Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.

Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .

Общий план решения задачи коммивояжера

Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):

1. Построение матрицы с исходными данными.
2. Нахождение минимума по строкам.
3. Редукция строк.
4. Нахождение минимума по столбцам.
5. Редукция столбцов.
6. Вычисление оценок нулевых клеток.
7. Редукция матрицы.
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9.
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута.

Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.

Подробная методика решения задачи коммивояжера

В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».

Итак, методика решения задачи коммивояжера:

1. Построение матрицы с исходными данными

Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:

В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).

Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.

2. Нахождение минимума по строкам

Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.

3. Редукция строк

Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).

В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .

4. Нахождение минимума по столбцам

5. Редукция столбцов

Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.

В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .

6. Вычисление оценок нулевых клеток

Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.

И так по всем нулевым клеткам:

7. Редукция матрицы

Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).

Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).

8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9

Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.

Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .

9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута

Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.

В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .

Общая длина пути: L = 30 .

Практическое применение задачи коммивояжера

Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.

Решение задачи коммивояжера онлайн

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на

Начало развитию подхода, получившего название метод ветвей и границ, положила работа Ленд и Дойг (1960). Это, скорее, даже не метод, а концепция или процедурная оболочка, на основе которой стали разрабатывать алгоритмы решения целочисленных задач различной природы. Ценность предложенной идеи стала особенно заметна после появления первого точного алгоритма решения задачи коммивояжера, построенного по схеме ветвей и границ (Литтл с соавторами, 1963). Метод можно применять как к полностью, так и частично целочисленным задачам.

Суть идеи схожа с известной шуткой о ловле льва в пустыне: делим пустыню пополам; если льва нет в первой половине, ищем во второй, которую делим пополам и т. д. В отличии от льва оптимум не перемещается, и в этом смысле наша задача легче.

Метод заключается в построении дерева задач, корнем которого является исходная задача, возможно без условия целочисленности (НЗ). Нижележащие задачи порождаются вышележащими так, что их допустимые множества (ДМ) являются непересекающимися подмножествами ДМ вышележащей задачи. Рост дерева происходит за счет перспективных ветвей. Перспективность определяется по оценке критерия терминальной задачи ветвиV ирекорду Z. ОценкаV – это значение критерия, заведомо не хуже оптимального, аZ – достигнутое в процессе решения значение критерия исходной задачи (в качестве начального может приниматься значение, заведомо хуже оптимального). Значит, задача будет порождающей только при условии, что ее оценка лучше рекорда. При этом уровень, на котором находится задача, не имеет значения.

Рассмотрим метод применительно к линейной целочисленной задаче. Хотя нет каких-либо ограничений на число задач, непосредственно порождаемых перспективной, в алгоритмах, как правило, используется разбиение на две задачи, то есть строится бинарное дерево (рис. 7.5). При этом для целочисленных множеств выполняются соотношения

Очевидно, что если, например,V 22 окажется хуже рекорда илиD 22 =, правая ветвь обрывается (говорят также, что она прозондирована). Если же оценкаV 22 будет лучше Z , производится ветвление: множествоD 22 разбивается на 2 подмножества. Решение завершится, когда все ветви будут прозондированы.

Вид оценки зависит от направленности критерия: при максимизации используется верхняя оценка, при минимизации – нижняя. Последующее изложение метода будет относиться к задаче на максимум.

Для алгоритмической реализации схемы ветвей и границ необходимо решить два основополагающих вопроса:

Каким образом разбивать перспективное множество на подмножества;

Как определять верхнюю оценку критерия на рассматриваемом множестве.

Ответы на них зависят от типа задачи (частично или полностью целочисленная, имеет особые свойства или нет, с булевыми или не булевыми переменными). Ниже рассматривается общий случай.

Пусть известен диапазон возможных значений j -й переменной

0  х j  d j ,

которая в непрерывном оптимальном решении оказалась нецелочисленной и равной x j * . Тогда целочисленное значение этой переменной может достигаться либо в интервале 0  х j 
,либо в интервале
+1 х j  d j , где
- целая часть (рис. 7.6).

Это соответствует разбиению непрерывного множестваD н на два непересекающихся подмножества D 1 н и D 2 н , объединение которых не равно D н . В то же время такое разбиение целочисленного множества удовлетворяет соотношениям (7.9). При этом целочисленные множества, как исходное, так и порожденные, включены в соответствующие непрерывные множества. Следовательно, поиск целочисленного решения на непрерывном множестве даст тот же результат, что и на целочисленном. Легко увидеть, что приведенное выделение подинтервалов по одной переменной приводит к разбиению исходного множества на два подмножества при любом числе переменных.

