В 1933 г. В. А. Котельников доказал теорему, которая является одним из фундаментальных положений теоретической радиотехники. Эта теорема устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.

Построение ортонормированного базиса.

Как было показано, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству

являются ортогональными. Путем соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщенный ряд Фурье.

Достаточно рассмотреть лишь функцию

так как норма любого сигнала одинакова независимо от сдвига во времени. Поскольку

функции и будут ортонормированными, если

Бесконечная совокупность функций

образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением Отдельная функция называется отсчетной функцией.

Ряд Котельникова. Если - произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот - , то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

Коэффициентами рада служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и отсчетной функции:

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении обобщенной формулы Рэлея. Легко проверить, что отсчетная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную . Это видно из сравнения формул (5.3) и (5.13). Тогда, если - спектр изучаемого сигнала то

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как т. е. мгновенное значение сигнала отсчетной точке

Таким образом,

откуда следует выражение ряда Котельникова:

Теорему Котельникова на основании последнего равенства принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени

Пример 5.1. Дан сигнал

Выбрав некоторый фиксированный интервал между отсчетами получаем возможность однозначно восстановить по отсчетам любой сигнал, спектр которого не содержит составляющих на частотах выше граничной частоты

Если то к рассматриваемому гармоническому сигналу применима теорема Котельникова; отсчетные значения (выборки) данного сигнала

В предельном случае, когда частота стремится к слева, т. е.

на каждый период гармонического сигнала должно приходиться ровно две выборки.

Если же условия теоремы Котельникова нарушаются и отсчеты во времени берутся недостаточно часто, то однозначное восстановлен ние исходного сигнала принципиально невозможно. Через отсчетные точки можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы -

Рис. 5.2. Аппаратурная реализация синтеза сигнала по ряду Котельникова

Аппаратурная реализация синтеза сигнала, представленного рядом Котельникова.

Важная особенность теоремы Котельникова состоит в ее конструктивном характере; она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчетными значениями (рис. 5.2).

Пусть имеется совокупность генераторов, создающих на выходных зажимах отсчетные функции . Генераторы являются управляемыми - амплитуда их сигналов пропорциональна отсчетным значениям Если объединить колебания на выходах, подав их на сумматор, то с выхода сумматора в соответствии с формулой (5.18) можно будет снимать мгновенные значения синтезируемого сигнала s(t).

Пример 5.2. Прямоугольный видеоимпульс с единичной амплитудой и длительностью не принадлежит к числу сигналов с ограниченным спектром. Тем не менее модуль его спектральной плотности достаточно быстро (по закону ) уменьшается с ростом частоты.

Описание такого сигнала двумя отсчетами в начале и в конце импульса будет означать замену исходного колебания сигналом со спектром, ограниченным сверху частотой Математическая модель этого сигнала такова:

Если же описать импульс тремя равноотстоящими отсчетами, то приходим к аппроксимирующему сигналу, содержащему частоты вплоть до

Естественно, что с ростом числа учитываемых членов, т. е. с уменьшением временного интервала между выборками, точность аппроксимации будет повышаться.

Оценка ошибки, возникающей при аппроксимации произвольного сигнала рядом Котельникова.

Если - произвольный сигнал, то его можно представить суммой к в которую входит сигнал со спектром, ограниченным значением а также сигнал ошибки аппроксимации со спектром, занимающим в обшем случае бесконечную полосу частот .

Спектры указанных сигналов не перекрываются, поэтому сигналы ортогональны, а их энергии, т. е. квадраты норм, складываются:

В качестве меры ошибки аппроксимации можно принять расстояние, равное норме сигнала ошибки. Если - энергетический спектр сигнала то по теореме Рэлея

Пример 5.3. Дан экспоненциальный видеоимпульс , характеризующийся энергетическим спектром и нормой

Эффективная длительность этого импульса (см. гл. 2)

Спектр рассматриваемого сигнала неограничен. Поэтому следует предварительно подвергнуть сигнал низкочастотной фильтрации, пропустив его через фильтр нижних частот (ФНЧ). Значение верхней частоты полосы пропускания фильтра следует выбирать в зависимости от того, сколь часто берутся отсчеты сигнала на выходе ФНЧ. Предположим, что за время измеряются отсчетов с интервалом . Согласно теореме Котельникова, это означает, что .

