Возможное количество комбинаций из 4 цифр. Формулы комбинаторики. Сочетания. Подсчет числа сочетаний

В некоторых случаях нам может потребоваться создать список всех возможных комбинаций цифр 4 с номером 0 в 9, что означает сгенерировать список 0000, 0001, 0002 ... 9999. Чтобы быстро решить задачу списка в Excel, я ввожу вам некоторые трюки.

Секунды, чтобы перечислить все комбинации двух или более списков в Excel

Например, у вас есть два списка значений, и вы хотите объединить эти два списка, чтобы получить все возможные комбинации, как показано ниже. В общем, вы можете комбинировать их один за другим, но если есть десятки значений, необходимых для объединения, этот ручной метод стоит много времени. В этом случае вы можете попробовать применить Kutools for Excel "s Список всех комбинаций утилита, которая может быстро генерировать все комбинации из двух или более списков, которые вам нужны. Нажмите, чтобы получить полнофункциональную бесплатную пробную версию 60!

Kutools for Excel: с более чем 300 удобными надстройками Excel, без ограничений в 60-дни.

Kutools для Excel переносит расширенные функции 300 в Excel и мгновенно повышает производительность

Super Formula Bar (легко редактировать несколько строк текста и формул); Чтение макета (легко читать и редактировать большое количество ячеек); Вставить в отфильтрованный диапазон...
Объединить ячейки / строки / столбцы и хранение данных; Содержание сплит-клеток; Объединить дублирующиеся строки и сумму / среднее... Предотвратить повторяющиеся клетки; Сравнить диапазоны...
Выберите Дублировать или Уникальные строки; Выберите пустые строки (все ячейки пусты); Супер найти и нечеткая находка во многих книгах; Случайный выбор...
Точное копирование нескольких ячеек без изменения ссылки на формулу; Автоматическое создание ссылок на несколько листов; Вставьте маркеры, флажки и многое другое...
Любить и быстро вставлять формулы, диапазоны, графики и рисунки; Шифровать ячейки с помощью пароля; Создать список рассылки и отправлять электронные письма...
Извлечь текст, Добавить текст, Удалить по позиции, Удалить пробел; Создание и печать промежуточных итогов подкачки; Преобразование содержимого ячеек и комментариев...
Суперфильтр (сохранение и применение схем фильтрации к другим листам); Расширенный Сортировать по месяцу / неделе / дню, частоте и многому другому; Специальный фильтр жирным шрифтом, курсив...
Объединить рабочие тетради и рабочие листы; Объединение таблиц на основе ключевых столбцов; Разбить данные на несколько листов; Пакетное конвертирование xls, xlsx и PDF ...
Сводная таблица Группировка по номеру недели, дню недели и т. Д. Показать разные разблокированные, заблокированные ячейки; Выделите ячейки, которые имеют формулу / имя...

Список всех возможных комбинаций цифр 4 с формулой

В Excel вы можете использовать приведенную ниже формулу для перечисления всех возможных комбинаций цифр 4 с номером 0 в 9.

Выберите пустую ячейку и введите эту формулу = ТЕКСТ (СТРОКА (A1) -1, "0000") в него, и нажмите вводить затем перетащите маркер автозаполнения до тех пор, пока не будут перечислены все комбинации цифр 4.

Список всех возможных комбинаций цифр 4 со списком всех комбинаций

С формулой для перетаскивания до тех пор, пока не будут указаны все комбинации, это утомительно. Однако, если у вас есть Kutools for Excel установленный, вы можете использовать его Список всех комбинаций утилита для быстрого перечисления всех комбинаций цифр 4.

После установки

1. Выберите ячейку, A1, введите в нее 0, затем опустите следующую ячейку и введите в нее 1. Затем выберите A1 и A2 и перетащите дескриптор автозаполнения вниз, пока не появится номер 9. Смотрите скриншот:

2. Затем вам нужно отформатировать столбец как Текст (столбец поместит комбинации), щелкните по заголовку пустого столбца, произнесите столбец F, а затем щелкните правой кнопкой мыши, чтобы выбрать Формат ячеек И выберите Текст под Число Вкладка Формат ячеек диалога и нажмите OK , Смотрите скриншот:

3. Нажмите Kutools > Вставить > Список всех комбинаций , Смотрите скриншот:

4. Список всех комбинаций диалог выскочит, и вам просто нужно сделать ниже операций:

(1) Выберите Стоимость , который относится к Тип: список;

(2) Нажмите для выбора вашего списка номеров (вы также можете напрямую вводить числа, разделенные запятыми, в текстовое поле) и нажмите Добавить добавить первый список в Список комбинаций ;

(3) Повторите шаг (2) три раза, чтобы добавить еще три списка номеров в Список комбинаций .