Теперь перейдем ко второму вопросу. Так как целочисленное множество является подмножеством соответствующего непрерывного, оптимальное значение критерия на непрерывном множестве всегда будет не меньше, чем на целочисленном. Поэтому в качестве верхней оценки V можно брать оптимальное значение критерия L * непрерывной задачи.

Выбор начального значения рекорда зависит от ситуации:

если известно какое-либо целочисленное значение, то рекорд принимается равным критерию в этом решении;

при положительности всех коэффициентов критерия можно взять нулевое значение рекорда;

в иных случаях за начальное значение рекорда берется –М , где М- максимально представимое в компьютере число.

По ходу разбиения формируются порождаемые задачи, которые помещаются в список задач. Первоначальный список содержит только одну задачу – исходную задачу без условий целочисленности. И в последующем список будет содержать только непрерывные задачи.

Таким образом, базовый алгоритм, реализующий метод ветвей и границ, включает следующие шаги.

Приведенный алгоритм является базовым, так как не включает однозначных правил выбора задачи из списка и ветвящей переменной. Для частично целочисленных задач при выборе переменной для ветвления исключаются непрерывные переменные.

Пример 7.3 . Применим алгоритм ветвей и границ к задаче

L= 9x 1 + 5x 2  max;

3x 1 - 6x 2  1;

5x 1 +2x 2  28;

 x j  0 , целые.

Отбрасывая условие цедочисленности, получаем непрерывную задачу, которую помещаем в список задач. Так как коэффициенты критерия положительны, начальное значение рекорда принимаем равным нулю. Берем из списка единственную задачу и решаем ее. Получаем оптимальное решение в вершине А (рис. 7.7):x 1 * =4,72; x 2 * =2,19 . Ветвление производим по переменнойx 1 . Добавляя к решенной задаче ограничение x 1 4, образуем задачу 2, а добавление x 1 5 дает задачу 3. Допустимые множества новых задач покзаны на рис. 7.7. Эти задачи помещаем в список задач. Решение задачи 2 достигается в точке В, а задачи 3 – в С. Весь ход решения исходной задачи представлен в виде дерева решений на рис. 7.10. Порядок решения задач из списка отражает счетчик итераций k . На 3-й итерации (задача 4) получено целочисленное решение со значением критерия 41 (точка D нарис. 7.8). Поэтому изменяется рекорд: Z =41.Задача 6 имеет нецелочисленное решение (вершина Е на рис. 7.9), задача 8 – целочисленное решение в точкеF. В результате после 7-й итерации рекорд становится равным 50.

Остальные задачи не имеют допустимых решений, то есть список задач исчерпывается и, таким образом, констатируем получение оптимального решения исходной задачи, равное решению непрерывной задачи 8.

Из приведенного дерева решений видно, что число задач в списке могло быть меньше при другом порядке решения задач. Действительно, если бы сначала были решены задачи правой ветви с рекордом Z= 50, то после решения задачи 2 не произошло бы ветвления, так как верхняя оценка оказалась бы ниже рекорда (V=L * =45,17<50).

Естественно возникает вопрос: а как на числе задач и дереве решений может отразиться выбор другой переменной для ветвления? Так, в нашем примере если после 1-й итерации произвести ветвление по переменнойx 2 , то получим дерево, показанное на рис. 7.11. Оно содержит на 2 задачи больше, чем на рис. 7.10. Конечно, оно может быть также другим при ином порядке решения задач.

Таким образом, число решаемых задач существенно зависит от выбора задачи из списка и переменной для ветвления.

Из алгоритма и приведенного примера следует, что ветвь обрывается по одной из трех причин:

неразрешимость задачи;

задача имеет целочисленное решение;

верхняя оценка не больше рекорда.

Теперь сделаем ряд замечаний относительно метода ветвей и границ. Как уже отмечалось, в базовом алгоритме не оговариваются правила выбора задачи и переменной. В большинстве программных реализаций метода используются правила, основанные на эвристических оценках перспективности задач и переменных. В некоторых пакетах, например, "ЛП в АСУ" предлагается несколько вариантов управления процессом решения: от автоматического до ручного, в котором пользователь может сам делать выбор как задачи, так и переменной. Кроме того, алгоритмы, основанные на методе ветвей и границ, могут существенно отличаться в связи с учетом особенностей класса задач. Например, для задачи коммивояжера, определение оценки значительно упрощено (не требуется решать непрерывную линейную задачу).