Сигнал с выхода ФНЧ восстанавливается по своим отсчетным значениям точно. Однако по отношению к исходному видеоимпульсу неизбежна ошибка. В данном случае норма сигнала ошибки

Теорема Котельникова (теорема отсчетов)

Проблема дискретизации сигналов с ограниченным спектром широко освещена в литературе, и основой ее служит теорема Котельникова (теорема Найквиста - Шеннона, или теорема отсчетов). Считается, что первыми фундаментальными трудами в этой области были работа В. А. Котельникова «О пропускной способности “эфира” и проволоки в электросвязи» (1933) и статья К. Шеннона «Связь при наличии шума» (1949). Статья К. Шеннона была написана на основе работы Е. Т. Уттакера «Функции, представляемые распространением теории интерполяции» (1915). Проблема представления функции отдельными значениями и восстановления ее при помощи интерполяции начала решаться в XVIII в. в работах О. Коши, П.-С. Лапласа и т.д., а позднее описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли.

Для того чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми погрешностями, необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации At. Интуитивно нетрудно понять следующую разумную идею. Если аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой F B (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изменяющейся кривой без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некотором небольшом временном интервале дискретизации At эта функция может существенно изменяться но амплитуде.

Точность восстановления аналогового сигнала по его отсчетам зависит от интервала дискретизации At. Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшением интервала At существенно возрастают сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При большом интервале дискретизации At возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.

Оптимальное значение интервала дискретизации устанавливается теоремой Котельникова. Согласно одной из наиболее известных и простых интерпретаций этой теоремы произвольный сигнал u(t ), спектр которого ограничен некоторой частотой F B , может быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений , следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации At и частоту F d = F n в теории связи иногда называют соответственно интервалом и частотой Найквиста.

Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

где k - номер отсчета; u(kAt) - значения непрерывного сигнала u(t) в точках отсчета; со в = 2nF n = к/At - верхняя частота спектра сигнала.

Для доказательства теоремы рассмотрим аналоговый сигнал u(f), спектральная плотность 5(со) которого сосредоточена в полосе -оо в t на со, частоту co t = со в на At и п на k. Тогда

Рис. 6.2. Представление спектральной плотности периодической функцией

Полагая в формуле (2.21) период 2со в, а интервал дискретизации At = л/со п, получим

Используя обратное преобразование Фурье (2.30), запишем сигнал как

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-vo отсчета времени. Поскольку t = kAt = kn/ со в, то

Сравнив эту формулу с формулой (6.4), замечаем, что C k = Atu(kAt). С учетом этого соотношения спектральная функция (6.3) после преобразований примет вид

Подставим соотношение (6.6) в формулу (6.5), изменим порядок интегрирования и суммирования, представим n/At =

Из этой формулы следует, что непрерывная функция u(t) действительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплитуды в отсчетные моменты времени t = kAt, что и доказывает теорему Котельникова. Сигналы

ортогональные на интервале [-°°, +°°], называются функциями отсчетов или функциями Котельникова. График k- функции Котельникова представлен на рис. 6.3. Каждая из функций s k (t) сдвинута относительно ближайшей s k ,(?) или s k + l (t) на интервал дискретизации At. Анализ формулы

(6.7) и графика на рис. 6.3 показывает, что сигнал s k (t) отражается функцией sinx/x y которая характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса.

Рис. 6.3.

Представление сигнала u(t) рядом Котельникова (6.3) иллюстрируется диаграммами на рис. 6.4. На графике построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты 0, At, 2At и ЗД?, взятым в соответствии с теоремой Котельникова. При суммировании этих членов ряда в любые отсчетные моменты kAt непрерывный сигнал абсолютно точно восстанавливается независимо от числа выбранных отсчетов. В интервале же между любыми отсчетами сигнал u(t) восстанавливается тем точнее, чем больше суммируется членов ряда (6.3). Заметим, что соединить дискретные отсчеты сигнала на графике прямыми линиями было бы не совсем верно, так как при восстановлении непрерывного сигнала по дискретному используют более сложные интерполирующие функции.

