венгерский метод решения задач о назначениях

Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи , поэтому для ее решения можно воспользоваться любым алгоритмом линейного программирования, однако более эффективным является венгерский метод .

Специфические особенности задач о назначениях послужили поводом к появлению эффективного венгерского метода их решения. Основная идея венгерского метода заключается в переходе от исходной квадратной матрицы стоимости С к эквивалентной ей матрице Сэ с неотрицательными элементами и системой n независимых нулей, из которых никакие два не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Для заданного n существует n! допустимых решений. Если в матрице назначения X расположить n единиц так, что в каждой строке и столбце находится только по одной единице, расставленных в соответствии с расположенными n независимыми нулями эквивалентной матрицы стоимости Сэ, то получим допустимые решения задачи о назначениях.

Следует иметь в виду, что для любого недопустимого назначения соответствующая ему стоимость условно полагается равной достаточно большому числу М в задачах на минимум. Если исходная матрица не является квадратной, то следует ввести дополнительно необходимое количество строк или столбцов, а их элементам присвоить значения, определяемые условиями задачи, возможно после редукции, а доминирующие альтернативы дорогие или дешевые исключить.

В настоящее время разработано множество различных алгоритмов решения Т.з. распределительный метод , метод потенциалов, дельта-метод, венгерский метод, метод дифференциальных рент , способ двойного предпочтения , различные сетевые методы. Они относительно просты, по ним составлены десятки программ для различных вычислительных машин . Во многих снабженческих, транспортных и других организациях во всем мире с их помощью рассчитываются маршруты доставки материалов на строительные площадки, планы длительного прикрепления поставщиков металлопроката к потребителям, планы перевозок топлива. Задачи эти часто усложняются разного рода дополнительными условиями напр., в них включается расчет не только себестоимости перевозок, но и себестоимости производства продукции (производственно-транспортная задача), оптимизируется совместно доставка взаимозаменяемых видов продукции (скажем, различных кровельных материалов), оптимизируется доставка грузов с промежуточными базами (складами). Кроме того, следует учитывать, что экономико-математическая модель Т.з. позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью.  

Полученные с помощью этого алгоритма сбалансированные планы поставок ресурсов и услуг могут быть в дальнейшем оптимизированы стандартными методами (потенциалов, венгерским и др.)  

Венгерский метод в классическом варианте применим только для замкнутой модели транспортной задачи. Поэтому при разработке алгоритмов решения транспортной задачи с открытой или полуоткрытой системой ограничений исследовались и были определены эффективные методы предварительного построения замыкания исходной модели с последующим применением венгерского метода. В общем случае схема решения такой задачи представляет собой двухэтапную процедуру, где на первом этапе определяется замыкание модели, а на втором по замыканию модели отыскивается оптимум задачи.  

Описание алгоритма венгерского метода  

После конечного числа построений очередной первый этап обязательно закончится переходом на второй этап и количество независимых нулей увеличится на единицу, т. е. (к + 1)-я итерация будет завершена. Обоснование отдельных этапов алгоритма венгерского метода для задачи выбора приведено в .  

Количество возможных вариантов назначений равно факториалу числа работ и ресурсов и огромно даже в небольшой задаче. Поэтому для нахождения оптимального варианта применяют специальные алгоритмы. Среди них особенно эффективен при решении 3. о н. вручную т.н. венгерский метод.  

Оптимизация цены, объема выпуска и постоянных затрат предприятия при освоении нового продукта чисто математически может быть осуществлена на основе постановки следующий оптимизационной задачи , которая, будучи выражена линейными уравнениями выручки, переменных и совокупных издержек предприятия, а также зависимости между располагаемыми инвестициями и максимально возможным объемом выпуска продукта, обусловленным созданием на средства этих инвестиций соответствующих новых производственных и торговых мощностей. Эта задача поддается решению методами линейного целочисленного программирования (например, симплекс-методом или так называемым венгерским методом)  

Известны различные способы решения этой задачи - распределительный, венгерский, метод потенциалов и др. Как правило, для расчетов применяется ЭВМ.  

В то же время в книге изложено немало организационных решений , с успехом применяемых на венгерских промышленных предприятиях , представляющих интерес и для наших условий. К таким решениям можно отнести обоснование механизма выявления новых назревших организационных проблем, подлежащих решению процедуру разработки вариантов организационной концепции при подготовке проектов рационализации организационных систем обоснование многофакторного подхода при выборе форм и методов организации производства применение гибких методов организации и диверсификации производства и др.  