Метода ветвей и границ имеет преимущества в сравнении с методом отсечений:

накопление ошибок менее значительное, так как решение идет по разным ветвям;

при принудительной остановке процесса решения высока вероятность получения целочисленного результата, но без установления его оптимальности;

при решении непрерывных задач размеры симплекс-таблиц не увеличиваются.

Недостатки метода ветвей и границ:

Нельзя оценить число задач, которые придется решать. Чем ближе снизу начальное значение рекорда и сверху оценка критерия задачи к искомому оптимальному значению критерия, тем меньше вершин будет иметь дерево решений, а значит, и затрат ресурсов. Однако завышение начального рекорда может привести к неразрешимости задачи, что всегда следует иметь в виду.

Отсутствие признака оптимальности. Оптимальное решение может быть получено задолго до останова алгоритма, но обнаружить это в общем случае нельзя. Оптимальность устанавливается только по исчерпании списка задач.

Очевидно, что эффективность метода повышается с уменьшением диапазонов значений переменных и числа нецелых переменных в решении первой непрерывной задачи.

Метод ветвей и границ

Метод ветвей и границ разработан Литлом, Мерти, Суини и Каре­лом. Рассмотрим основные идеи этого метода. Прежде всего, этот метод связан с некоторой общей схемой допущения и оценки альтернатив. Схема построения альтернативных предположений в общем виде может быть представлена, как это показано на рис. 3.9.

Вершины на рис. 3.9 соответствуют, как и ранее, состояниям зада­чи. Из каждой вершины выходит только два альтернативных направле­ния, что, впрочем, не ограничивает общности рассмотрения. Направле­ния отмечены буквами П с индексами. Идентификатор R(b i) есть неко­торая числовая оценка, приписываемая вершине b i .

Вообще говоря, не имеется ограничений на глубину построения де­рева, хотя ясно, что нужно стремиться к минимальной глубине. Этим, в частности, обосновывается выбор того или иного предположения П m: сначала следует стремиться доказать предположение, достоверность которого в наибольшей степени сомнительна, или наоборот, попытаться опровергнуть предположение, достоверность которого в наибольшей степени правдоподобна, т.е. действовать по принципу reductio ad absurdum, поскольку вероятность получения противоречия здесь наи­большая, это позволяет отсечь соответствующую альтернативу у ее "ис­токов", вместо того, чтобы строить новые альтернативные предполо­жения.

Пусть ищется состояние b * , в котором R(b *) минимально. Допус­тим далее, что известно некоторое текущее решение b x с текущим рекор­дом R(b x) . Тогда ясно, что любое состояние b i , в котором наилучшее достижимое значение R(b i) ³ R(b x) , может быть удалено (соответствующая часть дерева поиска отмечена, как показано с помощью заштрихованной области на рис. 3.9).

Рассмотрим задачу коммивояжера в следующей частной поста­новке. Пусть дано множество N из 4 городов, соединенных дорогами. Будем интерпретировать N сетью, в которой вершины соответствуют городам, причем дугам, соединяющим вершины, приписаны веса с ij , учитывающие затраты на переход коммивояжера из города i в город j (рис. 3.10а).

Полагаем с ij ³ 0 и с ii = ¥ , причем необязательно, чтобы с ij = с ji . Будем кодировать задачу матрицей затрат С = [с ij ], показанной на рис. 3.10,б.

В задаче коммивояжера требуется найти цикл с минимальной сум­мой затрат образующих его дуг, который обходит каждую вершину не более одного раза, за исключением одной вершины, из которой цикл "стартует" и в которой он же "заканчивается".

Рассмотрим решение этой задачи методом ветвей и границ. Решающими оказываются следующие два обстоятельства.

А1) Решению задачи коммивояжера соответствует выбор ровно од­ного элемента в каждой строке матрицы затрат С и ровно одного эле­мента в каждом столбце этой матрицы, причем сумма выбранных эле­ментов минимальна и они образуют цикл. Последнее замечание сущест­венно. Например, элементы (1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4) не образуют цикл.

А2) Если из любой строки (столбца) вычесть (добавить) одну и ту же константу D , то результирующее значение С* суммарных затрат в оптимальном цикле Ц* уменьшится (увеличится) ровно на эту величину D .

Воспользуемся свойством А2. Выпишем минимальные элементы h j в каждом столбце j , после чего вычтем их из элементов соответствую­щих столбцов. Затем в полученной матрице выпишем минимальные элементы h i в строках i . Получим приведенную матрицу на рис. 2.11, а. Вычтем из каждой строки соответствующее значение h i (рис. 3.11, б).