На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, большинство звуковых сигналов можно с некоторой степенью точности считать сигналами с ограниченным спектром. Их спектр лежит ниже 20 кГц. Это значит, что при дискретизации с частотой не менее 40 кГц мы можем потом более или менее точно восстановить исходный аналоговый звуковой сигнал по его цифровым отсчетам.

Рис. 6.4.

Пример 6.1

Сигнал звукового сопровождения в телевизионном канале ограничен верхней частотой /„ = 12 кГц. Определим интервал At между отсчетами, необходимый для неискаженного воспроизведения дискретизированного сигнала. Решение

Определяем интервал дискретизации: At = 1/(2/ в) = 1/(2 12 -10 ’) ~ 42 10 6 с.

Впоследствии было предложено много различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчетов:

• для функций, отсчеты которых берутся в произвольные моменты времени;
• для многомерных функций (например, для телевизионных сигналов);
• для функций, у которых берутся отсчеты и самой функции, и ее производной.

Оценим возможность применения теоремы Котельникова к импульсному сигналу u(t) конечной длительности Т п. Такие сигналы теоретически обладают бесконечно широким спектром. Однако всегда можно ограничиться верхней частотой F B , за пределами которой в спектре содержится малая доля энергии по сравнению с энергией всего сигнала. В теории связи таким критерием является содержание 90% средней мощности сигнала в границах спектра. В этом случае сигнал u(t) длительностью Т И с верхней граничной частотой спектра F B может быть представлен рядом Котельникова с ограниченным числом отсчетов

Здесь Л г = TJAt - число отсчетов.

Пример 6.2

Представим рядом Котельникова прямоугольный импульс напряжения единичной амплитуды и длительности т„ для двух случаев: спектр аппроксимирующей функции ограничен значениями верхней частоты F Bl = 1/(2т и) и F d2 = 1/т„.

Решение

Для первого случая интервал дискретизации At = 1/(2F B) = т и, а значит, импульс будет представлен всего двумя отсчетными значениями - в начале и концс импульса. Подставив в формулу (6.8) значения амплитуды и длительности импульса, запишем математическую модель аппроксимирующей функции:

Во втором случае импульс дискретизируют тремя равными отсчетами, производимыми в моменты t = 0, т (1 /2 и т и, т.е. в начале, середине и конце импульса. Тогда

Временные диаграммы аппроксимирующих функций u 2 (t) и u 3 (t) и образующие их члены ряда Котельникова представлены на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Представление прямоугольного импульса отсчетами:

а - двумя; 6 - тремя

Пример б.З

Определим минимальную частоту дискретизации по Котельникову, при которой гармонический сигнал u(t) = cos(2nF 0 t +

Решение

При выборе интервала дискретизации At = 1/(2F B), где F B - верхняя граничная частота спектра, непрерывный сигнал u(t) можно восстановить по отсчетам (рис. 6.6, а). Если соотношение частот F 0 щ = = cos (knF 0 /F B + %).

В предельном случае, когда частота сигнала F 0 стремится к частоте дискретизации F B слева, т.е. F 0 = lim (F n - р), на каждом периоде исходного сигнала долж-

но осуществляться два отсчета.

Восстановление функции зависит от фазы отсчетов сигнала относительно выборок. Если максимум синусоиды приходится на середину интервала между отсчетами, то погрешность наибольшая, если же на отсчет, то - наименьшая.

Рис. 6.6.

а - при F 0 по двум отсчетам

Очевидно, что выборки могут попадать на нулевые значения синусоиды, экстремумы или промежуточные значения. Так как априорно фаза выборок относительно дискретизируемой синусоиды неизвестна, то после восстановления сигнала фильтром синусоиду можно не увидеть. В этом примере самая высокая точность восстановления синусоиды будет тогда, когда обе выборки взяты в ее максимальных значениях. Колебание на входе ФНЧ имеет пилообразную форму той же частоты, что и частота синусоиды (штриховые линии на рис. 6.6, б).

Если отсчеты производят недостаточно часто и условия теоремы Котельникова нарушаются, то однозначное восстановление гармонического сигнала невозможно. В этих случаях через отсчетные моменты времени можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы -F n F Можно утверждать, что погрешность восстановления синусоиды при частоте выборок 2F 0 может составлять 100%. Уже этого достаточно для подтверждения правильности изложенных выводов.