5. Нажмите Ok , Теперь появляется диалоговое окно, напоминающее вам о выборе ячейки для размещения результата, здесь вам нужно выбрать первую ячейку столбца, который вы форматируете как Текст .

6. Нажмите OK , Теперь перечислены все комбинации 4 0-9.

Список всех возможных комбинаций цифр 4

A Список всех возможных комбинаций цифр 4 с номером последовательности вставки

In Kutools for Excel , вы можете использовать Вставить порядковый номер для решения этой задачи.

После установки Kutools для Excel, пожалуйста, сделайте следующее:(Скачать Kutools для Excel сейчас!)

1. Выберите большой диапазон ячеек (больше, чем ячейки 100000) и нажмите Kutools > Вставить > Вставить порядковый номер , Смотрите скриншот:

2. Затем в Вставить порядковый номер диалога, выполните следующие действия:

(1) Нажмите Новинки для создания новой последовательности. Смотрите скриншот:

(2) Тип 0 как запуск номер, 1 как инкремент и 4 как Количество цифр , и проверьте Конечный номер вариант и тип 9999 в текстовое поле. Смотрите скриншот:

3. Нажмите Добавить для добавления этого правила последовательности, а затем нажмите Диапазон заполнения , см. снимок экрана:

Вставить все сочетания цифр 4

Супер Формула Бар (легко редактировать несколько строк текста и формул); Макет чтения (легко читать и редактировать большое количество ячеек); Вставить в отфильтрованный диапазон ...
Объединить ячейки / строки / столбцы и хранение данных; Содержание сплит-клеток; Объедините дублирующиеся строки и сумму / среднее ... предотвратить повторяющиеся клетки; Сравнить диапазоны ...
Выберите Дубликат или Уникальный Ряды; Выберите пустые строки (все ячейки пусты); Супер найти и нечеткая находка во многих рабочих тетрадях; Случайный выбор...
Точная копия Несколько ячеек без изменения формулы ссылки; Автоматическое создание ссылок на несколько листов; Вставить пули , Флажки и многое другое...
Любимые и быстро вставляемые формулы , Диапазоны, графики и рисунки; Шифрование ячеек с паролем; Создать список рассылки и отправлять электронные письма...
Извлечение текста Добавить текст, Удалить по позиции, Удалить пространство ; Создание и печать промежуточных итогов подкачки; Преобразование содержимого ячеек и комментариев ...
Суперфильтр (сохранить и применить схемы фильтров к другим листам); Расширенный поиск по месяцам / неделям / дням, частоте и более; Специальный фильтр жирным шрифтом, курсивом...
Объединить рабочие тетради и рабочие листы ; Объединение таблиц на основе ключевых столбцов; Разделить данные на несколько листов ; Пакетное преобразование xls, xlsx и PDF ...
Группировка сводных таблиц по номер недели, день недели и многое другое... Показать разблокированные, заблокированные ячейки разными цветами; Выделите ячейки, которые имеют формулу / имя ...

Включить редактирование и чтение с вкладками в Word, Excel, PowerPoint , Издатель, Доступ, Visio и Проект.
Открывайте и создавайте несколько документов в новых вкладках одного и того же окна, а не в новых окнах.
Увеличивает вашу производительность на 50% и уменьшает сотни щелчков мышью для вас каждый день!

Все N элементов, и ни один не повторяется, то это задача о количестве перестановок. Решение можно найти простым . На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте - любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N - 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N - 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант - последний оставшийся элемент. Для предпоследнего - два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется факториалом числа N и обозначается N! (читается «эн факториал»).

В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M < N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы называются размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.

Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N - 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N - M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N - M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N - M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N - M)!.

Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N - M)!).

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?