Венгерские специалисты разработали методики комплексного исследования рынка для новых товаров как производственного назначения, так и народного потребления. Различие методов обусловлено назначением товаров, в силу чего, например, точнее можно определить круг потребителей изделий производственного назначения, так как покупателями являются определенные предприятия. А это, в свою очередь, говорит производителю о довольно ограниченном объеме выпуска. Маркетинг изделий производственного назначения характерен и тем, что практически возможен опрос всех будущих потребителей, т. v процедура выяснения запросов покупателей проще, чем в случае потребительских товаров.  

Рассматриваемый метод получения ацетилена успешно изучался венгерскими и румынскими химиками в Венгрии и Румынии были построены не только лабораторные, но и опытно-промышленные установки, на которых проводились интенсивные работы по промышленному освоению метода. Промышленные установки, работающие по этому методу, имеются также в ФРГ и в Канаде.  

Существует много частных способов (например, способ Фогеля, методы потенциалов, дифференциальных рент , способ Лебедева - Тихомирова, венгерский метод и др.), а также универсальных методов (например, алгоритм симплекс-метода) решения задач линейного программирования с такого рода условиями. Представляет интерес, как сам результат вычисления, так и его интерпретация.  

Корнай (Kornai) Янош (р. 1928), венгерский экономист-математик, академик АН Венгерской республики. Окончил Будапештский университет (1955), работал в АН, Институте текстильной промышленности , вычислительном центре Академии наук с 1967 г. - профессор и руководитель отдела АН Венгрии, с 1986 г. - профессор экономики в Гарвардском университете. В конце 50-х гг. вместе с Т. Липтаком разработал метод решения задач блочного программирования - метод планирования на двух уровнях (см. Корнай-Липтака метод). Исследовал проблемы функционирования экономики в условиях неравновесия, взаимоотношения между дефицитом и инфляцией. Был одним из идеологов венгерской экономической реформы конца 60-х гг. Иностранный член Британской, Шведской, Финляндской академий наук , почетный член Американской академии искусств и наук, Американской экономической ассоциации почетный доктор университетов многих стран мира . Государственная премия ВНР - 1983 г.  

Большинство конфликтов является ситуациями для торга, сделки, но существуют и такие, в которых возможность выигрыша одной строны в значительной степени зависит от поведения и принимаемых решений другой стороны. Это возможно продемонстрировать на примере, приведенном венгерским социологом Э. Ханкишем. Последний назвал этот метод дилеммой арестанта. Суть его в том, что, добиваясь признания от двух подозреваемых, следователь ставит следующие условия  

Особое место в программе уделяется методам, чувствительным к разладке технологического процесса , в частности, методу регулирования с предупреждающими границами и методу кумулятивных сумм . В программу включены документы по контрольным картам кумулятивных сумм для средних арифметических значений, дисперсий и размахов, числа дефектов и дефектных единиц продукции. По предложению Венгерской Народной Республики в программу внесено общее методическое руководство по применению контрольных карт . Разработка методов регулирования предусмотрена на основе использования критерия проверки гипотез Кеймана-Пирсона или, когда критерий Неймана-Пирсона оказывается неприемлемым, принципа

Шаг 1. (Редукция строк и столбцов). Цель данного шага состоит в получении максимально возможного числа нулевых элементов в матрице стоимостей. Для этого из всех элементов каждой строки вычитают минимальный элемент соответствующей строки, а затем из всех элементов каждого столбца полученной матрицы вычитают минимальный элемент соответствующего столбца. В результате получают редуцированную матрицу стоимостей и переходят к поиску назначений.

Шаг 2. (Определение назначений). На этом шаге можно использовать алгоритм поиска «наибольшего паросочетания с матрицей двудольного графа (существуют и другие возможности), если все =0 матрицы заменить на «1», а >0 на «0».

Если нельзя найти полного назначения, то необходима дальнейшая модификация матрицы стоимостей, т.е. перейти к шагу 3.

Шаг 3 . (Модификация редуцированной матрицы). Для редуцированной матрицы стоимостей:

а) Вычислить число нулей в каждой невычеркнутой строке и каждом невычеркнутом столбце.

б) Вычеркнуть строку или столбец с максимальным числом нулей.

в) Выполнять пункты а) и б) до тех пор, пока не будут вычеркнуты все нули.

г) Из всех невычеркнутых элементов вычесть минимальный невычеркнутый элемент и прибавить его к каждому элементу, расположенному на пересечении двух линий.

Перейти к шагу 2.

Замечание 3 .Если исходная задача является задачей максимизации, то все элементы матрицы стоимостей следует умножить на (-1) и сложить их с достаточно большим числом так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов. Затем задачу следует решать как задачу минимизации.