Пример 6.4

Дискретизированный в соответствии с теоремой Котельникова непрерывный сигнал u(t) имеет два отсчета на временной оси (рис. 6.7). Вычислим мгновенное значение исходного сигнала в момент времени t = 1 мкс.

Рис. 6.7.

Решение

По рис. 6.7 определяем, что интервал дискретизации = 210 (, си верхняя частота спектра исходного сигнала со в = к/ At = 1,57- 10 f> с -1 . Согласно формуле

(6.8) ряд Котельникова в этом случае примет вид

Из этого соотношения находим мгновенное значение аналогового сигнала в момент времени t = 1 мкс: u(t = 1 мкс) = 22,3 В.

В 1933 году В.А. Котельниковым доказана теорема отсчетов , имеющая важное значение в теории связи: непрерывный сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчетам , взятым через интервалы , где – верхняя частота спектра сигнала.

В соответствии с этой теоремой сигнал можно представить рядом Котельникова :

.

Таким образом, сигнал , можно абсолютно точно представить с помощью последовательности отсчетов , заданных в дискретных точках (рис.1.16).

образуют ортогональный базис в пространстве сигналов, характеризующихся ограниченным спектром:

При .

Обычно для реальных сигналов можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена основная часть его энергии и которым определяется ширина спектра сигнала. В ряде случаев спектр сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи должны иметь минимальную полосу частот. Сокращение спектра выполняют, исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при телефонной связи хорошая разборчивость речи и узнаваемость абонента обеспечиваются при передаче сигналов в полосе частот . Увеличение приводит к неоправданному усложнению аппаратуры и повышению затрат. Для передачи телевизионного изображения при стандарте в 625 строк полоса частот, занимаемая сигналом, составляет около 6 МГц.

Из вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными математическими моделями многих реальных сигналов.

Функция вида называется функцией отсчетов (рис.1.17).

Она характеризуется следующими свойствами. Если , функция отсчетов имеет максимальное значение при , а в моменты времени () она обращается в нуль; ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна , поэтому минимальная длительность импульса, который может существовать на выходе линейной системы с полосой пропускания , равна ; функции отсчетов ортогональны на бесконечном интервале времени.

На основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной передачи непрерывных сигналов:

Для передачи непрерывного сигнала по каналу связи с полосой пропускания определим мгновенные значения сигнала в дискретные моменты времени , (). После этого передадим эти значения по каналу связи каким - либо из возможных способов и восстановим на приемной стороне переданные отсчеты. Для преобразования потока импульсных отсчетов в непрерывную функцию пропустим их через идеальный ФНЧ с граничной частотой .

Можно показать, что энергия сигнала находится по формуле :

Выражение (1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но является приближенным, т.к. сигналы не могут быть одновременно ограничены по частоте и времени.

Теорема Котельникова

В области цифровой обработки сигналов, Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе - теорема Найквиста - Шеннона, или теорема отсчётов) связывает аналоговые и дискретные сигналы и гласит, что, если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своимотсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте :

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в нуль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и, из теоремы Котельникова, вытекают два следствия:

1. Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой , где - максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала;

2. Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде интерполяционного ряда:

где - функция sinc. Интервал дискретизации

удовлетворяет ограничениям

Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала .

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу 1928 года «Certain topics in telegraph transmission theory», в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Купфмюллер получил тот же результат . О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана В. А. Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом : «Любую функцию , состоящую из частот от 0 до , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 (через 16 лет) году доказал Клод Шеннон , поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона.

Частота дискретизации (или частота сэмплирования ) - частота, с которой происходит оцифровка, хранение, обработка или конвертация сигнала из аналога в цифру. Частота дискретизации, согласно Теореме Котельникова, ограничивает максимальную частоту оцифрованного сигнала до половины своей величины.

Чем выше частота дискретизации, тем более качественной будет оцифровка. Как следует из теоремы Котельникова для того чтобы одназначно восстановить исходный сигнал, частота дискретизации должна превышать наибольшую необходимую частоту сигнала в два раза.