Из матрицы на рис. 3.11, б легко устанавливается, что минимально возможное значение С* (которое обозначим ) вычисляется следую­щим образом

Теперь будем строить предположения для приведенной матрицы затрат на рис. 3.11, б.

Сделаем допущение, что дуга принадлежит Ц*; альтернатив­ное допущение означает, что . Если дуга , то полагаем для дуги с 4,3 = ¥, а также удаляем из матрицы затрат на рис. 2.11, б строку 3 и столбец 4, что в итоге дает матрицу, показанную на рис. 2.12, а. Приведенная матрица изображена на рис.2.12, б.

Для матрицы на рис. 2.12,б находим . Таким образом, получаем, что длина оптимального цикла, содержащего дугу суть

В то же время длина цикла равна 5+2+3+2=12, следовательно, делаем вывод, что дуга не входит в оптимальный цикл. Полагаем с 3,4 = ¥ . Допустим теперь, что дуга . Проведя аналогичные вы­кладки устанавливаем, что минимальная суммарная величина затрат для цикла, содержащего дугу , составляет 13 единиц. Следователь­но, это допущение также отбрасывается, т.к. оно не улучшает текущий рекорд. Полагаем с 1,4 = ¥. В результате в столбце 4 матрицы на рис. 3.10, б останется единст­венный допустимый элемент с 2,4 = 2 . Полагаем, . Это допущение позволяет удалить строку 2 и столбец 4. В результате получаем приведенную матрицу, изображенную на рис. 3.13, для кото­рой Ц* равно 12. Допустим, что дуга Тогда автоматически следует, что дуга . Удалим строку 4 и столбец 3: получим приведенную матрицу, изображенную на рис. 3.14, из которой автоматически сле­дует, что дуга . Таким образом, из исходного предположения о том, что дуга , устанавливаем следующий оптимальный цикл, не содержа­щий дуги : с суммарными затратами, равными 2 + 3 + 2 + 5 = 12.

Метод можно применять как к полностью, так и частично целочисленным задачам.

Метод заключается в построении дерева задач. Оценка V – это значение критерия, заведомо не хуже оптимального, а рекорд Z – достигнутое в процессе решения значение критерия исходной задачи. Задача будет порождающей только при условии, что ее оценка лучше рекорда. При этом уровень, на котором находится задача, не имеет значения.

Рассмотрим метод применительно к линейной целочисленной задаче. Используется разбиение на две задачи, то есть строится бинарное дерево. При этом для целочисленных множеств выполняются соотношения (9)

Алгоритм:

1. Задается начальное значение рекорда и в список задач помещается исходная задача без требования целочисленности переменных.

2. Анализируется список задач: если он пуст, то переход на шаг 6. Иначе выбирается одна из задач с удалением ее из списка.

3. Выбранная задача решается одним из методов линейного программирования. Если задача неразрешима или оптимальное значение критерия L* £ Z , ветвь обрывается (задача прозондирована). Переход на шаг 2.

4. Полученное решение анализируется на целочисленность. Если решение целочисленное, оно фиксируется, рекорду присваивается оптимальное значение критерия решенной непрерывной задачи (Z :=L* ), ветвь обрывается и осуществляется переход на шаг 2.

5. Выбирается одна из переменных, имеющих нецелочисленные значения. По ней производится ветвление: порождаются 2 задачи, одна образуется присоединением к решенной (родительской) задаче условия х j £ , другая – добавлением к родительской ограничения х j ³ +1. Эти задачи заносятся в список задач. Переход на шаг2.

6. Вывод результатов (если значение рекорда больше начального, получено оптимальное решение исходной задачи, иначе задача неразрешима).

Число решаемых задач существенно зависит от выбора задачи из списка и переменной для ветвления. Из алгоритма, что ветвь обрывается по одной из трех причин:

Неразрешимость задачи;

Задача имеет целочисленное решение;

Верхняя оценка не больше рекорда.

Метода ветвей и границ имеет преимущества в сравнении с методом отсечений: накопление ошибок менее значительное, так как решение идет по разным ветвям; при принудительной остановке процесса решения высока вероятность получения целочисленного результата, но без установления его оптимальности; при решении непрерывных задач размеры симплекс-таблиц не увеличиваются.

Недостатки метода ветвей и границ:

Нельзя оценить число задач, которые придется решать; Отсутствие признака оптимальности. Оптимальность устанавливается только по исчерпании списка задач; Размерность ограничена примерно 100.