Пример 13.5. Покажем работу венгерского алгоритма на примере задачи о назначениях со следующей матрицей стоимостей:

Итерация 1

Шаг 1 . Редукция строк и столбцов.

Значения минимальных элементов строк 1, 2, 3 и 4 равны 2, 4, 11 и 4 соответственно. Вычитая из элементов каждой строки соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу:

Значения минимальных элементов столбцов 1, 2, 3 и 4 равны 0, 0, 5 и 0 соответственно. Вычитая из элементов каждого столбца соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу.

Шаг 2 . Поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость. Используем алгоритм поиска наибольшего паросочетания. Преобразуем матрицу в матрицу двудольного графа, затем в рабочую таблицу:

Находим паросочетание:

Это паросочетание не совершенное, т.е. полного назначения нет. На Шаг 3.

Шаг 3. Модификация редуцированной матрицы.

а) Число нулей в строках 1, 2, 3 и 4 равно 1, 1, 2 и 1 соответственно. Для столбцов соответствующие величины равны 2, 1, 1 и 1.

б) Максимальное число нулей, по два, содержат строка 3 и столбец 1. Выбираем строку 3 и вычеркиваем все ее элементы горизонтальной линией.

в) Число невычеркнутых нулей в строках 1, 2 и 4 равно 1, 1 и 1 соответственно. Для столбцов соответствующие значения равны 2, 1, 0, и 0. Поэтому мы должны выбрать столбец 1 и вычеркнуть его вертикальной линией. После этого останется только один невычеркнутый нуль – элемент (2,2). Поэтому можно вычеркнуть либо строку 2, либо столбец 2. Вычеркивая строку 2 горизонтальной линией, получаем следующую матрицу:

г) Значение минимального невычеркнутого элемента равно 2. Вычитая его из всех невычеркнутых элементов и складывая его со всеми элементами, расположенными на пересечении двух линий, получаем новую матрицу стоимостей.

Теорема 1.

Для того чтобы вариант назначения был оптимальным, необходимо и достаточно существование чисел таких, что

для из базиса

Метод потенциалов

Значения переменных можно расставить произвольно, например, методом максимального элемента или методом Фогеля. Для вычисления потенциалов необходимо, чтобы число базисных переменных было равно . Поэтому в число базисных переменных введем базисных нулей. Последние должны быть расставлены так, чтобы базисные элементы матрицы не образовывали циклов.

Вычисляются потенциалы, затем для небазисных пар индексов определяются оценки по формуле

Если все оценки неотрицательны , то процесс окончен: совокупность переменных соответствует оптимальному варианту назначения. Если имеются отрицательные оценки , то вариант выбора не является оптимальным и его следует улучшить. Для этого находим наименьшую отрицательную оценку (пусть это будет и строим цикл пересчета, который замыкается на разрешающей клетке .

Означим вершины цикла: начиная с вершины в разрешающей клетке, ставим знак «+», следующей вершине присваиваем знак «-» и так далее, поочередно, пока не пройдем все вершины. Определяем величину корректировки , которая равна минимальному значению переменной из переменных , принадлежащих вершинам отрицательного полуцикла. Далее вносим изменения в наш вариант назначения: переменные из отрицательного полуцикла уменьшаем на , переменные из положительного полуцикла увеличиваем на эту же величину; остальные переменные остаются без изменения. В результате получим новое назначение.

Задача является сильно вырожденной, в которой число базисных нулей равно . Критерий оптимальности предъявляет одинаковые требования к положительным переменным и к базисным нулям, поэтому в процессе решения результативные итерации часто чередуются холостыми.

Венгерский метод

Рассмотри задачу о назначениях с матрицей эффективностей

В соответствии с постановкой этой задачи, решить её - значит, иными словами, выбрать в матрице С элементов, по одному из каждой строки и каждого столбца так, чтобы сумма выбранных элементов, равная общей эффективности, соответствующей данному выбору, была наибольшей по сравнению с её значениями при всех других таких выборах. Эту задачу можно свести к выбору нулевых элементов, по одному в каждом столбце и каждой строке, в некоторой матрице с неотрицательными элементами, в которой в каждой строке и каждом столбце есть нули.

Две матрицы и назовем эквивалентными , если одна из них получается из другой прибавлением к элементам каждой строки одного и того же числа (для разных строк эти числа могут быть разными) и прибавлением к элементам каждого столбца одного и того же числа (для разных столбцов эти числа могут быть различны)

Теорема 2 (Эгервари).