На данный момент, в звуковой технике среднего уровня глубина дискретизации находится в пределах 10-12 бит. Но на слух заметить разницу между 10 и 12 битами не представляется возможным в связи с тем, что человеческое ухо не способно различить такие малые отклонения. Ещё одной причиной бесполезности служит Коэффициент нелинейных искажений УМЗЧ и других компонентов звукогого тракта, явно превышающий величину шага квантования. Бо́льшее разрешение зачастую носит лишь маркетинговый смысл и фактически на слух не заметно.

Оцифро́вка (англ. digitization ) - описание объекта, изображения или аудио- видеосигнала (в аналоговом виде) в виде набора дискретных цифровых замеров (выборок) этого сигнала/объекта, при помощи той или иной аппаратуры, т. е. перевод его вцифровой вид, пригодный для записи на электронные носители.

Для оцифровки объект подвергается дискретизации (в одном или нескольких измерениях, например, в одном измерении для звука, в двух для растрового изображения) и аналогово-цифровому преобразованию конечных уровней.

Полученный в результате оцифровки массив данных («цифровое представление» оригинального объекта) может использоваться компьютером для дальнейшей обработки, передачи по цифровым каналам, сохранению на цифровой носитель. Перед передачей или сохранением цифровое представление, как правило, подвергается фильтрации и кодированию для уменьшения объема.

Иногда термин «оцифровка» используется в переносном смысле, в качестве замены для соответствующего термина [ уточнить ] , при переводе информации из аналогового вида в цифровой. Например:

· Оцифровка звука.

· Оцифровка видео.

· Оцифровка изображения.

· Оцифровка книг - как сканирование, так и (в дальнейшем) распознавание.

· Оцифровка бумажных карт местности - означает сканирование и, как правило, последующую векторизацию (растрово-векторное преобразование, т. е. перевод в формат векторного описания).

Дискретизация

Передача непрерывных (аналоговых) сигналов по линии связи предполагает передачу бесконечного множества их мгновенных значений на протяжении конечного промежутка времени. При этом спектр финитного, т.е. ограниченного во времени, непрерывного сигнала бесконечен. Однако, на практике различные радиотехнические устройства (фильтры, усилители и другие) имеют ограниченную полосу пропускания, что приводит к ограничению спектра сигнала некоторой граничной частотой (или ), которая определяется свойствами получателя сообщений. Так например, общепринятой нормой в системах передачи речевых сигналов является ограничение спектра сигнала в пределах , в системах телевидения – . Как преодолеть противоречие между ограничением спектра сигнала и конечным временем его существования? Ответ на этот вопрос даёт теорема, сформулированная и доказанная академиком В.А. Котельниковым и получившая название теоремы Котельникова или теоремы отсчётов.

Теорема Котельникова формулируется следующим образом. Непрерывный сигнал , ограниченный по спектру частотой (или ), полностью определяется совокупностью мгновенных значений (отсчётов) в моменты времени , отстоящие друг от друга на интервал времени .

Математически теорема Котельникова определяется выражением

или с учётом (2.12)

которое представляет собой разложение сигнала в особого рода ряд по системе базисных функций

,

являющихся ортогональными на интервале времени (сравните с разложением сигнала в ряд Фурье).

Доказательство теоремы Котельникова приведено в литературе . Мы же остановимся на вопросах физического толкования и практического применения результатов теоремы.

Выделим одно из слагаемых ряда (3.1)

. 3.3)

Это слагаемое представляет собой отклик идеального фильтра нижних частот (ФНЧ), т.е. фильтра с постоянным коэффициентом передачи в пределах полосы частот от нуля до , на очень короткий импульс с амплитудой . (рис. 3.1).

Отметим, что в моменты времени , и т.д. значения отклика равны нулю. Это определяет механизм восстановления непрерывного сигнала по его отсчётам.

Формирование последовательности отсчётов непрерывного сигнала, которая представляет собой дискретный сигнал , т.к. значение любого отсчёта сохраняется неизменным в течение интервала времени (см. классификацию сигналов), осуществляется при помощи импульсного модулятора.

Простейший вариант импульсного модулятора представляет со­бой перемножитель (рис. 3.2), на один вход которого подаётся непре­рывный сигнал , а на второй – последовательность

коротких единичных импульсов вида (1.13), следующих друг за другом с периодом (рис. 3.2, а). Тогда на выходе перемножителя будет иметь место последовательность коротких импульсов

,

амплитуды которых равны , т.е. соответствуют мгновенным значениям сигнала , отсчитанным в момент времени . (рис 3.3, в).