Здравствуй, Хабр! Реализовывая различные алгоритмы для нахождения гамильтонова цикла с наименьшей стоимостью, я наткнулся на публикацию , предлагающую свой вариант. Попробовав в деле, я получил неправильный ответ:

Дальнейшие поиски в Интернете не принесли ожидаемого результата: либо сложное для не-математиков теоретическое описание, либо понятное, но с ошибками.

Под катом вас будет ждать исправленный алгоритм и онлайн-калькулятор.

Сам метод, опубликованный Литтлом, Мерти, Суини, Кэрелом в 1963 г. применим ко многим NP-полным задачам, и представляет собой очень теоритеризованный материал, который без хороших знаний английского языка и математики сразу не применишь к нашей задаче коммивояжера.

Кратко о методе - это полный перебор всех возможных вариантов с отсеиванием явно неоптимальных решений.

Исправленный алгоритм, для нахождения действительно минимального маршрута

Алгоритм состоит из двух этапов:

Первый этап

Приведение матрицы затрат и вычисление нижней оценки стоимости маршрута r.

1. Вычисляем наименьший элемент в каждой строке (константа приведения для строки)
2. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждой строки ее константу приведения
3. Вычисляем наименьший элемент в каждом столбце (константа приведения для столбца)
4. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждого столбца его константу приведения.
Как результат имеем матрицу затрат, в которой в каждой строчке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент.
5. Вычисляем границу на данном этапе как сумму констант приведения для столбцов и строк (данная граница будет являться стоимостью, меньше которой невозможно построить искомый маршрут)

Второй (основной) этап

1.Вычисление штрафа за неиспользование для каждого нулевого элемента приведенной матрицы затрат.
Штраф за неиспользование элемента с индексом (h,k) в матрице, означает, что это ребро не включается в наш маршрут, а значит минимальная стоимость «неиспользования» этого ребра равна сумме минимальных элементов в строке h и столбце k.

А) Ищем все нулевые элементы в приведенной матрице
б) Для каждого из них считаем его штраф за неиспользование.
в) Выбираем элемент, которому соответствует максимальный штраф (любой, если их несколько)

2. Теперь наше множество S разбиваем на множества - содержащие ребро с максимальным штрафом(S w) и не содержащие это ребро(S w/o).
3. Вычисление оценок затрат для маршрутов, входящих в каждое из этих множеств.
а) Для множества S w/o все просто: раз мы не берем соответствующее ребро c максимальным штрафом(h,k), то для него оценка затрат равна оценки затрат множества S + штраф за неиспользование ребра (h,k)
б) При вычислении затрат для множества S w примем во внимание, что раз ребро (h,k) входит в маршрут, то значит ребро (k,h) в маршрут входить не может, поэтому в матрице затрат пишем c(k,h)=infinity, а так как из пункта h мы «уже ушли», а в пункт k мы «уже пришли», то ни одно ребро, выходящее из h, и ни одно ребро, приходящее в k, уже использоваться не могут, поэтому вычеркиваем из матрицы затрат строку h и столбец k. После этого приводим матрицу, и тогда оценка затрат для S w равна сумме оценки затрат для S и r(h,k), где r(h,k) - сумма констант приведения для измененной матрицы затрат.
4. Из всех неразбитых множеств выбирается то, которое имеет наименьшую оценку.

Так продолжаем, пока в матрице затрат не останется одна не вычеркнутая строка и один не вычеркнутый столбец.

Небольшая оптимизация - подключаем эвристику

Да, правда, почему бы нам не ввести эвристику? Ведь в алгоритме ветвей и границ мы фактически строим дерево, в узлах которого решаем брать ребро (h,k) или нет, и вешаем двух детей - Sw(h,k) и Sw/o(h,k). Но лучший вариант для следующей итерации выбираем только по оценке. Так давайте выбирать лучший не только по оценке, но и по глубине в дереве, т.к. чем глубже выбранный элемент, тем ближе он к концу подсчета. Тем самым мы сможем наконец дождаться ответа.

Теперь, собственно, об ошибках в той публикации

Ошибка была одна единственная - следует выбирать для разбиения множество с минимальной границей из всех возможных путей, а не из двух полученных в результате последнего разбиения детей.

Доказательство

Вернемся к картинке в начале поста:

А вот решение с исправленным алгоритмом:

Ответ: путь:3=>4=>2=>1=>5=>3 длина: 41
Как видите, включая ребро 5:2 в решение будет ошибкой. Что и требовалось доказать

График сравнения метода ветвей и границ и потраченного времени для случайной таблицы от 5х5 до 10х10:


График максимального и минимального потраченного времени для матриц от 5х5 до 66х66.


Попробовать с подробным решением можно