Множества оптимальных назначений двух задач выбора с эквивалентными матрицами совпадают.

Приведённая теорема позволяет, если это требуется, переходить от данной задачи выбора с матрицей к задаче выбора с любой другой матрицей , при условии, что эквивалентна .

Алгоритм венгерского метода

Предварительный этап

Шаг 1. Переходим от задачи на максимум к задаче на минимум, т.е. . Теперь перейдем от задачи на минимум с матрицей к задаче на минимум с эквивалентной ей матрицей, которая имела бы только неотрицательные элементы, и в каждой строке и каждом столбце которой было бы хотя бы по одному нулевому элементу. Для этого сначала из большего элемента каждого столбца матрицы вычтем элементы того же столбца матрицы , результат поместим на место вычитаемого:

Получится неотрицательная матрица , в каждом столбце которой есть хотя бы один нуль.

Шаг 2. Теперь вычтем из элементов каждой строки матрицы минимальный элемент той же строки матрицы , результат остаётся на месте уменьшаемых элементов:

Полученная матрица и будет неотрицательной матрицей, в каждом столбце и в каждой строке которой есть хотя бы один нуль.

Наименьшее возможное значение суммы элементов неотрицательной матрицы равно, очевидно, нулю. Таким образом, наша задача сводится теперь к выбору в матрице , или эквивалентной ей матрице с неотрицательными элементами нулевых элементов, по одному в каждой строке и каждом столбце. Покажем, как это сделать. Неформальный смысл приводимого ниже алгоритма заключается в последовательных переходах от одного правильного неполного выбора нулей к другому, содержащему на один нуль больше, чем предыдущий, до тех пор, пока не получится полный правильный выбор. При этом на отдельных этапах может потребоваться переход к новой матрице, эквивалентной предыдущей.

Пусть уже проделаны предварительные преобразования матрицы эффективностей данной задачи и получена неотрицательная матрица , содержащая хотя бы по одному нулевому элементу в каждой строке и каждом столбце.

Основной этап

1. Отмечаем звездочкой () какой-нибудь нуль в первом столбце матрицы ;отмечаем звездочкой какой-нибудь нуль во втором столбце, не лежащий в той строке, в которой находится из первого столбца (если такой нуль во втором столбце найдется); отмечаем звездочкой один из нулей третьего столбца, лежащий в строке, где нет еще нуля со звездочкой (если такой нуль в третьем столбце найдется); и так далее, пока не пройдем все столбцы матрицы.

Если число отмеченных звездочкой нулей равно , то процесс окончен: места, занимаемые нулями со звездочкой, соответствуют переменным равным 1, в оптимальном варианте назначения.

Если нулей со звездочкой меньше , то

2. Помечаем знаком «+» сверху столбцы матрицы, в которых есть , и считаем эти столбцы занятыми.

В процессе решения будут появляться и занятые строки. Элементы, стоящие на пересечении незанятой строки и незанятого столбца будем считать незанятыми; остальные элементы - занятыми.

Если в матрице нет незанятых нулей, то переходим к пункту 5.

Если незанятые нули есть, то выбираем первый из них (просматривая поочередно строки слева направо). Отмечаем его каким-нибудь промежуточным значком (например, штрихом ). Если в его строке нет нуля со звездочкой, то переходим к п.4; если в его строке есть, то

3. Столбец, в котором находится , лежащий в той же строке, что и только что отмеченный штрихом нуль, считаем снова незанятым и знак «+» сверху снимаем. Строку, в которой находится наш объявляем занятой и помечаем знаком «+» справа. Возвращаемся к третьему абзацу пункта 2.

4. Строим цепочку из нулей: начинаем с только что отмеченного штрихом нуля (), идем по столбцу до , от него по строке к , и т.д., пока это возможно. Цепочка оборвется на каком-то (возможно на первом же ). Звездочки у нулей в цепочке снимаем, а вместо штрихов у нулей в цепочке ставим звездочки. Получим новый набор нулей со звездочкой, который содержит на один нуль больше, чем предыдущий набор.

Снимаем все пометки, кроме звездочек, и возвращаемся ко второму абзацу пункта 1.

5. Находим минимальный элемент среди незанятых элементов матрицы (пусть он будет равен ) и вычитаем его из всех незанятых элементов, а затем прибавляем ко всем дважды занятым элементам. Остальные элементы переписываем без изменения. Никакие пометки при этом не снимаются. Получается матрица, эквивалентная предыдущей, и содержащая незанятые нули. Возвращаемся к четвертому абзацу п.2.