Процесс формирований последовательности отсчётов называется дискретизацией непрерывного сигнала.

Восстановление непрерывного сигнала осуществляется путём подачи дискретного сигнала на идеальный фильтр нижних частот. Отклик фильтра на каждый отсчёт определяется выражением (3.2). При этом, в момент времени , значение отклика определяется только k -тым отсчётом дискретного сигнала; отклик на остальные отсчёты равны нулю (Рис. 3.3, г). Суммируясь, эти отклики дают на выходе ФНЧ исходный сигнал .

Отметим два важных обстоятельства.

Во-первых, точное восстановление сигнала имеет место только при . Введя в рассмотрение частоту дискретизации , получим так называемую частоту Найквиста , т.е. минимальное значение частоты дискретизации, при котором возможно точное восстановление непрерывного сигнала. Обычно, на практике частоту дискретизации выбирают выше предела Найквиста. Так, например, частота Найквиста для речевого сигнала при составляет . В реальных РТИС эта частота составляет .

Во-вторых, точное восстановление сигнала возможно при суммировании бесконечного числа откликов, что соответствует сигналу , неограниченному во времени. Но в действительности, сигналы являются ограниченными и по спектру и по времени. Однако, при определённых допущениях теорема Котельникова справедлива и для этого случая.

Если сигнал, длительностью ограничивается радиотехническим устройством с граничной частотой , то для его представления в дискретной форме требуется конечное число отсчетов, где

. (3.4)

Таким образом для восстановления сигнала длительностью , ограниченного по спектру частотой достаточно передать независимых отсчетов, однозначно связанных с его формой.

Но теоретически сигнал, ограниченный по времени имеет бесконечный спектр. А это означает, что при восстановлении сигнала по отсчетам будет иметь место ошибка, т.е. восстановленный сигнал ŝ(t ) будет отличаться от исходного . Казалось бы, теорема Котельникова неприменима к реальным сигналам. Тем не менее, если к точности восстановления сигнала по отсчетам предъявить определенные требования, например, допустить его восстановление с заданным уровнем ошибки, то утверждения теоремы Котельникова можно с успехом распространить на реальные сигналы, несколько изменив частоту дискретизации по сравнению с пределом Найквиста.

Теперь с учетом того, что реальный сигнал длительностью представляется отсчетами мгновенных значений, выражение (3.1) принимает вид:

Величина называется базой сигнала . Понятие базы играет важную роль при представлении непрерывного сигнала конечным числом отсчетов. Соответствующим образом выбранная база определяет информационные показатели сигналов, способность противостоять помехам при передаче по каналам связи, энергетическую скрытность и другие.

Рассмотрим теперь вопрос оценки точности восстановления непрерывного сигнала по совокупности отсчетов его мгновенных значений. Как уже неоднократно подчеркивалось выше, ограниченный во времени сигнал имеет бесконечный спектр. Согласно равенству Парсеваля (2.50) энергия такого сигнала равна

где или – энергетический спектр, представленный как функция либо круговой , либо циклической частоты.

Энергия за пределами частоты (или ) составляет величину

. (3.7)

На рис. 3.4 изображен энергетический спектр сигнала, ограниченного во времени и граничная частота .

Площадь под всей кривой характеризует полную энергию сигнала , а площадь заштрихованного участка - ту часть энергии , которая сосредоточена за пределами .

Тогда отношение

может служить оценкой точности восстановления сигнала. Задаваясь величиной можно определить частоту , а следовательно и частоту дискретиза ции .

Рассмотрим следующий пример. Пусть сигнал на интервале времени описывается экспоненциальной функцией

Воспользовавшись преобразованием Фурье, найдем спектральную функцию сигнала

.

Модуль спектральной функции

,

а энергетический спектр

.

Воспользовавшись выражением (3.5), найдем энергию сигнала

.

В соответствии с (3.6), вычислим :

.

При расчете и использован табличный интеграл

.

Найдем величину среднеквадратичной ошибки восстановления

.

Представим

.

откуда следует

.

Полагая, что для малых значений

Теперь можно найти

или переходя к циклическим частотам

.

Частота дискретизации

.

Таким образом, задаваясь величиной можно определить частоту дискретизации непрерывного сигнала. Очевидно, число отсчетов при дискретизации рассматриваемого сигнала будет равно

.

Из приведенного примера следует, что чем меньшую ошибку восстановления требуется обеспечить, тем выше должна быть частота дискретизации.

Теорема Котельникова устанавливает однозначное соответствие между аналоговым сигналом и отсчетами его мгновенных значений во временной области. Оказывается, можно сформулировать теорему отсчетов и в частотной области. При этом примем во внимание, что комплексный спектр одиночного сигнала длительностью является сплошным. Тогда имеет место следующее утверждение. Спектральная функция сигнала , ограниченного во времени величиной полностью определяется совокупностью отсчетов , отстоящих друг от друга на частотный интервал , т.е.

. (3.9)

Теорема отсчетов в частотной области основывается на свойстве симметрий преобразований Фурье относительно переменных (или ) и . Суть этого свойства состоит в том, что преобразование Фурье периодического сигнала с периодом приводит к линейчатой (дискретной) спектральной функции, где отдельные спектральные составляющие (см. подраздел 2.1) отстоят друг от друга по оси частот на величину (или ), и наоборот, преобразование Фурье периодической спектральной функции с периодом приводит к дискретной временной функции с периодом .

Исходя из этого свойства, если в (3.2) заменить на ; на , а на , то в результате получим выражение (3.9). Как и в случае разложения сигнала в ряд Котельникова, разложение его спектра ограничивается отсчетами. Тогда выражение (3.5) в частотной области принимает вид

. (3.10)

Казалось бы, для восстановления спектральной функции по совокупности отсчетов , необходимо знать отсчетов модуля и отсчетов аргумента комплексных величин . Однако, если учесть, что модуль спектра , т.е. амплитудный спектр является четной функцией, а аргумент , т.е. фазовый спектр – нечетной функцией, то число независимых отсчетов сокращается вдвое и составляет , т.е. равно базе сигнала.

Подводя итог вышеизложенному, отметим, что теорема Котельникова устанавливает принципиальную возможность представления непрерывного сигнала последовательностью его мгновенных значений. Такую операцию иногда называют импульсным преобразованием непрерывного сигнала. Такое преобразование лежит в основе импульсных методов передачи сообщений в радиотехнических системах. Более того, дискретизация непрерывных сигналов в соответствии с теоремой Котельникова является промежуточной операцией при формировании цифровых сигналов, которые в настоящее время нашли самое широкое распространение как в радиотехнических системах передачи сообщений, так и радиоэлектронных системах обработки, отображения и регистрации информации, и во многих других областях.

3.2. Спектр дискретного сигнала

Перейдем теперь к рассмотрению спектра дискретного сигнала. Очевидно, в соответствии с изложенным выше свойством симметрии преобразования Фурье следует ожидать периодического характера спектральной функции дискретного сигнала.

Итак, дискретный сигнал , как уже подчеркивалось выше, формируется на выходе перемножителя, на один вход которого, подается непрерывный сигнал , а на второй – периодическая последовательность коротких импульсов длительностью

,

с периодом .

Здесь – функция, определяющая форму импульсов периодической последовательности. Обычно в качестве периодической последовательности импульсов дискретизации выбирают импульсы прямоугольной формы вида (1.13). Периодическую последовательность импульсов дискретизации можно описать выражением

.

Тогда дискретный сигнал запишется в виде

С другой стороны, последовательность прямоугольных импульсов может быть представлена комплексным рядом Фурье

Здесь учтено, что период последовательности равен , амплитуда единичного импульса , а также .

Теперь можно представить с учетом (3.12) в виде ряда

Применим к (3.13) прямое преобразование Фурье

Изменив порядок суммирования и интегрирования, запишем

,

В свою очередь

,

.

Тогда окончательно выражение (3.14) принимает вид

. (3.15)

Спектральный анализ дискретного сигнала существенно упрощается, если предположить, что дискретизация осуществляется последовательностью прямоугольных импульсов единичной площади. В этом случае амплитуда импульса и выражение (3.15) запишется следующим образом

.

Если устремить к нулю при сохранении единичной площади импульса и перейти к последовательности бесконечно коротких импульсов ( -импульсов), т.е.

, (3.16)

,

а спектральная функция дискретного сигнала примет вид

. (3.17)

На рис. 3.5, а представлен непрерывный сигнал , а на рис. 3.5, б – условное изображения модуля его спектральной функции .

Как известно, спектр непрерывного одиночного сигнала является сплошным.

Спектр же дискретного сигнала, как это следует из (3.16), представляет собой периодическую по частоте последовательность копий спектров исходного сигнала, сдвинутых относительно друг друга на величину (или ), что составляет период последовательности. Очевидно, периодическим по частоте с тем же периодом является и модуль спектра и его аргумент, т.е. фазовый спектр.

Отметим, что (или ) – это частота дискретизации. Таким образом, период спектральной функции дискретного сигнала равен частоте дискретизации. На рис. 3.5. в, г изображены графики дискретного сигнала и модуля его спектра.

Расположение отдельных составляющих периодической функции спектра дискретного сигнала на оси частот зависит от значения частоты дискретизации . На рис. 3.5,г и на рис. 3.6, а, б изображены соответственно функции дискретного сигнала при частотах дискретизации (или ), (или ) и (или ). Из этих рисунков следует, что при частоте дискретизации, меньшей чем частота, определяемая пределом Найквиста, копии спектра исходного непрерывного сигнала перекрываются, т.е. имеет место явление наложения спектров. Это приводит к искажению исходного сигнала при его восстановлении. Таким образом, и спектральный анализ дискретного сигнала согласуется с выводами теоремы Котельникова.

3.3. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование сигналов

Представление непрерывного сигнала в виде последовательности дискретных отсчётов предполагает, что любой отсчёт может принимать любое значение из непрерывного множества значений . Вместе с тем, цифровые технологии в радиотехнике требуют преобразований совокупности значений отсчётов в цифровую последовательность, т.е. в последовательность чисел . Процесс преобразования аналогового (непрерывного) сигнала в такую последовательность называется аналогово-цифровым преобразованием (АЦП).

Итак, на первом этапе аналогово-цифрового преобразования осуществляется дискретизация непрерывного сигнала, т.е. преобразование в в соответствии с теоремой Котельникова, которая была рассмотрена выше. В результате дискретизации непрерывный (аналоговый) сигнал преобразуется в последовательность отсчётов .

На втором этапе последовательность отсчётов подвергается процедуре квантования по уровню. Квантование по уровню значений отсчётов в простейшем случае представляет собой округление этих значений до ближайшего целого числа. Процедуру квантования осуществляет устройство с амплитудной характеристикой ступенчатого вида, которое называется квантователем . Амплитудная характеристика квантователя изображена на рис. 3.7.

При реализации квантователя диапазон изменения уровня дискретного сигнала разбивается на уровней (включая нулевой), каждый из которых отличается от соседних на величину , называемую шагом квантования .

Таким образом, максимальное и минимальное значения квантованного сигнала соответственно равны

, .

В процессе квантования значение в момент времени сравнивается со значением , где . Квантованный сигнал принимает значение

, (3.18)

. (3.19)

Отметим, что значение запоминается до момента следующего отсчёта дискретного сигнала.

Процедура квантования показана на рис. 3.8.

На этом рисунке изображены фрагмент амплитудной характеристики квантователя, дискретный сигнал , временная диаграмма которого повёрнута на для удобства пояснения процедуры квантования, и квантованный сигнал .

Поясним процедуру квантования. Рассмотрим отсчёт . Поскольку значение этого отсчёта находится в интервале , в соответствии с (3.18) значение квантованного сигнала будет равно , т.к. условие (3.19) выполняется при . Значение отсчёта , как это следует из рисунка, находится в пределах , т.е. условие (3.19) выполняется при , поэтому значение квантованного сигнала . И, наконец, значение отсчёта находится в интервале , а значение квантованного сигнала .

Ввиду того, что при квантовании осуществляется фактически округление значений , квантованный сигнал будет отличаться от дискретного. При этом искажения, вносимые квантователем

, (3.20)

принципиально неустранимы . Поэтому, при преобразовании непрерывного сигнала в цифровой необходимо оценивать степень искажений, вносимых квантователем.

Искажения, вносимые квантователем, целесообразно оценивать величиной среднеквадратичной ошибки. При исследовании процедур квантования было установлено, что величина среднеквадратичной ошибки